Matemática numérica II

3 Integração 3 Integração 3.2 Regras compostas de Newton-Cotes

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3.1 Regras de Newton-Cotes

Buscamos um método para a aproximação numérica da integral de uma dada função $f(x)$ em um dado intervalo $[a,b]$ , i.e.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}I:=\int_{a}^{% b}f(x)\,dx.

(3.2)

A ideia das Regras de Newton-Cotes é aproximar $I$ pela integral de um polinômio interpolador de $f(x)$ por pontos previamente selecionados.

Seja, $p(x)$ o polinômio interpolador de grau $n$ de $f(x)$ pelos dados pontos $\{(x_{i},f(x_{i}))\}_{i=1}^{n+1}$ , com $x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+1}$ e $x_{i}\in[a,b]$ para todo $i=1,2,\dotsc,n+1$ . Então, pelo Teorema de Lagrange, temos

f(x)=p(x)+R_{n+1}(x),

(3.3)

onde

p(x)=\sum_{i=1}^{n+1}f(x_{i})\prod_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n+1}\frac{x-x_{j}% }{x_{i}-x_{j}}

(3.4)

R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{j=1}^{n+1}(x-x_{j}),

(3.5)

para algum $\xi=\xi(x)$ pertencente ao intervalo $[x_{1},x_{n+1}]$ . Deste modo, temos

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }I}:=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$		(3.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}p(x)\,dx+\int_{a}^{b}R_{n+1}(x)\,dx$	(3.7)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n+1}f(x_{i})\int_{a}^{b}\prod_{\overset{j% =1}{j\neq i}}^{n+1}\frac{(x-x_{j})}{x_{i}-x_{j})}\,dx}_{\text{quadratura}}$
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}+\underbrace{\int_{a}^{b}R_{n+1}(x)\,dx}_{\text{erro de % truncamento}}.$	(3.8)

Ou seja, nas quadraturas (regras) de Newton-Cotes, os nodos são as abscissas dos pontos interpolados e os pesos são as integrais dos polinômios de Lagrange associados.

Na sequência, desenvolvemos as Regras de Newton-Cotes mais usuais e estimamos o erro de truncamento em cada caso¹¹1Consulte [3, Cap. 7,Sec. 1.1], para uma abordagem mais geral..

3.1.1 Regras de Newton-Cotes Fechadas

As regras de Newton-Cotes fechadas são aquelas em que a quadratura inclui os extremos do intervalo de integração.

Regra do trapézio

A regra do trapézio é obtida tomando-se os nodos $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{1}=a$ e $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{2}=b$ . Então, denotando $h:=b-a$ ²²2Neste capítulo, $h$ é escolhido como a distância entre os nodos., os pesos da quadratura são:

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% w_{1}=\int_{a}^{b}\frac{x-b}{a-b}\,dx$		(3.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(b-a)}{2}\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}=\frac{h}{2}.$		(3.10)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% w_{2}=\int_{a}^{b}\frac{x-a}{b-a}\,dx$		(3.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(b-a)}{2}\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}=\frac{h}{2}.$		(3.12)

Agora, estimamos o erro de truncamento com

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% R:=\int_{a}^{b}R_{2}(x)\,dx$		(3.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}\frac{f^{\prime\prime}(\xi(x))}{2}(x-a)(% x-b)\,dx$		(3.14)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq C\left\|\int_{a}^{b}(x-a)(x-b)\,dx\right\|,$		(3.15)

logo, temos

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% R\leq C\frac{(b-a)^{3}}{6}\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}=O(h^{3}).

(3.16)

Portanto, a Regra do Trapézio é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]+O(h^{3}).

(3.17)

Exemplo 3.1.1.

Consideramos o problema de computar a integral de $f(x)=xe^{-x^{2}}$ no intervalo $[0,1/4]$ . Analiticamente, temos

	$\displaystyle I=\int_{0}^{1/4}xe^{-x^{2}}\,dx$		(3.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.-\frac{e^{-x^{2}}}{2}\right\|_{0}^{1/4}$		(3.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1-e^{-1/4}}{2}=3,02935\mathrm{e}\!-\!2.$		(3.20)

Agora, usando a Regra do Trapézio, obtemos a seguinte aproximação

	$\displaystyle I\approx\frac{h}{2}\left[f(0)+f(1/4)\right]$		(3.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1/4}{2}\left(0+\frac{1}{4}e^{-(1/4)^{2}}\right)$		(3.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=2,93567\mathrm{e}\!-\!2.$		(3.23)

⬇

1import numpy as np

3# intervalo

4a = 0.

