Método dos Elementos Finitos

1 Problemas unidimensionais 1.3 Condições de contorno 2 Problemas bidimensionais

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1.4 Seleção de aplicações

1.4.1 Problema não-linear

Como um exemplo de aplicação do método de elementos finitos na solução de equações diferenciais parciais não-lineares, consideramos o problema de Troesch

	$\displaystyle u^{\prime\prime}=\mu\sinh(\mu u),\quad x\in(0,1),$		(1.186)
	$\displaystyle u(0)=0,\leavevmode\nobreak\ u(1)=1,$		(1.187)

onde $\mu>0$ é um parâmetro.

A formulação fraca deste problema consiste em: encontrar $u\in V:=\{v\in H^{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v(0)=0,\leavevmode\nobreak\ v(1)=1\}$ tal que

F(u,v):=L(v)-a(u,v)=0,\leavevmode\nobreak\ \forall v\in V_{0},

(1.188)

onde, $V_{0}=\{v\in H^{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v(0)=0,\leavevmode\nobreak\ v(1)=0\}$ e as formas bilinear $a(\cdot,\cdot)$ e linear $L(\cdot)$ são dadas por

	$\displaystyle a(u,v):=\int_{0}^{1}u^{\prime}v^{\prime}\,dx,$		(1.189)
	$\displaystyle L(v):=-\int_{0}^{1}\mu\sinh(\mu u)v\,dx.$		(1.190)

A formulação de elementos finitos deste problema consiste em: encontrar $u_{h}\in V_{h}:=\{v_{h}\in P_{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(0)=0,% \leavevmode\nobreak\ v_{h}(1)=1\}$ tal que

a(u_{h},v_{h})=-L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0},

(1.191)

onde $V_{h,0}=\{v_{h}\in P_{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(0)=0,\leavevmode% \nobreak\ v_{h}(1)=0\}$ .

Código 10: ex_mef1d_nlinear.py

⬇

1from mpi4py import MPI

3# malha

4from dolfinx import mesh

5domain = mesh.create_unit_interval(MPI.COMM_WORLD,

6 nx = 10)

7# espaço

8from dolfinx import fem

9V = fem.functionspace(domain, ('P', 1))

11# condição de contorno

12import numpy as np

13uD = fem.Function(V)

14# uD(0) = 0, uD(1) = 1

15def dirichlet_bc(x):

16 y = np.full(x.shape[1], 1.0)

17 y[np.isclose(x[0], 0.)] = 0.0

18 return y

19uD.interpolate(dirichlet_bc)

21tdim = domain.topology.dim

22fdim = tdim - 1

23domain.topology.create_connectivity(fdim, tdim)

24boundary_facets = mesh.exterior_facet_indices(domain.topology)

25boundary_dofs = fem.locate_dofs_topological(V, fdim,

26 boundary_facets)

27bc = fem.dirichletbc(uD, boundary_dofs)

29# problema mef

30import ufl

31from dolfinx import default_scalar_type

32from dolfinx.fem.petsc import NonlinearProblem

33from dolfinx.nls.petsc import NewtonSolver

35# unknown / test functions

36uh = fem.Function(V)

37v = ufl.TestFunction(V)

39# parameter

40mu = fem.Constant(domain, default_scalar_type(5))

42F = ufl.dot(ufl.grad(uh), ufl.grad(v)) * ufl.dx + (mu * ufl.sinh(mu * uh)) * v * ufl.dx

44## manually add Jacobian

45du = ufl.TrialFunction(V)

46J = ufl.dot(ufl.grad(du), ufl.grad(v)) * ufl.dx + (mu**2 * ufl.cosh(mu * uh) * du) * v * ufl.dx

48petsc_options = {

49 "snes_type": "newtonls",

50 "snes_linesearch_type": "none",

51 "snes_atol": 1e-6,

52 "snes_rtol": 1e-6,

53 "snes_monitor": None,

54 "ksp_error_if_not_converged": True,

55 "ksp_type": "gmres",

56 "ksp_rtol": 1e-8,

57 "ksp_monitor": None,

58}

60problem = NonlinearProblem(

61 F,

62 uh,

63 bcs=[bc],

64 petsc_options=petsc_options,

65 petsc_options_prefix="nonlinpoisson",

66)

68problem.solve()

69converged = problem.solver.getConvergedReason()

70num_iter = problem.solver.getIterationNumber()

71assert converged > 0, f"Solver did not converge, got {converged}."

