Matemática numérica II

2 Técnicas de extrapolação 2 Técnicas de extrapolação 3 Integração

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

2.1 Extrapolação de Richardson

Em revisão

Seja $F_{1}(h)$ uma aproximação de $I$ tal que

I=F_{1}(h)+\underbrace{k_{1}h+k_{2}h^{2}+k_{3}h^{3}+O(h^{4})}_{\text{erro de % truncamento}}.

(2.1)

Então, dividindo $h$ por $2$ , obtemos

I=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+k_{1}\frac{h}{2}+k_{2}\frac{h^{2}}{4}+k_{3}% \frac{h^{3}}{8}+O(h^{4}).

(2.2)

Agora, de forma a eliminarmos o termo de ordem $h$ das expressões acima, subtraímos (2.1) de $2$ vezes (2.2), o que nos leva a

I=\underbrace{\left[F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{1}\left(\frac{h}{2}% \right)-F_{1}(h)\right)\right]}_{F_{2}(h)}-k_{2}\frac{h^{2}}{2}-k_{3}\frac{3h^% {3}}{4}+O(h^{4}).

(2.3)

Ou seja, denotando

F_{2}(h):=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)-F_% {1}(h)\right)

(2.4)

temos que $N_{2}(h)$ é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da ordem de $h^{2}$ , uma ordem a mais de $N_{1}(h)$ . Ou seja, esta combinação de aproximações de ordem de truncamento $h$ nos fornece uma aproximação de ordem de truncamento $h^{2}$ .

Analogamente, consideremos a aproximação de $I$ por $N_{2}(h/2),i.e.$

I=F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)-k_{2}\frac{h^{2}}{8}-k_{2}\frac{3h^{3}}{32}+O(% h^{4})

(2.5)

Então, subtraindo (2.3) de $4$ vezes (2.5) de, obtemos

I=\underbrace{\left[3F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{2}\left(\frac{h}{2% }\right)-F_{2}(h)\right)\right]}_{F_{3}(h)}+k_{3}\frac{3h^{3}}{8}+O(h^{4}).

(2.6)

Observemos, ainda, que $N_{3}(h)$ pode ser reescrita na forma

F_{3}(h)=F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{2}\left(\frac{h}{2}\right)-F_{% 2}(h)}{3},

(2.7)

a qual é uma aproximação de ordem $h^{3}$ para $I$ .

Para fazermos mais um passo, consideramos a aproximação de $I$ por $F_{3}(h/2)$ , i.e.

I=F_{3}\left(\frac{h}{2}\right)+k_{3}\frac{3h^{3}}{64}+O(h^{4}).

(2.8)

E, então, subtraindo (2.6) de $8$ vezes (2.8), temos

I=\underbrace{\left[F_{3}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(\frac{F_{3}\left(\frac% {h}{2}\right)-F_{3}(h)}{7}\right)\right]}_{F_{4}(h)}+O(h^{4}).

(2.9)

Ou seja,

F_{4}(h)=\left[F_{3}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{3}\left(\frac{h}{2}% \right)-F_{3}(h)}{7}\right]

(2.10)

é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da ordem $h^{4}$ . Estes cálculos nos motivam o seguinte teorema.

Teorema 2.1.1.

Seja $F_{1}(h)$ uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

I-F_{1}(h)=\sum_{i=1}^{n}k_{1}h^{i}+O(h^{n+1}).

(2.11)

Então, para $j\geq 2$ ,

F_{j}(h):=F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right% )-F_{j-1}(h)}{2^{j-1}-1}

(2.12)

é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

	$\displaystyle I-F_{j}(h)=\sum_{i=j}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{i-1}-1\right)% \prod_{l=1}^{j-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}h^{i}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h^{n+1}),$		(2.13)

onde $d_{j}$ é dado recursivamente por $d_{j+1}=2^{j-1}d_{j}$ , com $d_{2}=1$ .

Demonstração.

Fazemos a demonstração por indução. O resultado para $j=2$ segue de (2.3). Assumimos, agora, que vale

	$\displaystyle I-F_{j}(h)=(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{j-1}-1\right)\prod_{l=1}^{j-% 2}\left(2^{j-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)}d_{j}}k_{j}h^{j}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\sum_{i=j+1}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{i-1}-1% \right)\prod_{l=1}^{j-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}h% ^{i}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h^{n+1}).$		(2.14)

para $j\geq 2$ . Então, tomamos

	$\displaystyle I-F_{j}\left(\frac{h}{2}\right)=(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{j-1}-1% \right)\prod_{l=1}^{j-2}\left(2^{j-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)}d_{j}}k_{j}\frac{h^% {j}}{2^{j}}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\sum_{i=j+1}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(2^{i-1}-1% \right)\prod_{l=1}^{j-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}% \frac{h^{i}}{2^{i}}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h^{n+1}).$		(2.15)

