Matemática numérica I

5 Interpolação 5 Interpolação 5.2 Interpolação de Lagrange

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5.1 Interpolação polinomial

Dado um conjunto de $n$ pontos $\{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}$ , o problema de interpolação consiste em encontrar o polinômio¹¹1Chamado de polinômio interpolador. de grau $n-1$

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% p(x)=p_{1}x^{n-1}+p_{2}x^{n-2}$
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \text{}\qquad+\cdots+p_{n-1}x+p_{n}$		(5.4)

tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y_{i}=p(x_{i}),

(5.5)

para todo $i=1,2,\dotsc,n$ .

Das condições (5.4), temos

	$\displaystyle p_{1}x_{1}^{n-1}+p_{2}x_{1}^{n-2}+\cdots+p_{n}=y_{1}$		(5.6)
	$\displaystyle p_{1}x_{2}^{n-1}+p_{2}x_{2}^{n-2}+\cdots+p_{n}=y_{2}$		(5.7)
	$\displaystyle\text{}\qquad\qquad\qquad\qquad\vdots$
	$\displaystyle p_{1}x_{n}^{n-1}+p_{2}x_{n}^{n-2}+\cdots+p_{n}=y_{n}.$		(5.8)

Isto é, os coeficientes do polinômio interpolador (5.4) satisfazem o sistema linear

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}A\bm{p}=\bm{y},

(5.9)

onde $A$ é a matriz de Vandermonde²²2Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735 - 1796, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Alexandre-Theóphile Vandermonde.

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}A=\begin{% bmatrix}x_{1}^{n-1}&x_{1}^{n-2}&\ldots&x_{1}&1\\ x_{2}^{n-1}&x_{2}^{n-2}&\ldots&x_{2}&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n-2}&\ldots&x_{n}&1\end{bmatrix},

(5.10)

$\bm{p}=(p_{1},p_{2},\ldots,p_{n})$ é o vetor das incógnitas e $\bm{y}=(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n})$ é o vetor dos termos constantes.

Exemplo 5.1.1.

Consideramos o problema de encontrar o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,\leavevmode\nobreak\ -1),(0,1),(1,1/2)\}$ . Como temos 3 pontos, o polinômio tem grau 2 e pode ser escrito na forma

p(x)=p_{1}x^{2}+p_{2}x+p_{3}.

(5.11)

Seguindo a abordagem acima, temos $\bm{p}=(p_{1},p_{2},p_{3})$ , $\bm{x}=(-1,0,1)$ , $\bm{y}=(-1,1,1/2)$ e

A=\begin{bmatrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\ x_{2}^{2}&x_{2}&1\\ x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{bmatrix}.

(5.12)

Então, resolvendo $A\bm{p}=\bm{y}$ , obtemos o polinômio interpolador

p(x)=-1.25x^{2}+0.75x+1.

(5.13)

A Figura 5.1 mostra os esboços do polinômio interpolador $p(x)$ e dos pontos dados.

Refer to caption — Figura 5.1: Polinômio interpolador referente ao Exemplo 5.1.1.

Código 12: poliInterp.py

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def poliInterp(x, y):

5 # num. pts

6 n = x.size

7 # Vandermonde

8 A = np.empty((n,n))

9 for j in range(n):

10 A[:,j] = x**(n-1-j)

11 # coefs

12 p = npla.solve(A, y)

13 return p

15# exemplo

16x = np.array([-1., 0, 1])

17y = np.array([-1., 1, 1/2])

19# poli interp

20p = poliInterp(x, y)

22# verificação

23print(np.polyval(p, x))

5.1.1 Exercícios

E. 5.1.1.

Obtenha o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,-1)$ , $(-0.5,1)$ , $(1,2)\}$ .

-1,\bar{6}x^{2}+1.5x+2.1\bar{6}

E. 5.1.2.

Obtenha o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,-1)$ , $(0,1)$ , $(1,1/2)$ , $(2,1)\}$ .

0.58\bar{3}x^{3}-1.25x^{2}+0.1\bar{6}x+1

E. 5.1.3.

Obtenha o polinômio interpolador do conjunto de pontos $\{(-1,\leavevmode\nobreak\ -1)$ , $(0,1)$ , $(1,1/2)$ , $(2,1)$ , $(2.5,1)\}$ .

-0.26190476x^{4}+1.10714286x^{3}-0.98809524x^{2}-0.35714286x+1

E. 5.1.4.

Considere a matriz de Vandermonde $V=[\bm{x}^{n-j}]_{j=1}^{n}$ , com $\bm{x}=(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})$ , sendo $x_{i}=(i-1)h$ , $h=0.1$ e $i=1,2,\dotsc,n$ . Compute o número de condicionamento de $V$ para $n=5,10,100$ . De que forma os resultados obtidos impactam no problema de interpolação polinomial?

$n$	$\kappa(V)$
$5$	$1.03\mathrm{e}\!+\!4$
$10$	$2.57\mathrm{e}\!+\!7$
$100$	$9.11\mathrm{e}\!+\!109$

E. 5.1.5.

Aproxime a função $f(x)=\cos(x)$ por um polinômio interpolador $p$ no intervalo $[0,\pi]$ . Escolhas pontos nesse intervalo de forma a obter $p$ que aproxime $f$ com boa precisão.

Dica: use os pontos $x_{i}=(i-1)\frac{\pi}{4}$ , $i=1,2,3,4$ .

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