72print(

73 f"Solver converged after {num_iter} iterations with converged reason {converged}."

74)

1.4.2 EDP evolutiva

Vamos estudar a aplicação do método de elementos finitos na solução de equações diferenciais parciais evolutivas no tempo. Para isso, consideramos como problema modelo a equação do calor com dadas condição inicial e condições de contorno de Dirichlet homogêneas

	$\displaystyle u_{t}=\alpha u_{xx}+f,\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,t_{f}]% \times(a,b),$		(1.192)
	$\displaystyle u(0,x)=u_{0}(x),x\in[a,b],$		(1.193)
	$\displaystyle u(t,a)=u(t,b)=0,\leavevmode\nobreak\ t\in[0,t_{f}],$		(1.194)

onde $f=f(t,x)$ denota uma dada fonte, $\alpha>0$ é a difusividade e $u_{0}$ é a condição inicial e $t_{f}>0$ é o tempo final.

Antes de elaborarmos a formulação fraca, vamos assumir uma discretização do tempo. Consideramos os $n_{t}+1$ tempos discretos $t^{(k)}=kh_{t}$ , passo no tempo $h_{t}=t_{f}/n_{t}$ , $k=0,1,2,\dotsc,n_{t}$ . Seguindo esquema $\theta$ e denotando $\tilde{u}^{(k)}\approx u\left(t^{(k)},x\right)$ e $f^{(k)}=f\left(t^{(k)},x\right)$ , o problema pode ser aproximado pela iteração

	$\displaystyle\frac{\tilde{u}^{(k+1)}-\tilde{u}^{(k)}}{h_{t}}=\theta\left(% \alpha\tilde{u}^{(k+1)}_{xx}+f^{(k+1)}\right)$
	$\displaystyle\text{}\quad(1-\theta)\left(\alpha\tilde{u}^{(k)}_{xx}+f^{(k)}% \right),$		(1.195)
	$\displaystyle\tilde{u}^{(k+1)}(a)=\tilde{u}^{(k+1)}(b)=0,$		(1.196)

para $k=0,1,2,\dotsc,n_{t}$ e $\tilde{u}^{(0)}=u_{0}$ . Ou seja, cada iteração $k$ se resume ao seguinte problema de valores de contorno

	$\displaystyle-\alpha\theta\tilde{u}_{xx}+\frac{1}{h_{t}}\tilde{u}=\frac{1}{h_{% t}}\tilde{u}^{0}+(1-\theta)\alpha\tilde{u}^{0}_{xx}$
	$\displaystyle\text{}\quad\;\;(1-\theta)f^{0}+\theta f,$		(1.197)
	$\displaystyle\tilde{u}(a)=\tilde{u}(b)=0,$		(1.198)

onde $\tilde{u}^{0}=\tilde{u}^{(k)}$ e $\tilde{u}=\tilde{u}^{(k+1)}$ para fins de simplificação da notação¹²¹²12Análogo para $f^{(k)}$ e $f^{(k+1)}$ ..

A formulação fraca deste problema de valores de contorno consiste em: encontrar $\tilde{u}\in V_{0}:=H^{1}_{0}(a,b)$ tal que

a(\tilde{u},v)=L(v),\leavevmode\nobreak\ \forall v\in V_{0},

(1.199)

onde

	$\displaystyle a(\tilde{u},v):=\theta\int_{a}^{b}\alpha\tilde{u}^{\prime}v^{% \prime}\,dx+\int_{a}^{b}\frac{1}{h_{t}}\tilde{u}v\,dx,$		(1.200)
	$\displaystyle L(v):=(\theta-1)\int_{a}^{b}\alpha\tilde{u}^{0^{\prime}}v^{% \prime}\,dx+\int_{a}^{b}\frac{1}{h_{t}}\tilde{u}^{0}v\,dx$
	$\displaystyle\text{}\quad\theta\int_{a}^{b}fv\,dx+(1-\theta)\int_{a}^{b}f^{0}v% \,dx.$		(1.201)

