Matemática numérica III

5 Integração 5 Integração 5.2 Integrais múltiplas

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

5.1 Integração autoadaptativa

Vamos considerar o problema de integrar

I(a,b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.1)

pela Regra de Simpson¹¹1Consulte mais sobre a Regra de Simpson em Seção 10.1 Regras de Newton-Cotes.. Em um dado subintervalo $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$ , temos

I(\alpha,\beta)=\underbrace{\frac{h_{0}}{3}\left[f(\alpha)+4f(\alpha+h_{0})+f(% \beta)\right]}_{S(\alpha,\beta)}-\frac{h_{0}^{5}}{90}f^{(4)}(\xi),

(5.2)

onde $h_{0}=(\beta-\alpha)/2$ e $\xi\in(\alpha,\beta)$ . Ou seja, temos que

I(\alpha,\beta)-S(\alpha,\beta)=-\frac{h_{0}^{5}}{90}f^{(4)}(\xi).

(5.3)

A ideia é explorarmos esta informação de forma a obtermos uma estimativa para o erro de integração no intervalo $[\alpha,\beta]$ sem necessitar computar $f^{(4)}$ .

Aplicando a Regra de Simpson na partição $[\alpha,(\alpha+\beta)/2]\cup[(\alpha+\beta)/2,\beta]$ , obtemos

I(\alpha,\beta)-S_{2}(\alpha,\beta)=-\frac{(h_{0}/2)^{5}}{90}\left(f^{(4)}(\xi% )+f^{(4)}(\eta)\right),

(5.4)

onde $\xi\in(\alpha,(\alpha+\beta)/2)$ , $\eta\in(\alpha+\beta)/2,\beta)$ e

S_{2}(\alpha,\beta)=S(\alpha,(\alpha+\beta)/2)+S((\alpha+\beta)/2,\beta).

(5.5)

Agora, vamos assumir que $f^{(4)}(\xi)\approx f^{(4)}(\eta)$ de forma que temos

I(\alpha,\beta)-S_{2}(\alpha,\beta)\approx-\frac{1}{16}\frac{h_{0}^{5}}{90}f^{% (4)}(\xi).

(5.6)

Subtraindo (5.3) de (5.6), obtemos

\frac{h_{0}^{5}}{90}f^{(4)}(\xi)\approx\frac{16}{15}\underbrace{\left[S(\alpha% ,\beta)-S_{2}(\alpha,\beta)\right]}_{\mathcal{E}(\alpha,\beta)}.

(5.7)

Isto nos fornece a seguinte estimativa a posteriori do erro

|I(\alpha,\beta)-S_{2}(\alpha,\beta)|\approx\frac{|\mathcal{E}(\alpha,\beta)|}% {15}.

(5.8)

Na prática, costuma-se utilizar a seguinte estimativa mais restrita

|I(\alpha,\beta)-S_{2}(\alpha,\beta)|\approx\frac{|\mathcal{E}(\alpha,\beta)|}% {10}.

(5.9)

Para garantir uma precisão global em $[a,b]$ igual a uma dada tolerância, é suficiente impor que

\frac{|\mathcal{E}(\alpha,\beta)|}{10}\leq\epsilon\frac{\beta-\alpha}{b-a}.

(5.10)

Código 18: Algoritmo Simpson Autoadaptativo

⬇

1def simpson(f,a,b):

2 return (b-a)/6. * (f(a) + 4*f((a+b)/2.) + f(b))

4def simad(f,a,b,tol=1e-8,hmin=1e-10):

5 # intervalo calculado

6 S = (a,a)

7 # intervalo a ser calculado

8 N = (a,b)

9 # intervalo ativo

10 A = N

11 # aprox calculada em [a, b]

12 J = 0.

13 # aprox calculada em A

14 JA = 0.

15 # num f eval

16 nfe = 0

17 # info

18 info = 0

19 while (S != (a,b)):

20 print(S,N,A)

21 # tamanho do intervalo

22 h = A[1]-A[0]

23 while (h > hmin):

24 J0 = simpson(f,A[0],A[1])

25 JA = simpson(f,A[0],A[0]+h/2.)

26 JA += simpson(f,A[0]+h/2.,A[1])

27 nfe += 9

28 # est erro

29 est = np.fabs(J0-JA)/10.

30 # criterio de parada

31 if (est < tol*h/(b-a)):

32 break

33 else:

34 A = (A[0],A[0]+h/2.)

35 h = h/2.

36 print("\t",S,N,A,h,est)

37 if (h < hmin):

38 print("Atencao! h < hmin !")

39 info = -1

40 break

41 J += JA

42 S = (a, A[1])

43 N = (A[1], b)

44 A = N

45 return J, nfe, info

Exemplo 5.1.1.

	$\displaystyle\int_{-3}^{4}\operatorname{arctg}(10x)\,dx=-3\operatorname{arctg}% (30)-\frac{\ln(1601)}{20}+\frac{\ln(901)}{20}+4\operatorname{arctg}(40)$		(5.11)
	$\displaystyle\text{}\quad\approx 1.54203622.$		(5.12)

5.1.1 Exercícios

E. 5.1.1.

Implemente uma abordagem autoadaptativa usando a Regra do Trapézio. Valide-a e compare com o exemplo anterior.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Política de uso de dados