Matemática numérica II

3 Integração 3.3 Quadratura de Romberg 3.5 Quadratura Gauss-Legendre

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3.4 Grau de exatidão

O grau de exatidão é uma medida de exatidão de uma quadratura numérica. Mais precisamente, dizemos que uma dada quadratura numérica de nodos e pesos $\{(x_{i},\omega_{i})\}_{i=1}^{n}$ tem grau de exatidão $m$ , quando

\int_{a}^{b}p(x)\,dx=\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})\omega_{i}

(3.77)

para todo polinômio $p(x)$ de grau menor $m$ . Ou ainda, conforme descrito na definição a seguir.

Definição 3.4.1.(Grau de exatidão)

Dizemos que uma dada quadratura numérica de pontos e nodos $\{x_{i},\omega_{i}\}_{i=1}^{n}$ tem grau de exatidão $m$ , quando

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}x% ^{k}\,dx=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{k}\omega_{i},\leavevmode\nobreak\ \forall k\leq m.

(3.78)

3.4.1 Regra do ponto médio

Vamos determinar o grau de exatidão da regra do ponto médio. Para tanto, verificamos para quais $k$ vale

\int_{a}^{b}x^{k}\,dx=(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{k}.

(3.79)

Temos

•

$k=0$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{0}\,dx=\left.x\right|_{a}^{b}=b-a,$ (3.80)

$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{0}=b-a.$ (3.81)
•

$k=1$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{1}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2},$ (3.82)

$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{1}=(b-a)\frac{(a+b)}{2}=\frac{b^% {2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}.$ (3.83)
•

$k=2$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3},$ (3.84)

$\displaystyle(b-a)\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}\neq\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3% }}{3}.$ (3.85)

Ou seja, a regra do ponto médio tem grau de exatidão $1$ . Isto quer dizer, que a regra do ponto médio fornece o valor exato para a integral de qualquer polinômio de grau menor ou igual a 1.

Exemplo 3.4.1.

A integral

	$\displaystyle I=\int_{1}^{5}1-2x\,dx$		(3.86)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.x-x^{2}\right\|_{1}^{5}$		(3.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=(5-25)-(1-1)=-20.$		(3.88)

Pela regra do ponto médio, temos

	$\displaystyle S=hf\left(\frac{a+b}{2}\right)$		(3.89)
	$\displaystyle\text{}\quad=(5-1)\left[1-2\cdot\frac{(1+5)}{2}\right]$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=4(1-6)=-20.$		(3.91)

3.4.2 Regra de Simpson

Vamos determinar o grau de exatidão da regra de Simpson. Para tanto, verificamos para quais $k$ vale

\int_{a}^{b}x^{k}\,dx=\frac{(b-a)}{6}\left(a^{k}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{% k}+b^{k}\right).

(3.92)

Temos

•

$k=0$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{0}\,dx=\left.x\right|_{a}^{b}=b-a,$ (3.93)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{0}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{0}+b^{0}% \right)=b-a.$ (3.94)
•

$k=1$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{1}\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2},$ (3.95)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{1}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{1}+b^{1}% \right)=\frac{(b-a)}{2}(a+b)$ (3.96)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{b^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}.$ (3.97)
•

$k=2$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3},$ (3.98)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{2}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}+b^{2}% \right)=\frac{(b-a)}{3}(a^{2}+ab+b^{2})$ (3.99)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{b^{3}}{3}-\frac{a^{3}}{3}.$ (3.100)
•

$k=3$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{4}}{4}-\frac{a^{4}}{4},$ (3.101)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{3}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{3}+b^{3}\right)$ (3.102)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(b-a)}{6}\left[\frac{3a^{3}}{2}+\frac{3b}{2}a^% {2}+\frac{3a}{2}b^{2}+\frac{3b^{3}}{2}\right]$ (3.103)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{b^{4}}{4}-\frac{a^{4}}{4}.$ (3.104)
•

$k=4$ :

$\displaystyle\int_{a}^{b}x^{4}\,dx=\left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{a}^{b}=\frac{% b^{5}}{5}-\frac{a^{5}}{5},$ (3.105)

$\displaystyle\frac{(b-a)}{6}\left(a^{4}+4\left(\frac{a+b}{2}\right)^{4}+b^{4}% \right)\neq\frac{b^{5}}{5}-\frac{a^{5}}{5}.$ (3.106)

Ou seja, a regra de Simpson tem grau de exatidão $3$ . Isto significa que ela fornece o valor exato da integral de qualquer polinômio de grau menor ou igual a 3.

Exemplo 3.4.2.

A integral

	$\displaystyle I=\int_{-1}^{1}1-x^{2}\,dx$		(3.107)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.x-\frac{x^{3}}{3}\right\|$		(3.108)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)$		(3.109)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{3}.$		(3.110)

Pela regra de Simpson, temos

	$\displaystyle S=\frac{h}{3}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$		(3.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\left[(1-(-1)^{2})+4(1-0^{2})+(1-(1)^{2})\right]$		(3.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{3}.$		(3.113)

3.4.3 Exercícios

E. 3.4.1.

Determine o grau de exatidão da regra do trapézio.

$1$

E. 3.4.2.

Calcule

\int_{-7\sqrt{3}}^{7\sqrt{3}}\pi x-e\,dx.

(3.114)

Dica: use a regra do ponto médio.

E. 3.4.3.

Determine o nodo e o peso da quadratura numérica de um único nodo e de grau de exatidão $1$ para o intervalo de integração $[-1,1]$ .

$x_{1}=0$ , $\omega_{1}=2$

E. 3.4.4.

Considere uma quadratura numérica de dois nodos e pesos

S=f(x_{1})\omega_{1}+f(x_{2})\omega_{2}.

(3.115)

Determine as possíveis escolhas de pesos e nodos para que ela tenha grau de exatidão $2$ no intervalo de integração $[0,1]$ .

	$\displaystyle\omega_{1}+\omega_{2}=1$		(3.116)
	$\displaystyle x_{1}\omega_{1}+x_{2}\omega_{2}=\frac{1}{2}$		(3.117)
	$\displaystyle x_{1}^{2}\omega_{1}+x_{2}^{2}\omega_{2}=\frac{1}{3}$		(3.118)

E. 3.4.5.

Mostre que a seguinte quadratura numérica

S=f(-1)\frac{1}{3}+f(0)\frac{4}{3}+f(1)\frac{1}{3}

(3.119)

tem grau de exatidão $3$ no intervalo de integração $[-1,1]$ .

Dica: consulte o grau de exatidão da regra de Simpson.

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