Logo, a formulação de elementos finitos $P_{1}$ deste problema consiste em: encontrar $\tilde{u}_{h}\in V_{h,0}:=\{v_{h}\in P_{1}(a,b);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(a)=% 0,\leavevmode\nobreak\ v_{h}(b)=0\}$ tal que

a(\tilde{u}_{h},v_{h})=L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0}.

(1.202)

Exemplo 1.4.1.

Consideremos o problema de calor

	$\displaystyle u_{t}=u_{xx}+f,\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,1]\times(0,1),$		(1.203)
	$\displaystyle u(0,x)=\operatorname{sen}(\pi x),x\in[0,1],$		(1.204)
	$\displaystyle u(t,0)=u(t,1)=0,\leavevmode\nobreak\ t\in[0,1],$		(1.205)

onde $f(t,x)=(\pi^{2}-1)e^{-t}\operatorname{sen}(\pi x)$ . A solução analítica deste problema é $u(t,x)=e^{-t}\operatorname{sen}(\pi x)$ . O Código 11 a seguir implementa a aproximação por elementos finitos deste problema. A Figura 1.6 apresenta uma comparação da solução analítica com a aproximação de elementos finitos $P_{1}$ computada com $n=40$ células. Verifique!

Refer to caption — Figura 1.6: Solução analítica e aproximação por elementos finitos do problema de calor do Exemplo 1.4.1.

Código 11: ex_mef1d_calor.py

⬇

1from mpi4py import MPI

3# esquema temporal

4thta = 0.5

5nt = 10

6t0 = 0.

7tf = 1.

8dt = (tf - t0) / nt

10# malha espacial

11from dolfinx import mesh

12nx = 40

13domain = mesh.create_unit_interval(MPI.COMM_WORLD,

14 nx = nx)

16# espaço

17from dolfinx import fem

18V = fem.functionspace(domain, ('P', 1))

20# condição inicial

21import numpy as np

22u0 = fem.Function(V)

23u0.interpolate(lambda x: np.sin(np.pi * x[0]))

25# condição de contorno

26uD = fem.Function(V)

27uD.interpolate(lambda x: np.full(x.shape[1], 0.))

29tdim = domain.topology.dim

30fdim = tdim - 1

31domain.topology.create_connectivity(fdim, tdim)

32boundary_facets = mesh.exterior_facet_indices(domain.topology)

33boundary_dofs = fem.locate_dofs_topological(V, fdim,

34 boundary_facets)

35bc = fem.dirichletbc(uD, boundary_dofs)

37# fonte

38import ufl

39x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

40def f(t, x):

41 return (ufl.pi**2 - 1) * ufl.exp(-t) * ufl.sin(ufl.pi * x[0])

43# iteração temporal

44from dolfinx.fem.petsc import LinearProblem

45u = ufl.TrialFunction(V)

46v = ufl.TestFunction(V)

48t = t0

49for k in range(nt):

50 a = u * v * ufl.dx + thta * dt * ufl.dot(ufl.grad(u), ufl.grad(v)) * ufl.dx

51 L = u0 * v * ufl.dx - (1 - thta) * dt * ufl.dot(ufl.grad(u0), ufl.grad(v)) * ufl.dx + \

52 thta * dt * f(t, x) * v * ufl.dx + (1 - thta) * dt * f(t + dt, x) * v * ufl.dx

53 t += dt

54 print(f'Iteração {k+1}/{nt}, t={t:.3f}')

55 problem = LinearProblem(a, L, bcs=[bc],

56 petsc_options_prefix="calor1d")

57 uh = problem.solve()

58 u0.x.array[:] = uh.x.array[:]

1.4.3 Sistema de equações

Consideramos o seguinte problema de equações diferenciais ordinárias com valores de contorno

