Matemática Numérica II

3 Integração 3.1 Regras de Newton-Cotes 3.3 Quadratura de Romberg

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3.2 Regras Compostas de Newton-Cotes

Regras de integração numérica compostas (ou quadraturas compostas) são aquelas obtidas da composição de quadraturas aplicadas as subintervalos do intervalo de integração. Mais especificamente, a integral de uma dada função $f(x)$ em um dado intervalo $[a,b]$ pode ser reescrita como uma soma de integrais em sucessivos subintervalos de $[a,b]$ , i.e.

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\sum_{i=1}^{n}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)\,dx,

(3.33)

onde $a=x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+1}=b$ . Então, a aplicação de uma quadratura em cada integral em $[x_{i},x_{i+1}]$ , $i=1,2,\dotsc,n$ , nos fornece uma regra composta.

3.2.1 Regra Composta do Ponto Médio

Consideramos uma partição uniforme do intervalo de integração $[a,b]$ da forma $a=\tilde{x}_{1}<\tilde{x}_{2}<\cdots<\tilde{x}_{n+1}=b$ , com $h=\tilde{x}_{i+1}-\tilde{x}_{i}$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Então, aplicando a regra do ponto médio a cada integral nos subintervalos $[\tilde{x}_{i},\tilde{x}_{i+1}]$ , temos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\int_{\tilde{x}_{i}}^{\tilde{x}_{i+1}}f(x)\,dx$		(3.34)
		$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\left[{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}hf\left(\frac{\tilde{x}_{i}+\tilde{x}_{i+1}}{2}% \right)}+O(h^{3})\right].$		(3.35)

Agora, observando que $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}h:=(b-a)/n$ e escolhendo os nodos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{i}=a+(i-1/% 2)h,

(3.36)

$i=1,2,\dotsc,n$ , obtemos a regra composta do ponto médio com $n$ subintervalos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=\sum_{i=1}^{n}hf(x_{i})+O(h^{2}).

(3.37)

Exemplo 3.2.1.

Consideramos o problema de computar a integral de $f(x)=xe^{-x^{2}}$ no intervalo $[0,1]$ . Usando a regra composta do ponto médio com $n$ subintervalos, obtemos a aproximação

\underbrace{\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx}_{I}\approx\underbrace{\sum_{i=1}^{n}% hf(x_{i})}_{S},

(3.38)

onde $h=1/n$ e $x_{i}=(i-1/2)h$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Na Tabela 3.1, temos as aproximações computadas com diversos números de subintervalos, bem como, seus erros absolutos.

Tabela 3.1: Resultados referentes ao Exemplo 3.2.1.

$n$	$S$	$\|S-I\|$
1	$3.89400\mathrm{e}\!-\!1$	$7.3\mathrm{e}\!-\!2$
10	$3.16631\mathrm{e}\!-\!1$	$5.7\mathrm{e}\!-\!4$
100	$3.16066\mathrm{e}\!-\!1$	$5.7\mathrm{e}\!-\!6$
1000	$3.16060\mathrm{e}\!-\!1$	$5.7\mathrm{e}\!-\!8$

Código 5: pm_comp.py

⬇

1import numpy as np

3def pm_comp(f, a, b, n):

4 h = (b-a)/n

5 S = 0.

6 for i in range(n):

7 x = a + (i+0.5)*h

8 S += f(x)

9 S *= h

10 return S

12# intervalo

13a = 0.

14b = 1.

