Matemática numérica III

5 Integração 5.1 Integração autoadaptativa Referências

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5.2 Integrais múltiplas

Vamos trabalhar com métodos para a computação de integrais múltiplas

\int\int_{R}f(x,y)\,dA.

(5.13)

Em uma região retangular $A=[a,b]\times[c,d]$ , podemos reescrevê-la como uma integral iterada

\int\int_{R}f(x,y)\,dA=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx.

(5.14)

5.2.1 Regras de Newton-Cotes

Regra do trapézio

A regra do trapézio nos fornece

\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy=\frac{h_{y}}{2}\left[f(x,c)+f(x,d)\right]-\frac{h_{y}^{% 3}}{12}f^{\prime\prime}(x,\eta)

(5.15)

com $h_{y}=(d-c)$ e $\eta\in(c,d)$ . De forma iterada, temos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\frac{h_{y}}{2}\int_{a}^{b% }f(x,c)\,dx+\frac{h_{y}}{2}\int_{a}^{b}f(x,d)\,dx$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{y}^{3}}{12}\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x,% \eta)\,dx.$		(5.16)

Então, à exceção do termo do erro, aplicamos a regra do trapézio para as integrais em $x$ . Obtemos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\frac{h_{y}}{2}\frac{h_{x}% }{2}\left[f(a,c)+f(b,c)\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{h_{y}}{2}\frac{h_{x}}{2}\left[f(a,d)+f(b,d)\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{y}}{2}\frac{h_{x}^{3}}{12}f^{\prime\prime}% (\mu^{\prime},c)$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{y}}{2}\frac{h_{x}^{3}}{12}f^{\prime\prime}% (\mu^{\prime\prime},d)$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{y}^{3}}{12}\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x,% \eta)\,dx,$		(5.17)

com $h_{x}=(b-a)$ , $\mu^{\prime},\mu^{\prime\prime}\in(a,b)$ . Pelos teorema do valor intermediário e pelo teorema do valor médio, podemos ver que o erro é $O(h_{x}h_{y}^{3}+h_{x}^{3}h_{y})$ . Por fim, obtemos a regra do trapézio para integrais iteradas

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\frac{h_{y}}{2}\frac{h_{x}% }{2}\left[f(a,c)+f(b,c)+f(b,d)+f(a,d)\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h_{x}h_{y}^{3}+h_{x}^{3}h_{y}).$		(5.18)

Exemplo 5.2.1.

A regra do trapézio fornece

\int_{1.5}^{2}\int_{1}^{1.5}\ln(x+2y)\,dy\,dx\approx 0.36.

(5.19)

Verifique!

Regra de Simpson

A regra do Simpson nos fornece

	$\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy=\frac{h_{y}}{3}\left[f(x,y_{1})+4f(x,y_{2}% )+f(x,y_{3})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{y}^{5}}{90}f^{(4)}(x,\eta)$		(5.20)

com $h_{y}=(d-c)/2$ , $y_{j}=(j-1)h_{y}$ , $j=1,2,3$ , e $\eta\in(c,d)$ . De forma iterada, temos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\frac{h_{y}}{3}\left[\int_% {a}^{b}f(x,y_{1})\,dx+4\int_{a}^{b}f(x,y_{2})\,dx+\int_{a}^{b}f(x,y_{3})\,dx\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{y}^{5}}{90}\int_{a}^{b}f^{(4)}(x,\eta)\,dx$		(5.21)