	$\displaystyle-u_{0}^{\prime\prime}+u_{1}=f_{0},\forall x\in I=(i_{L},i_{R})$		(1.206)
	$\displaystyle-u_{1}^{\prime\prime}-u_{0}=f_{1},\forall x\in I$		(1.207)
	$\displaystyle u_{0}(i_{L})=u_{0L},\quad u_{0}(i_{R})=u_{0R},$		(1.208)
	$\displaystyle u_{1}(i_{L})=u_{1L},\quad u_{1}(i_{R})=u_{1R},$		(1.209)

onde $f_{0}$ , $f_{1}$ , $u_{0L}$ , $u_{0R}$ , $u_{1L}$ , $u_{1R}$ são dados.

Para construirmos uma aproximação por elementos finitos podemos tomar o seguinte problema fraco associado: encontrar $\boldsymbol{u}=(u_{0},u_{1})\in\mathcal{U}:=U_{0}\times U_{1}$ tal que

a(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=L(\boldsymbol{v}),\leavevmode\nobreak\ % \forall\boldsymbol{v}=(v_{0},v_{1})\in\mathcal{V}_{0}:=V_{0}\times V_{0},

(1.210)

onde $U_{0}=\{v\in H^{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v(i_{L})=u_{0L},\leavevmode\nobreak% \ v(i_{R})=u_{0R}\}$ , $U_{1}=\{v\in H^{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v(i_{L})=u_{1L},\leavevmode\nobreak% \ v(i_{R})=u_{1R}\}$ , $V_{0}=\{v\in H^{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v(0)=v(L)=0\}$ , a forma bilinear é

a(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v})=\int_{I}u_{0}^{\prime}v_{0}^{\prime}\,dx+\int% _{I}u_{1}^{\prime}v_{1}^{\prime}\,dx+\int_{I}u_{1}v_{0}\,dx-\int_{I}u_{0}v_{1}% \,dx

(1.211)

e a forma linear é

L(\boldsymbol{v})=\int_{I}f_{0}v_{0}\,dx+\int_{I}f_{1}v_{1}\,dx.

(1.212)

Então, o problema de elementos finitos associado no espaço das funções lineares por partes lê-se: encontrar $\boldsymbol{u}_{h}=(u_{h0},u_{h1})\in\mathcal{U}_{h}:=U_{h0}\times U_{h1}$ tal que

a(\boldsymbol{u}_{h},\boldsymbol{v}_{h})=L(\boldsymbol{v}_{h}),\leavevmode% \nobreak\ \forall\boldsymbol{v}_{h}=(v_{h0},v_{h1})\in\mathcal{V}_{0}:=V_{h0}% \times V_{h0},

(1.213)

onde $U_{h0}=\{v_{h}\in P_{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(i_{L})=u_{0L},% \leavevmode\nobreak\ v_{h}(i_{R})=u_{0R}\}$ , $U_{h1}=\{v_{h}\in P_{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(i_{L})=u_{1L},% \leavevmode\nobreak\ v_{h}(L)=u_{1R}\}$ , $V_{h0}=\{v_{h}\in P_{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(0)=v_{h}(L)=0\}$ .

Exemplo 1.4.2.

Consideremos o seguinte problema de valor de contorno

	$\displaystyle-u_{0}^{\prime\prime}+u_{1}=\operatorname{sen}(x)+\cos(x),\forall x% \in(-\pi,\pi)$		(1.214)
	$\displaystyle-u_{1}^{\prime\prime}-u_{0}=\cos(x)-\sin(x),\forall x\in(-\pi,\pi)$		(1.215)
	$\displaystyle u_{0}(-\pi)=0,\quad u_{0}(\pi)=0,$		(1.216)
	$\displaystyle u_{1}(-\pi)=-1,\quad u_{1}(\pi)=-1.$		(1.217)

Sua solução analítica é $u_{0}(x)=\operatorname{sen}(x)$ e $u_{1}(x)=\cos(x)$ . O Código 12 a seguir implementa a aproximação por elementos finitos deste problema. A Figura 1.7 apresenta uma comparação das soluções analíticas e das aproximações de elementos finitos $u_{h0}$ e $u_{h1}$ , estas construídas no espaço dos polinômios lineares por partes sobre uma malha uniforme de $10$ células. Verifique!