Agora, subtraímos (2.14) de $2^{j}$ vezes (2.15), o que nos fornece

	$\displaystyle I=\left[F_{j}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{j}\left(\frac{h}{% 2}\right)-F_{j}(h)}{2^{j}-1}\right]$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\sum_{i=j+1}^{n}(-1)^{(j+1)-1}\frac{\left(2^{i-1}-1% \right)\prod_{l=1}^{(j+1)-2}\left(2^{i-l-1}-1\right)}{2^{((j+1)-1)(i-(j+1)+1)}% 2^{j-1}d_{j}}k_{i}h^{i}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h^{n+1}).$		(2.16)

∎

Corolário 2.1.1.

Seja $F_{1}(h)$ uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

I-F_{1}(h)=\sum_{i=1}^{n}k_{1}h^{2i}+O(h^{2n+2}).

(2.17)

Então, para $j\geq 2$ ,

F_{j}(h):=F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{F_{j-1}\left(\frac{h}{2}\right% )-F_{j-1}(h)}{4^{j-1}-1}

(2.18)

é uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da forma

	$\displaystyle I-F_{j}(h)=\sum_{i=j}^{n}(-1)^{j-1}\frac{\left(4^{i-1}-1\right)% \prod_{l=1}^{j-2}\left(4^{i-l-1}-1\right)}{4^{(j-1)(i-j+1)}d_{j}}k_{i}h^{2i}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+O(h^{n+1}),$		(2.19)

onde $d_{j}$ é dado recursivamente por $d_{j+1}=4^{j-1}d_{j}$ , com $d_{2}=1$ .

Demonstração.

A demonstração é análoga ao do Teorema 2.1.1. ∎

Exemplo 2.1.1.

Dada uma função $f(x)$ , consideremos sua aproximação por diferenças finitas progressiva de ordem $h$ , i.e.

	$\displaystyle\underbrace{f^{\prime}(x)}{I}=\underbrace{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_% {F_{1}(h)}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2}h+\frac{f^{\prime% \prime\prime}(x)}{6}h^{2}+O(h^{3}).$		(2.20)

Estão, considerando a primeira extrapolação de Richardson, temos

	$\displaystyle F_{2}(h)=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\left(F_{1}\left(\frac{h}% {2}\right)-F_{1}(h)\right)$		(2.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\frac{f(x+h/2)-f(x)}{h}-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(2.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-f(x+h)+4f(x+h/2)-3f(x)}{h},$		(2.23)

a qual é a fórmula de diferenças finitas progressiva de três pontos com passo $h/2$ , i.e. $D_{+,(h/2)^{2}}f(x)$ (veja, Fórmula (1.54)).

Exemplo 2.1.2.

Dada uma função $f(x)$ , consideremos sua aproximação por diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ , i.e.

	$\displaystyle\underbrace{f^{\prime}(x)}{I}=\underbrace{\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h% }}_{F_{1}(h)}$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{f^{\prime\prime\prime}}{6}h^{2}-\frac{f^{(5)}% (x)}{120}h^{4}+O(h^{6}).$		(2.24)

Estão, considerando a primeira extrapolação de Richardson, temos

	$\displaystyle F_{2}(h)=F_{1}\left(\frac{h}{2}\right)+\frac{\left(F_{1}\left(% \frac{h}{2}\right)-F_{1}(h)\right)}{3}$		(2.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{6h}\left[f(x-h)-8f(x-h/2)+8f(x+h/2)-f(x+h)\right]$		(2.26)

a qual é a fórmula de diferenças finitas central de cinco pontos com passo $h/2$ , i.e. $D_{+,(h/2)^{4}}f(x)$ (veja, Fórmula (1.59)).

2.1.1 Sucessivas extrapolações

Em revisão

Sucessivas extrapolações de Richardson podem ser computadas de forma robusta com o auxílio de uma tabela. Seja $F_{1}(h)$ uma dada aproximação de uma quantidade de interesse $I$ com erro de truncamento da forma

I-F_{1}(h)=k_{1}h+k_{2}h^{2}+k_{3}h^{3}+\cdots+k_{n}h^{n}+O(h^{n+1}).