Então, à exceção do termo do erro, aplicamos a regra de Simpson para as integrais em $x$ . Obtemos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\frac{h_{x}h_{y}}{9}\left[% f(x_{1},y_{1})+4f(x_{2},y_{1})+f(x_{3},y_{1})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{4h_{x}h_{y}}{9}\left[f(x_{1},y_{2})+4f(x_{2},% y_{2})+f(x_{3},y_{2})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{h_{x}h_{y}}{9}\left[f(x_{1},y_{3})+4f(x_{2},y% _{3})+f(x_{3},y_{3})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{x}^{5}h_{y}}{270}f^{(4)}(\mu_{1},y_{1})$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{4h_{x}^{5}h_{y}}{270}f^{(4)}(\mu_{2},y_{2})$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{x}^{5}h_{y}}{270}f^{(4)}(\mu_{3},y_{3})$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{h_{y}^{5}}{90}\int_{a}^{b}f^{(4)}(x,\eta)\,dx$		(5.22)

com $h_{x}=(b-a)/2$ , $\mu_{1},\mu_{2},\mu_{3}\in(a,b)$ . Pelos teorema do valor intermediário e teorema do valor médio, podemos ver que o erro é $O(h_{x}h_{y}^{5}+h_{x}^{5}h_{y})$ . Por fim, obtemos a regra de Simpson para integrais iteradas

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\frac{h_{x}h_{y}}{9}\left[% f(x_{1},y_{1})+4f(x_{2},y_{1})+f(x_{3},y_{1})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{4h_{x}h_{y}}{9}\left[f(x_{1},y_{2})+4f(x_{2},% y_{2})+f(x_{3},y_{2})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{h_{x}h_{y}}{9}\left[f(x_{1},y_{3})+4f(x_{2},y% _{3})+f(x_{3},y_{3})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h_{x}h_{y}^{5}+h_{x}^{5}h_{y}).$		(5.23)

Exemplo 5.2.2.

A regra de Simpson fornece

\int_{1.5}^{2}\int_{1}^{1.5}\ln(x+2y)\,dy\,dx\approx 0.361003.

(5.24)

Verifique!

5.2.2 Regras compostas de Newton-Cotes

A ideia é particionar a região de integração em células e o resultado da integração é a soma da aplicação da regra de quadratura em cada uma das células.

Regra composta do trapézio

Para uma região retangular $R=[a,b]\times[c,d]$ , vamos construir a malha

M=\{c_{k}=[x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]:\leavevmode\nobreak\ k=i+(j-1)n% _{x}\},

(5.25)

onde $x_{i}=(i-1)h_{x}$ , $h_{x}=(b-a)/n_{x}$ , $i=1,2,\dotsc,n_{x}+1$ e $y_{j}=(j-1)h_{y}$ , $h_{y}=(d-c)/n_{y}$ , $j=1,2,\dotsc,n_{y}+1$ . Consulte a Figura 5.1.

Refer to caption — Figura 5.1: Representação da malha para a regra composta do trapézio.

Aplicando a ideia, temos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\sum_{k=1}^{n_{x}n_{y}}% \int\int_{C_{k}}f(x,y)\,dy\,dx$		(5.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sum_{i=1}^{n_{x}}\sum_{j=1}^{n_{y}}\int_{x_{i}}^{x_% {i+1}}\int_{y_{j}}^{y_{j+1}}f(x,y)\,dy\,dx$		(5.27)

Em cada integral em $C_{k}$ , aplicamos a regra do trapézio, segue

	$\displaystyle\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\int_{y_{j}}^{y_{j+1}}f(x,y)\,dy\,dx\approx% \frac{h_{y}}{2}\frac{h_{x}}{2}\left[f(x_{i},y_{j})+f(x_{i+1},y_{j})\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left.f(x_{i+1},y_{j+1})+f(x_{i+1},y_{j})\right]$		(5.28)

Observamos que nos conjuntos de nodos (marcados em azul na Figura 5.1)

	$\displaystyle\{(i,j):\leavevmode\nobreak\ i=2,\dotsc,n_{x},j=1\text{ ou }j=n_{% y}+1\},$		(5.29)
	$\displaystyle\{(i,j):\leavevmode\nobreak\ i=1\text{ ou }i=n_{x}+1,j=2,\dotsc,n% _{y}\}$		(5.30)

a função integranda será avaliada $2$ vezes. Já, em todos os nodos internos, $i=2,\dotsc,n_{x}$ , $j=2,\dotsc,n_{y}$ , a função será avaliada $4$ vezes. Com isso, chegamos à regra composta do trapézio