Código 12: ex_mef1d_sistema.py

⬇

1from mpi4py import MPI

3# malha

4import numpy as np

5from dolfinx import mesh

6domain = mesh.create_interval(MPI.COMM_WORLD,

7 nx = 10,

8 points=np.array([-np.pi, np.pi]))

9# espaço

10from basix.ufl import element, mixed_element

11from dolfinx import fem

12P1 = element("Lagrange", domain.basix_cell(), 1)

13V = fem.functionspace(domain, mixed_element([P1, P1]))

15# condição de contorno

16import ufl

17uD = fem.Function(V)

18uD.sub(0).interpolate(lambda x: np.full(x.shape[1], 0.))

19uD.sub(1).interpolate(lambda x: np.full(x.shape[1], -1.))

21tdim = domain.topology.dim

22fdim = tdim - 1

23domain.topology.create_connectivity(fdim, tdim)

24boundary_facets = mesh.exterior_facet_indices(domain.topology)

25boundary_dofs = fem.locate_dofs_topological(V, fdim,

26 boundary_facets)

27bc = fem.dirichletbc(uD, boundary_dofs)

29# problema mef

30from dolfinx.fem.petsc import LinearProblem

31u = ufl.TrialFunction(V)

32u0, u1 = ufl.split(u)

33v = ufl.TestFunction(V)

34v0, v1 = ufl.split(v)

36# fonte

37x = ufl.SpatialCoordinate(domain)

38f0 = ufl.sin(x[0]) + ufl.cos(x[0])

39f1 = ufl.cos(x[0]) - ufl.sin(x[0])

41# rhs

42lhs = ufl.dot(ufl.grad(u0), ufl.grad(v0)) * ufl.dx + ufl.dot(ufl.grad(u1), ufl.grad(v1)) * ufl.dx + ufl.dot(u1, v0) * ufl.dx - ufl.dot(u0, v1) * ufl.dx

44rhs = f0 * v0 * ufl.dx + f1 * v1 * ufl.dx

46problem = LinearProblem(lhs, rhs, bcs=[bc],

47 petsc_options_prefix="ex_mef1d_sistema")

48uh = problem.solve()

1.4.4 Exercícios

E. 1.4.1.

Obtenha uma aproximação por elementos finitos da solução do seguinte problema não-linear de Poisson¹³¹³13Siméon Denis Poisson, 1781 - 1840, matemático francês. Fonte: Wikipédia:Siméon Denis Poisson.

	$\displaystyle-(q(u)u^{\prime})^{\prime}=\pi^{2}(3\operatorname{sen}^{3}(\pi x)% -\operatorname{sen}(\pi x)),\leavevmode\nobreak\ x\in(0,1),$		(1.218)
	$\displaystyle u(0)=0,u(1)=0,$		(1.219)

onde $q(u)=1+u^{2}$ . Faça o esboço dos gráficos da solução analítica $u(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$ e da sua aproximação de elementos finitos. Então, faça uma análise da convergência de malha e verifique as taxas de convergência dos erros $\|u-u_{h}\|_{L^{2}}$ e $\|(u-u_{h})^{\prime}\|_{L^{2}}$ .

E. 1.4.2.

Considere o problema de Fisher

	$\displaystyle-u_{t}=u_{xx}+\lambda u(1-u),\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,t_{f% }]\times(0,1),$		(1.220)
	$\displaystyle u(0,x)=\left(1+e^{\sqrt{\frac{\lambda}{6}}x}\right)^{-2},x\in[0,% 1],$		(1.221)
	$\displaystyle u_{x}(t,0)=\left(1+e^{-\frac{5}{6}\lambda t}\right)^{-2},t\in[0,% t_{f}],$		(1.222)
	$\displaystyle u_{x}(t,1)=\left(1+e^{\sqrt{\lambda}{6}-\frac{5}{6}\lambda t}% \right)^{-2},t\in[0,t_{f}],$		(1.223)

onde $\lambda=1$ (taxa de crescimento populacional) e $t_{f}=1$ (tempo final). A solução analítica deste problema é

u(t,x)=\left(1+e^{\sqrt{\frac{\lambda}{6}}x-\frac{5}{6}\lambda t}\right)^{-2}.