15# integrando

16def f(x):

17 return x*np.exp(-x**2)

19# quad

20n = 10

21S = pm_comp(f, a, b, n)

22# exata

23I = 1./2 - np.exp(-1.)/2

24# erro abs

25print(f'{n}: {S:.5e}, {np.fabs(S-I):.1e}')

3.2.2 Regra Composta do Trapézio

Para obtermos a regra composta do trapézio, consideramos uma partição uniforme do intervalo de integração $[a,b]$ da forma $a=x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n+1}=b$ com $h=x_{i+1}-x_{i}$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Então, aplicando a regra do trapézio em cada integração nos subintervalos, obtemos


$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x)\,dx$	(3.39a)
	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\left\{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{h}{2}\left[f(x_{i})+f(x_{i+1})\right]}+O(h^{3% })\right\}$	(3.39b)
	$\displaystyle=\frac{h}{2}f(x_{1})+\sum_{i=2}^{n}hf(x_{i})+\frac{h}{2}f(x_{n+1}% )+O(h^{2}).$	(3.39c)

Desta forma, a regra composta do trapézio com $n$ subintervalos é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=\frac{h}{2}\left[f(x_{1})+2\sum_{i=2}^{n}f(x_{i})+f(x_{n+1})\right]+O(% h^{2}),

(3.40)

onde $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}h=(b-a)/n$ e $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{i}=a+(i-1)h$ , $i=1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 3.2.2.

Consideramos o problema de computar a integral de $f(x)=xe^{-x^{2}}$ no intervalo $[0,1]$ . Usando a regra composta do trapézio com $n$ subintervalos, obtemos a aproximação

\underbrace{\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx}_{I}\approx\underbrace{\frac{h}{2}% \left[f(x_{1})+2\sum_{i=2}^{n}f(x_{i})+f(x_{n+1})\right]}_{S},

(3.41)

onde $h=1/n$ e $x_{i}=(i-1)h$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Na Tabela 3.2, temos as aproximações computadas com diversos números de subintervalos, bem como, seus erros absolutos.

Tabela 3.2: Resultados referentes ao Exemplo 3.2.2.

$n$	$S$	$\|S-I\|$
1	$1.83940\mathrm{e}\!-\!1$	$1.3\mathrm{e}\!-\!1$
10	$3.14919\mathrm{e}\!-\!1$	$1.1\mathrm{e}\!-\!3$
100	$3.16049\mathrm{e}\!-\!1$	$1.1\mathrm{e}\!-\!5$
1000	$3.16060\mathrm{e}\!-\!1$	$1.1\mathrm{e}\!-\!7$

Código 6: trap_comp.py

⬇

1import numpy as np

3def trap_comp(f, a, b, n):

4 h = (b-a)/n

5 S = f(a)

6 for i in range(1,n):

7 x = a + i*h

8 S += 2*f(x)

9 S += f(b)

10 S *= h/2

11 return S

3.2.3 Regra Composta de Simpson

A fim de obtermos a regra composta de Simpson, consideramos uma partição uniforme do intervalo de integração $[a,b]$ da forma $a=\tilde{x}_{1}<\tilde{x}_{2}<\cdots<\tilde{x}_{n+1}=b$ , com $h=(\tilde{x}_{i+1}-\tilde{x}_{i})/2$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Então, aplicando a regra de Simpson a cada integral nos subintervalos $[\tilde{x}_{i},\tilde{x}_{i+1}]$ , temos


$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\int_{\tilde{x}_{i}}^{\tilde{x}_{i+1}}f(x)\,dx$	(3.42a)
	$\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}\left\{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{h}{3}\left[f(\tilde{x_{i}})+4f\left(\frac{% \tilde{x}_{i}+\tilde{x}_{i+1}}{2}\right)+f(\tilde{x_{i+1}})\right]}+O(h^{5})% \right\}.$	(3.42b)

Então, observando que $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}h=(b-a)/(2n)$ e tomando $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{i}=a+(i-1)h$ , $i=1,2,\dotsc,n$ , obtemos a regra composta de Simpson com $n$ subintervalos

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$	$\displaystyle=\frac{h}{3}\left[f(x_{1})+2\sum_{i=2}^{n}f(x_{2i-1})+4\sum_{i=1}% ^{n}f(x_{2i})+f(x_{n+1})\right]$		(3.43)
		$\displaystyle+O(h^{4})$		(3.43)

Exemplo 3.2.3.