5b = 1./4

6# fun

7f = lambda x: x*np.exp(-x**2)

8# quad

9h = b-a

10I = h/2*(f(a) + f(b))

11print(f'I = {I:.5e}')

Regra de Simpson

A Regra de Simpson³³3Thomas Simpson, 1710 - 1761, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: Thomas Simpson. é obtida escolhendo-se os nodos $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{1}=a$ , $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{2}=(a+b)/2$ e $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{3}=b$ . Denotando $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}h:=(b-a)/2$ , calculamos os pesos

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% w_{1}=\int_{a}^{b}\frac{(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}\,dx$		(3.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(b-a)}{6}\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}=\frac{h}{3},$		(3.25)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% w_{2}=\int_{a}^{b}\frac{(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}\,dx$		(3.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\frac{(b-a)}{6}\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}=4\frac{h}{3}$		(3.27)

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% w_{3}=\int_{a}^{b}\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}\,dx$		(3.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(b-a)}{6}\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}=\frac{h}{3}.$		(3.29)

Isto nos fornece a quadratura

I\approx\frac{h}{3}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

(3.30)

Para estimar o erro de truncamento, consideramos a expansão em polinômio de Taylor⁴⁴4Brook Taylor, 1685 - 1731, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: Brook Taylor. de grau 3 de $f(x)$ em torno do ponto $x_{2}$ , i.e.

	$\displaystyle f(x)=f(x_{2})+f^{\prime}(x_{2})(x-x_{2})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{f^{\prime\prime}(x_{2})}{2}(x-x_{2})^{2}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{f^{\prime\prime\prime}(x_{2})}{6}(x-x_{2})^{3}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{f^{(4)}(\xi_{1}(x))}{24}(x-x_{2})^{4},$		(3.31)

donde

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=2hf(x_{2})+\frac{h^{3}}{3}f^{\prime\prime}(x% _{2})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{1}{24}\int_{a}^{b}f^{(4)}(\xi_{1}(x))(x-x_{2}% )^{4}\,dx.$		(3.32)

Daí, usando da fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ , temos

f^{\prime\prime}(x_{2})=\frac{f(x_{1})-2f(x_{2})+f(x_{3})}{h^{2}}+O(h^{2}).

(3.33)

O último termo de (3.32) pode ser estimado por

	$\displaystyle\left\|\frac{1}{24}\int_{a}^{b}f^{(4)}(\xi_{1}(x))(x-x_{2})^{4}\,% dx\right\|\leq C\left\|\int_{a}^{b}(x-x_{2})^{4}\,dx\right\|$		(3.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=C(b-a)^{5}=O(h^{5}).$		(3.35)

Então, de (3.32), (3.33) e (3.35), temos a Regra de Simpson

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=\frac{h}{3}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]+O(h^{5}).

(3.36)

Exemplo 3.1.2.

A aproximação da integral do Exemplo 3.1.1 pela a Regra de Simpson é

	$\displaystyle\int_{0}^{1/4}f(x)\,dx\approx\frac{1/8}{3}\left[f(0)+4f\left(% \frac{1}{8}\right)+f\left(\frac{1}{4}\right)\right]$		(3.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{24}\left[\frac{1}{2}e^{-(1/8)^{2}}+\frac{1}% {4}e^{-(1/4)^{2}}\right]$		(3.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=3,02959\mathrm{e}\!-\!2.$		(3.39)

⬇

1import numpy as np

3# intervalo

4a = 0.

5b = 1./4

6# fun

7f = lambda x: x*np.exp(-x**2)

8# quad

9h = (b-a)/2

10I = h/3*(f(a) + 4*f((a+b)/2) + f(b))

11print(f'I = {I:.5e}')

3.1.2 Regras de Newton-Cotes abertas

As regras de Newton-Cotes abertas não incluem os extremos dos intervalos como nodos das quadraturas.

Regra do ponto médio

A regra do ponto médio é obtida usando apenas o nodo $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{1}=(a+b)/2$ . Desta forma, temos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{b}f(x_{1})\,dx$		(3.40)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\int_{a}^{b}f^{\prime}(\xi(x))(x-x_{1})\,dx,$		(3.41)

donde, denotando $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}h:=(b-a)$ , temos⁵⁵5Para a estimativa do erro de truncamento, consulte o E.3.1.5.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=hf\left(\frac{a+b}{2}\right)+O(h^{3}).

(3.42)

Exemplo 3.1.3.

Aproximando a integral dada no Exemplo 3.1.1 pela a Regra do Ponto Médio, obtemos

	$\displaystyle\int_{0}^{1/4}f(x)\,dx\approx\frac{1}{4}f\left(\frac{1}{8}\right)$		(3.43)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{32}e^{-(1/8)^{2}}$		(3.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=3,07655\mathrm{e}\!-\!2.$		(3.45)

⬇

1import numpy as np

3# intervalo

4a = 0.