(1.224)

Faça três códigos de elementos finitos para este problema utilizando os seguintes esquemas de tempo:

a)

$\theta=0$ (esquema de Euler explícito);
b)

$\theta=1$ (esquema de Euler implícito);
c)

$\theta=0.5$ (esquema de Crank-Nicolson).

Em cada caso, faça o esboço dos gráficos da solução analítica e da sua aproximação de elementos finitos. Então, faça uma análise da convergência das malhas espacial e temporal.

E. 1.4.3.

Considere o seguinte problema não-linear de Calor

	$\displaystyle u_{t}=(q(u)u_{x})+f,\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,t_{f}]\times% (0,1),$		(1.225)
	$\displaystyle u(0,x)=\operatorname{sen}(\pi x),x\in[0,1],$		(1.226)
	$\displaystyle u(t,0)=u(t,1)=0,\leavevmode\nobreak\ t\in[0,t_{f}],$		(1.227)

onde $q(u)=1+u^{2}$ , a fonte é

f(t,x)=(\pi^{2}-1)e^{-t}s+e^{-3t}s(3s^{2}-2),

(1.228)

com $s:=\sin(\pi x)$ . A solução analítica deste problema é $u(t,x)=e^{-t}\operatorname{sen}(\pi x)$ . Faça três códigos de elementos finitos para este problema utilizando os seguintes esquemas de tempo:

a)

Runge-Kutta de ordem 4 (RK4 - explícito);
b)

Método de Adams-Moulton de ordem 2 (A-M-2);
c)

Método preditor-corretor de Adams-Bashforth-Moulton de ordem 2 (A-B-M-2);

Quais dos códigos mostrou-se mais eficiente?

E. 1.4.4.

Estude aproximações por elementos finitos para o seguinte problema de Burgers

	$\displaystyle u_{t}+uu_{x}=\nu u_{xx},\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,1]\times% (-1,1),$		(1.229)
	$\displaystyle u(0,x)=2\nu\pi\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{2+\cos(\pi x)},x% \in[-1,1],$		(1.230)
	$\displaystyle u(t,-1)=u(t,1)=0,\leavevmode\nobreak\ t\in[0,1],$		(1.231)

para $\nu=0.1,0.01,0.001$ . A solução analítica deste problema é

u(t,x)=2\nu\pi\frac{e^{-\nu\pi^{2}t}\operatorname{sen}(\pi x)}{2+e^{-\nu\pi^{2% }t}\cos(\pi x)}.

(1.232)

E. 1.4.5.

Estude aproximações por elementos finitos para o seguinte problema de Burgers

	$\displaystyle u_{t}+uu_{x}=\nu u_{xx},\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,1]\times% (-1,1),$		(1.233)
	$\displaystyle u(0,x)=-\operatorname{sen}(\pi x),x\in[-1,1],$		(1.234)
	$\displaystyle u(t,-1)=u(t,1)=0,\leavevmode\nobreak\ t\in[0,1],$		(1.235)

onde $\nu>0$ . Para $\nu=0.01/\pi$ , a solução analítica é

u(t,x)=-\frac{-\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{sen}\left(\pi(x-\eta)% \right)f(x-\eta)e^{-\frac{\eta^{2}}{4\nu t}\,d\eta}}{\int_{-\infty}^{\infty}f(% x-\eta)e^{-\frac{\eta^{2}}{4\nu t}}\,d\eta},

(1.236)

onde $f(y)=e^{\frac{\cos(\pi y)}{2\pi\nu}}$ . Estude também o comportamento das aproximações por elementos finitos para $\nu$ cada vez menor.