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\frac{h_{x}h_{y}}{4}\left[% f(x_{1},y_{1})+f(x_{n_{x}+1},y_{1})\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.+f(x_{n_{x}+1},y_{n_{y}+1})+f(x_{1},y_{n_{y}+1% })\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{h_{x}h_{y}}{2}\sum_{i=2}^{n_{x}}\left[f(x_{i}% ,y_{1})+f(x_{i},y_{n_{y}+1})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{h_{x}h_{y}}{2}\sum_{j=2}^{n_{y}}\left[f(x_{1}% ,y_{j})+f(x_{n_{x}+1},y_{j})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+h_{x}h_{y}\sum_{i=2}^{n_{x}}\sum_{j=2}^{n_{y}}f(x_{% i},y_{j})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h_{x}^{2}+h_{y}^{2})$		(5.31)

Observamos que esta é uma quadratura de $(n_{x}+1)(n_{y}+1)$ nodos.

E. 5.2.1.

Verifique a aplicação da regra composta do trapézio para computar

\int_{1.5}^{2}\int_{1}^{1.5}\ln(x+2y)\,dy\,dx.

(5.32)

Regra composta de Simpson

Aqui, vamos construir uma malha

M=\left\{C_{k}=[x_{i},x_{i+2}]\times[y_{j},y_{j+2}]:\leavevmode\nobreak\ i=1,3% ,\dotsc,n_{x}-1,j=1,3,\dotsc,n_{y}-1,\leavevmode\nobreak\ \right\},

(5.33)

onde $x_{i}=(i-1)h_{x}$ , $h_{x}=(b-a)/n_{x}$ , $i=1,2,\dotsc,n_{x}+1$ e $y_{j}=(j-1)h_{y}$ , $h_{y}=(d-c)/n_{y}$ , $j=1,2,\dotsc,n_{y}+1$ . Com $n_{x},n_{y}\leq 2$ números pares. Consulte a Figura 5.2.

A regra composta de Simpson para integrais iteradas fica

	$\displaystyle\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)\,dx\,dy=\frac{h_{x}h_{y}}{9}\left% \{f(x_{1},y_{1})+f(x_{n_{x}+1},y_{1})\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad+f(x_{1},y_{n_{y}+1})+f(x_{n_{x}+1},y_{n_{y}+1})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+2\sum_{i=1}^{n_{x}/2-1}\left[f(x_{2i+1},y_{1})+f(x_% {2i+1},y_{n_{y}+1})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+2\sum_{j=1}^{n_{y}/2-1}\left[f(x_{1},y_{2j+1})+f(x_% {n_{x}+1},y_{2j+1})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+4\sum_{i=1}^{n_{x}/2}\left[f(x_{2i},y_{1})+f(x_{2i}% ,y_{n_{y}+1})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+4\sum_{j=1}^{n_{y}/2}\left[f(x_{1},y_{2j})+f(x_{n_{% x}+1},y_{2j})\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+4\sum_{i=1}^{n_{x}/2-1}\sum_{j=1}^{n_{y}/2-1}f(x_{2% j+1},y_{2j+1})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+8\sum_{i=1}^{n_{x}/2-1}\sum_{j=1}^{n_{y}/2}f(x_{2i+% 1},y_{2j})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+8\sum_{i=1}^{n_{x}/2}\sum_{j=1}^{n_{y}/2-1}f(x_{2i}% ,y_{2j+1})$
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.+16\sum_{i=1}^{n_{x}/2}\sum_{j=1}^{n_{y}/2}f(x% _{2i},y_{2j})\right\}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h_{x}^{4}+h_{y}^{4}).$		(5.34)

E. 5.2.2.

Verifique a aplicação da regra composta de Simpson para computar

\int_{1.5}^{2}\int_{1}^{1.5}\ln(x+2y)\,dy\,dx.

(5.35)

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