5b = 1./4

6# fun

7f = lambda x: x*np.exp(-x**2)

8# quad

9h = b-a

10I = h*f((a+b)/2)

11print(f'I = {I:.5e}')

3.1.3 Exercício

E. 3.1.1.

Aproxime

I=\int_{\pi/6}^{\pi/4}e^{-x}\cos(x)\,dx

(3.46)

pelas seguintes Regras de Newton-Cotes e compute o erro absoluto em relação ao valor exato:

a)

Regra do Trapézio.
b)

Regra de Simpson.
c)

Regra do Ponto Médio.

$I=1.08414\mathrm{e}\!-\!1$ , a) $\tilde{I}=1.09356\mathrm{e}\!-\!01$ , $|\tilde{I}-I|=9.4\mathrm{e}\!-\!4$ , b) $\tilde{I}=1.08413\mathrm{e}\!-\!01$ , $|\tilde{I}-I|=7.1\mathrm{e}\!-\!07$ , c) $\tilde{I}=1.07942\mathrm{e}\!-\!01$ , $|\tilde{I}-I|=4.7\mathrm{e}\!-\!04$

E. 3.1.2.

Aproxime

\int_{-1}^{0}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.47)

usando a:

a)

Regra do Ponto Médio.
b)

Regra do Trapézio.
c)

Regra de Simpson.

a) $3,33647\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $1,71368\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $2,79554\mathrm{e}\!-\!1$

E. 3.1.3.

Considere a seguinte tabela de pontos

$i$	$x_{i}$	$y_{i}$
$1$	$2.0$	$1.86$
$2$	$2.1$	$1.90$
$3$	$2.2$	$2.01$
$4$	$2.3$	$2.16$
$5$	$2.4$	$2.23$
$6$	$2.5$	$2.31$

Assumindo que $y=f(x)$ , compute:

a)

$\displaystyle\int_{2,1}^{2,3}f(x)\,dx$ usando a Regra do Ponto Médio.
b)

$\displaystyle\int_{2,0}^{2,5}f(x)\,dx$ usando a Regra do Trapézio.
c)

$\displaystyle\int_{2,0}^{2,4}f(x)\,dx$ usando a Regra de Simpson.

a) $4,02000\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $1,04250E+0$ ; c) $8,08667\mathrm{e}\!-\!1$

E. 3.1.4.

Considere uma função $y=f(x)$ com valores tabelados como no E.3.1.3. Observando que

	$\displaystyle\underbrace{\int_{2.0}^{2.4}f(x)\,dx}_{:=I}=\underbrace{\int_{2.0% }^{2.2}f(x)\,dx}_{:=I_{1}}$		(3.48)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\underbrace{\int_{2.2}^{2.4}f(x)\,dx}_{:=I_{2}}$		(3.49)

compute, com a Regra de Simpson, as seguintes aproximações:

a)

$\tilde{I}\approx I$ .
b)

$\tilde{I}_{1}\approx I_{1}$ .
c)

$\tilde{I}_{2}\approx I_{2}$ .
d)

$\tilde{\tilde{I}}=\tilde{I}_{1}+\tilde{I}_{2}$ .

Por fim, diga qual das aproximações $\tilde{I}$ e $\tilde{\tilde{I}}$ de $I$ tem maior exatidão. Justifique sua proposta.

a) $\tilde{I}=8.08667\mathrm{e}\!-\!01$ , b) $\tilde{I}_{1}=3.82333\mathrm{e}\!-\!01$ , c) $\tilde{I}_{2}=4.29333\mathrm{e}\!-\!01$ , d) $\tilde{\tilde{I}}=8.11667\mathrm{e}\!-\!01$ . (mais exata)

E. 3.1.5.

Mostre que o erro de truncamento da regra do ponto médio é da ordem de $h^{3}$ , onde $h$ é o tamanho do intervalo de integração.

Use um procedimento semelhante aquele usado para determinar a ordem do erro de truncamento da regra de Simpson.

E. 3.1.6.

Desenvolva a Regra de Newton-Cotes Aberta de $2$ pontos e estime seu erro de truncamento.

$h:=\frac{(b-a)}{3}$ ,

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\frac{3h}{2}\left[f\left(a+\frac{1}{3}(b-a)% \right)\right.$		(3.50)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\left.f\left(a+\frac{2}{3}(b-a)\right)\right]+O(h^{% 3}).$		(3.51)

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3.1 Regras de Newton-Cotes

3.1.1 Regras de Newton-Cotes Fechadas

Regra do trapézio

Exemplo 3.1.1.

Regra de Simpson

Exemplo 3.1.2.

3.1.2 Regras de Newton-Cotes abertas

Regra do ponto médio

Exemplo 3.1.3.

3.1.3 Exercício

E. 3.1.1.

E. 3.1.2.

E. 3.1.3.

E. 3.1.4.

E. 3.1.5.

E. 3.1.6.

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