Matemática numérica I

5 Interpolação 5.1 Interpolação polinomial 5.3 Diferenças divididas de Newton

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5.2 Interpolação de Lagrange

Interpolação de Lagrange³³3Joseph-Louis Lagrange, 1736 - 1813, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Joseph-Louis Lagrange. é uma técnica para a computação do polinômio interpolador $p(x)$ de um conjunto de pontos $\{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}$ dados. A ideia consiste em escrever o polinômio interpolador na forma

	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}p(x)=\sum_{i=1}^{n}y_{i}L_{% i}(x)$		(5.14)
	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}\text{}\quad=y_{1}L_{1}(x)+% y_{2}L_{2}(x)+\cdots+y_{n}L_{n}(x),$		(5.15)

onde $L_{i}(x)$ é chamado de $i$ -ésimo polinômio de Lagrange e é definido como o polinômio de grau $n-1$ que satisfaz

\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}L_{i}(x_{j})=\left\{\begin{array}[]{ll}1&,i% =j\\ 0&,i\neq j\end{array}\right.

(5.16)

Mais especificamente, temos que $L_{i}(x)$ tem raízes $\{x_{1},\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots,x_{n}\}$ e, portanto, pode ser decomposto na forma

	$\displaystyle L_{i}(x)=c_{i}\prod_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n}(x-x_{j})$		(5.17)
	$\displaystyle\text{}\quad=c_{i}(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})$
	$\displaystyle\text{}\qquad\times(x-x_{i})\cdots(x-x_{n}).$		(5.18)

Além disso, como $L_{i}(x_{i})=1$ , temos

c_{i}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{\overset{j=1}{j\neq i}}^{n}(x_{i}-x_{j})}.

(5.19)

Assim sendo, podemos concluir que

	$\displaystyle\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}L_{i}(x)=\prod_{\overset{j=% 1}{j\neq i}}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$		(5.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x-x_{1})\cdots(x-x_{i-1})}{(x_{i}-x_{1})% \cdots(x_{i}-x_{i-1})}$
	$\displaystyle\text{}\qquad\times\frac{(x-x_{i+1})\cdots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{i+% 1})\cdots(x_{i}-x_{n})}.$		(5.21)

Exemplo 5.2.1.

Consideramos o problema de encontrar o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,-1),(0,1),(1,1/2)\}$ . Como temos 3 pontos, o polinômio tem grau 2 e pode ser escrito na seguinte forma de Lagrange

p(x)=y_{1}L_{1}(x)+y_{2}L_{2}(x)+y_{3}L_{3}(x),

(5.22)

onde $y_{1}=-1$ , $y_{2}=1$ e $y_{3}=1/2$ . Os polinômios de Lagrange são dados por

	$\displaystyle L_{1}(x)=\frac{(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}$		(5.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x,$		(5.24)
	$\displaystyle L_{2}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}$		(5.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=-x^{2}+1,$		(5.26)
	$\displaystyle L_{3}(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}$		(5.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x.$		(5.28)

E, então, temos o polinômio interpolador

p(x)=-1.25x^{2}+0.75x+1.

(5.30)

Código 13: poliLagrange.py

⬇

1import numpy as np

3def poliLagrange(xpts, ypts):

4 # num. pts

5 n = xpts.size

6 # interp poli

7 p = np.poly1d(0)

8 for i in range(n):

9 # Lagrange poli

10 L = np.poly1d(1)

11 for j in range(n):

12 if (i != j):

13 L *= np.poly1d([1, -xpts[j]])/(xpts[i]-xpts[j])

14 p += ypts[i] * L

15 return p

19# exemplo

20xpts = np.array([-1., 0, 1])

21ypts = np.array([-1., 1, 1/2])

24# interp poli

25p = poliLagrange(xpts, ypts)

26print(p)

28# verificação

29print(p(x))

5.2.1 Aproximação de funções

Polinômio interpoladores podem ser usados para a aproximação de funções. Podemos aproximar uma dada função $f$ pelo polinômio interpolador de um conjunto de pontos selecionados $\{(x_{i},y_{i}=f(x_{i}))\}_{i=1}^{n}$ . De fato, o seguinte teorema nos fornece uma estimativa para o erro de uma tal interpolação.

Teorema 5.2.1.(Teorema de Lagrange)

Sejam dados uma função $f\in C^{n+1}([a,b])$ e $n$ pontos $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}\subset[a,b]$ . Então, o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{x_{i},y_{i}=f(x_{i})\}_{i=1}^{n}$ satisfaz

\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}f(x)=p(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}% \prod_{i=1}^{n}(x-x_{i}).

(5.31)

Exemplo 5.2.2.

Consideramos o problema de aproximar $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ pelo polinômio interpolador do conjunto de pontos $x_{1}=0$ , $x_{2}=\pi/2$ e $x_{3}=\pi$ . I.e., queremos determinar o polinômio $p(x)$ de grau $2$ que interpola os pontos $\{(0,0),\leavevmode\nobreak\ (\pi/2,1),\leavevmode\nobreak\ (\pi,0)\}$ . Usando a técnica de Lagrange, obtemos

p(x)=-0.41x^{2}+1.3x,

(5.32)

com seus coeficientes arredondados para dois dígitos significativos. A Figura 5.2 mostra os esboços da função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ , dos pontos dados e do polinômio interpolador $p(x)$ .

Refer to caption — Figura 5.2: Gráficos da função, dos pontos e do polinômio interpolador computado no Exemplo 5.2.2.

⬇

1x = np.array([0, np.pi/2, np.pi])

2f = lambda x: np.sin(x)

3poli = poliLagrange(x, f(x))

5.2.2 Exercícios

E. 5.2.1.

Use a técnica de Lagrange para obter o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,-1)$ , $(-0.5,1)$ , $(1,2)\}$ .

$-1,\bar{6}x^{2}+1.5x+2.1\bar{6}$

E. 5.2.2.

Use a técnica de Lagrange para obter o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,-1)$ , $(0,1)$ , $(1,1/2)$ , $(2,1)\}$ .

$0.58\bar{3}x^{3}-1.25x^{2}+0.1\bar{6}x+1$ .

E. 5.2.3.

Use a técnica de Lagrange para obter o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,-1)$ , $(0,1)$ , $(1,1/2)$ , $(2,1)$ , $(2.5,1)\}$ .

$-0.26190476x^{4}1.10714286x^{3}-0.98809524x^{2}-0.35714286x1$ .

E. 5.2.4.

Use a técnica de interpolação de Lagrange para encontrar o polinômio interpolador que aproxima a função $f(x)=e^{x}$ pelos pontos $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ , $x_{3}=1.5$ e $x_{4}=2$ .

$0.54x^{3}-0.15x^{2}+1.3x+1$ .

E. 5.2.5.

Use a técnica de Lagrange para aproximar a função $f(x)=\cos(x)$ por um polinômio interpolador $p$ no intervalo $[0,\pi]$ . Escolha pontos de forma a obter $p$ que aproxime $f$ com boa precisão.

Dica: use os pontos $x_{i}=(i-1)\frac{\pi}{4}$ , $i=1,2,3,4$ .

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