E. 1.4.6.

Estude aproximações por elementos finitos para o seguinte problema de Burgers

	$\displaystyle u_{t}+uu_{x}=\nu u_{xx},\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,1]\times% (-1,1),$		(1.237)
	$\displaystyle u(0,x)=2\operatorname{sign}(x),x\in[-1,1],$		(1.238)
	$\displaystyle u(t,-1)=u_{a}(t,-1),u(t,1)=u_{a}(t,1),\leavevmode\nobreak\ t\in[% 0,1],$		(1.239)

onde $\nu>0$ . Para $\nu=1$ , a solução analítica é

u_{a}(t,x)=2\frac{G(t,x)-G(t,-x)}{G(t,x)+G(t,-x)},

(1.240)

onde $G(t,x)=\frac{1}{2}e^{t-x}\operatorname{erfc}\left(\frac{2t-x}{2\sqrt{t}}\right)$ . Estude também o comportamento das aproximações por elementos finitos para $\nu$ cada vez menor.

E. 1.4.7.

Estude aproximações por elementos finitos para o seguinte problema de Solow-Swan

	$\displaystyle\frac{\partial K}{\partial t}=s(x)AK^{\phi}L^{1-\phi}(x)-\delta K% +d\frac{\partial^{2}K}{\partial x^{2}},\;x\in(0,l),\;t>0,$		(1.241)
	$\displaystyle K(t,x)=K_{0}(x),\;x\in\Omega=[0,l],\;t=0,$		(1.242)
	$\displaystyle\frac{\partial K}{\partial x}=0,\;x\in\partial\Omega=\{0,l\},\;t>0.$		(1.243)

para o caso em que $l\equiv 10$ , $T\equiv 10$ , $\phi\equiv 1/3$ , $\delta(x)\equiv 0.05$ , $A(x)\equiv 1$ , $d(x)\equiv 0.25$ , $L(x)=1+0.3x^{2}\left[1-\cos\left(4\pi x/{l}\right)\right]$ , $k_{0}(x)=\cos^{4}\left(\pi x/(2l)-\pi/2\right)$ , and $s(x)=0.2\cos^{4}\left(\pi x/(2l)\right)$ .

E. 1.4.8.

Estude aproximações por elementos finitos para o seguinte sistema de equações de difusão-reação

	$\displaystyle-\varepsilon_{0}u_{0}^{\prime\prime}+au_{0}+bu_{1}=f_{0},% \leavevmode\nobreak\ x\in(0,1),$		(1.244)
	$\displaystyle-\varepsilon_{1}u_{1}^{\prime\prime}+cu_{0}+du_{1}=f_{1},% \leavevmode\nobreak\ x\in(0,1),$		(1.245)
	$\displaystyle u_{0}(0)=u_{0}(1)=0,$		(1.246)
	$\displaystyle u_{1}^{\prime}(0)=u_{1}^{\prime}(1)=0,$		(1.247)

onde $\varepsilon_{0},\varepsilon_{1}>0$ são os coeficientes de difusão, $a, b, c, d$ são os coeficientes de reação, e $f_{0},f_{1}$ são as fontes. Como estudo de caso, considere $\varepsilon_{0}=1$ , $\varepsilon_{1}=2$ , $a=1$ , $b=-1$ , $c=-1$ , $d=2$ . Para a solução manufaturada $u_{0}(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$ , $u_{1}(x)=\cos(\pi x)$ , as fontes são

	$\displaystyle f_{0}(x)=\pi^{2}\operatorname{sen}(\pi x)-\sqrt{2}\cos\left(\pi(% x+1/4)\right),$		(1.248)
	$\displaystyle f_{1}(x)=-\operatorname{sen}(\pi x)+2\cos(\pi x)+2\pi^{2}\cos(% \pi x).$		(1.249)

Estude a convergência de malha e verifique as taxas de convergência dos erros $\|u_{0}-u_{h0}\|_{L^{2}}$ , $\|(u_{0}-u_{h0})^{\prime}\|_{L^{2}}$ , $\|u_{1}-u_{h1}\|_{L^{2}}$ e $\|(u_{1}-u_{h1})^{\prime}\|_{L^{2}}$ .