Consideramos o problema de computar a integral de $f(x)=xe^{-x^{2}}$ no intervalo $[0,1]$ . Usando a regra composta de Simpson com $n$ subintervalos, obtemos a aproximação

\underbrace{\int_{0}^{1}xe^{-x^{2}}\,dx}_{I}\approx\underbrace{\frac{h}{3}% \left[f(x_{1})+2\sum_{i=2}^{n}f(x_{2i-1})+4\sum_{i=1}^{n}f(x_{2i})+f(x_{n+1})% \right]}_{S},

(3.44)

onde $h=1/(2n)$ e $x_{i}=(i-1)h$ , $i=1,2,\dotsc,n$ . Na Tabela 3.3, temos as aproximações computadas com diversos números de subintervalos, bem como, seus erros absolutos.

Tabela 3.3: Resultados referentes ao Exemplo 3.2.3.

$n$	$S$	$\|I-S\|$
$1$	$3.20914\mathrm{e}\!-\!1$	$4.9\mathrm{e}\!-\!3$
$10$	$3.16061\mathrm{e}\!-\!1$	$3.4\mathrm{e}\!-\!7$
$100$	$3.16060\mathrm{e}\!-\!1$	$3.4\mathrm{e}\!-\!11$
$1000$	$3.16060\mathrm{e}\!-\!1$	$4.2\mathrm{e}\!-\!15$

Código 7: simpson_comp.py

⬇

1import numpy as np

3def simpson_comp(f, a, b, n):

4 h = (b-a)/(2*n)

5 S = f(a)

6 for i in range(1,n):

7 x = a + (2*i)*h

8 S += 2*f(x)

9 for i in range(0,n):

10 x = a + (2*i+1)*h

11 S += 4*f(x)

12 S += f(b)

13 S *= h/3

14 return S

Exercícios

E. 3.2.1.

Aproxime

\int_{-1}^{0}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.45)

usando a:

a)

regra composta do ponto médio com $10$ subintervalos.
b)

regra composta do trapézio com $10$ subintervalos.
c)

regra composta de Simpson com $10$ subintervalos.

a) $2.69264\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $2.68282\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $2.68937\mathrm{e}\!-\!1$

E. 3.2.2.

Considere

I=\int_{\pi/6}^{\pi/4}e^{-x}\cos(x)\,dx

(3.46)

Para cada uma das seguintes quadraturas, compute a aproximação de $I$ com $5$ dígitos significativos corretos.

a)

regra composta do ponto médio.
b)

regra composta do trapézio.
c)

regra composta de Simpson.

Dica: para cada quadratura, observe a convergência das aproximações com sucessivos refinamentos no número de intervalos.

E. 3.2.3.

Considere a seguinte tabela de pontos

$i$	$x_{i}$	$y_{i}$
$1$	$2.0$	$1.86$
$2$	$2.1$	$1.90$
$3$	$2.2$	$2.01$
$4$	$2.3$	$2.16$
$5$	$2.4$	$2.23$
$6$	$2.5$	$2.31$

Assumindo que $y=f(x)$ , e usando o máximo de subintervalos possíveis, calcule:

a)

$\displaystyle\int_{2,0}^{2,4}f(x)\,dx$ usando a regra do ponto médio composta.
b)

$\displaystyle\int_{2,0}^{2,5}f(x)\,dx$ usando a regra do trapézio composta.
c)

$\displaystyle\int_{2,0}^{2,4}f(x)\,dx$ usando a regra de Simpson composta.

a) $8.12000\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $1.03850$ ; c) $8.11667\mathrm{e}\!-\!1$

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Matemática Numérica II

3.2 Regras Compostas de Newton-Cotes

3.2.1 Regra Composta do Ponto Médio

Exemplo 3.2.1.

3.2.2 Regra Composta do Trapézio

Exemplo 3.2.2.

3.2.3 Regra Composta de Simpson

Exemplo 3.2.3.

Exercícios

E. 3.2.1.

E. 3.2.2.

E. 3.2.3.

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