(2.27)

Então, as sucessivas extrapolações $F_{2}(h)$ , $F_{3}(h)$ , $\dotsc$ , $F_{n}(h)$ podem ser organizadas na seguinte forma tabular

T=\left[\begin{array}[]{lllll}F_{1}(h)\\ F_{1}(h/2)&F_{2}(h)\\ F_{1}(h/2^{2})&F_{2}(h/2)&F_{3}(h)\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ F_{1}(h/2^{n})&F_{2}(h/2^{n-1})&F_{3}(h/2^{n-2})&\cdots&F_{n}(h)\end{array}\right]

(2.28)

Desta forma, temos que

F_{j}\left(\frac{h}{2^{i-1}}\right)=t_{i,j-1}+\frac{t_{i,j-1}-t_{i-1,j-1}}{2^{% j-1}-1}

(2.29)

com $j=2,3,\dotsc,n$ e $j\geq i$ , onde $t_{i,j}$ é o elemento da $i$ -ésima linha e $j$ -ésima coluna da matriz $T$ .

Exemplo 2.1.3.

Consideremos o problema de aproximar a derivada da função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ no ponto $\pi/3$ . Usando a fórmula de diferenças finitas progressiva de ordem $h$ obtemos

	$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\underbrace{\frac{f\left(% \frac{\pi}{3}+h\right)-f\left(\frac{\pi}{3}\right)}{h}}_{F_{1}(h):=D_{+,h}f(% \pi/3)}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2}h+\frac{f^{\prime% \prime\prime}(x)}{6}h^{2}+\cdots$		(2.30)

Na Tabela 2.1 temos os valores das aproximações de $f^{\prime}(\pi/3)$ computadas via sucessivas extrapolações de Richardson a partir de (2.30) com $h=0.1$ .

Tabela 2.1: Resultados referente ao Exemplo 2.1.3.

$O(h)$	$O(h^{2})$	$O(h^{3})$	$O(h^{4})$
$4,55902\mathrm{e}\!-\!1$
$4,78146\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00389\mathrm{e}\!-\!1$
$4,89123\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00101\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00005\mathrm{e}\!-\!1$
$4,94574\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00026\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00001\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00000\mathrm{e}\!-\!1$

Exemplo 2.1.4.

Novamente, consideremos o problema de aproximar a derivada da função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ no ponto $\pi/3$ . A fórmula de diferenças finitas central de ordem $h^{2}$ tem a forma

	$\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\underbrace{\frac{f\left(% \frac{\pi}{3}+h\right)-f\left(\frac{\pi}{3}-h\right)}{2h}}_{F_{1}(h):=D_{0,h^{% 2}}f(\pi/3)}$
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{f^{\prime\prime\prime}(x)}{6}h^{2}+\frac{f^{(% 5)}(x)}{120}h^{4}-\cdots$		(2.31)

Na Tabela 2.2 temos os valores das aproximações de $f^{\prime}(\pi/3)$ computadas via sucessivas extrapolações de Richardson a partir de (2.31) com $h=1$ .

Tabela 2.2: Resultados referente ao Exemplo 2.1.4.

$O(h^{2})$	$O(h^{4})$	$O(h^{6})$	$O(h^{8})$
$4,20735\mathrm{e}\!-\!1$
$4,79426\mathrm{e}\!-\!1$	$4,98989\mathrm{e}\!-\!1$
$4,94808\mathrm{e}\!-\!1$	$4,99935\mathrm{e}\!-\!1$	$4,99998\mathrm{e}\!-\!1$
$4,98699\mathrm{e}\!-\!1$	$4,99996\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00000\mathrm{e}\!-\!1$	$5,00000\mathrm{e}\!-\!1$

2.1.2 Exercícios

Em revisão

E. 2.1.1.

Mostre que a primeira extrapolação de Richardson de

D_{-,h}f(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}

(2.32)

é igual a

D_{-,(h/2)^{2}}f(x)=\frac{3f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h}.

(2.33)

E. 2.1.2.

Considere o problema de aproximar a derivada de

f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}+x

(2.34)

no ponto $x=2,5$ . Para tanto, use de sucessivas extrapolações de Richardson a partir da aproximação por diferenças finitas:

a)

progressiva de ordem $h$ , com $h=0,5$ .
b)

regressiva de ordem $h$ , com $h=0,5$ .
c)

central de ordem $h^{2}$ , com $h=0,5$ .

Nas letras a) e b), obtenha as aproximações de ordem $h^{3}$ e, na letra $c)$ obtenha a aproximação de ordem $h^{6}$ .

a) $1,05919$ ; b) $1,05916$ ; c) $1,05913$

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Matemática numérica II

2.1 Extrapolação de Richardson

Teorema 2.1.1.

Demonstração.

Corolário 2.1.1.

Demonstração.

Exemplo 2.1.1.

Exemplo 2.1.2.

2.1.1 Sucessivas extrapolações

Exemplo 2.1.3.

Exemplo 2.1.4.

2.1.2 Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

Envie seu comentário