E. 1.4.9.

Estude aproximações por elementos finitos para o seguinte sistema de equações de difusão-reação não-linear

	$\displaystyle-\varepsilon_{0}u_{0}^{\prime\prime}-u_{0}+u_{0}^{2}u_{1}=f_{0},% \leavevmode\nobreak\ x\in(0,1),$		(1.250)
	$\displaystyle-\varepsilon_{1}u_{1}^{\prime\prime}-u_{0}u_{1}^{2}=f_{1},% \leavevmode\nobreak\ x\in(0,1),$		(1.251)
	$\displaystyle u_{0}^{\prime}(0)=\pi,\leavevmode\nobreak\ u_{0}^{\prime}(1)=-\pi,$		(1.252)
	$\displaystyle u_{1}(0)=1,\leavevmode\nobreak\ u_{1}(1)=1.$		(1.253)

onde $\varepsilon_{0},\varepsilon_{1}>0$ são os coeficientes de difusão, e $f_{0},f_{1}$ são as fontes. Como estudo de caso, considere $\varepsilon_{0}=1$ , $\varepsilon_{1}=10$ , e as seguintes fontes

	$\displaystyle f_{0}(x)=\left(\operatorname{sen}(\pi x)\cos(2\pi x)-1+\pi^{2}% \right)\operatorname{sen}(\pi x),$		(1.254)
	$\displaystyle f_{1}(x)=\left(-\operatorname{sen}(\pi x)\cos(2\pi x)+40\pi^{2}% \right)\cos(2\pi x).$		(1.255)

A solução analítica deste problema é $u_{0}(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$ e $u_{1}(x)=\cos(2\pi x)$ . Estude a convergência de malha e verifique as taxas de convergência dos erros $\|u_{0}-u_{h0}\|_{L^{2}}$ , $\|(u_{0}-u_{h0})^{\prime}\|_{L^{2}}$ , $\|u_{1}-u_{h1}\|_{L^{2}}$ e $\|(u_{1}-u_{h1})^{\prime}\|_{L^{2}}$ .

E. 1.4.10.

Estude aproximações por elementos finitos para o seguinte problema de FitzHugh-Nagumo

	$\displaystyle u_{t}=D_{u}u_{xx}+\lambda u-u^{3}-v-\kappa,\leavevmode\nobreak\ % (t,x)\in(0,t_{f}]\times(-L,L),$		(1.256)
	$\displaystyle v_{t}=D_{v}v_{xx}+u-v,\leavevmode\nobreak\ (t,x)\in(0,t_{f}]% \times(-L,L),$		(1.257)
	$\displaystyle u_{x}(t,-L)=u_{x}(t,L)=0,\leavevmode\nobreak\ t\in[0,t_{f}],$		(1.258)
	$\displaystyle v_{x}(t,-L)=v_{x}(t,L)=0,\leavevmode\nobreak\ t\in[0,t_{f}],$		(1.259)
	$\displaystyle u(0,x)=e^{-x^{2}},\leavevmode\nobreak\ v(0,x)=0,\leavevmode% \nobreak\ x\in[-L,L],$		(1.260)

onde $D_{u},D_{v}>0$ são os coeficientes de difusão, $\lambda$ é o parâmetro de excitabilidade, e $\kappa$ é o parâmetro de estímulo. Obtenha uma solução precisa para $D_{u}=0.1$ , $D_{v}=0.01$ , $\lambda=1$ , $\kappa=0$ , $L=10$ e $t_{f}=10$ .

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Método dos Elementos Finitos

1.4 Seleção de aplicações

1.4.1 Problema não-linear

1.4.2 EDP evolutiva

Exemplo 1.4.1.

1.4.3 Sistema de equações

Exemplo 1.4.2.

1.4.4 Exercícios

E. 1.4.1.

E. 1.4.2.

E. 1.4.3.

E. 1.4.4.

E. 1.4.5.

E. 1.4.6.

E. 1.4.7.

E. 1.4.8.

E. 1.4.9.

E. 1.4.10.

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