Geometria Analítica

2 Retas e planos 2 Retas e planos 2.2 Equações do plano

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2.1 Equações da reta

Vamos estudar a representação de retas no espaço tridimensional.

2.1.1 Equação vetorial de uma reta

Uma reta é determinada por um ponto e uma direção. De fato, seja ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}r}$ uma reta, ${\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0.4921875,0}\vec{v}}$ um vetor paralelo a ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}r}$ e ${\color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}A}$ um ponto de ${\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}r}$ (consultemos a Figura 2.1). Assim sendo, $P(x,y,z)$ é um ponto de $r$ se, e somente se, o vetor $\overrightarrow{AP}$ tem a mesma direção de $\vec{v}$ . I.e., existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \overrightarrow{AP}=\lambda\vec{v}.

(2.1)

Esta é chamada equação vetorial da reta $r$ .

Refer to caption — Figura 2.1: Equação vetorial de uma reta.

Observe que para obtermos uma equação vetorial da reta, podemos escolher qualquer ponto $A\in r$ e qualquer vetor $\vec{v}\parallel r$ , $\vec{v}\neq\vec{0}$ . O vetor $\vec{v}$ escolhido é chamado de vetor diretor.

Exemplo 2.1.1.

Seja $r$ a reta que passa pelos pontos $A(-1,-1,-2)$ e $B(2,1,3)$ (consultemos a Figura 2.2). O vetor

\vec{v}=\overrightarrow{AB}=(2-(-1),1-(-1),3-(-2))=(3,2,5)

(2.2)

é um vetor diretor de $r$ . Desta forma, uma equação vetorial da reta $r$ é

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{v}.

(2.3)

2.1.2 Equações paramétricas de uma reta

Seja $r$ uma reta que passa pelo ponto $A(x_{A},y_{A},z_{A})$ e tenha vetor diretor $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ . Da equação vetorial, temos que $P(x,y,z)\in r$ se, e somente se, existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{v}.

(2.4)

Equivalentemente,

\underbrace{(x-x_{A},y-y_{A},z-z_{A})}_{\overrightarrow{AP}}=\lambda% \underbrace{(v_{1},v_{2},v_{3})}_{\vec{v}}.

(2.5)

Então,

	$\displaystyle x-x_{A}=\lambda v_{1},$		(2.6)
	$\displaystyle y-y_{A}=\lambda v_{2},$		(2.7)
	$\displaystyle z-z_{A}=\lambda v_{3},$		(2.8)

donde

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }x=x_{A}+\lambda v_{1}},$		(2.9)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }y=y_{A}+\lambda v_{2}},$		(2.10)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }z=z_{A}+\lambda v_{3}},$		(2.11)

as quais são chamadas de equações paramétricas da reta $r$ .

Exemplo 2.1.2.

A reta $r$ discutida no Exemplo 2.1.1 tem equações paramétricas

	$\displaystyle x=-1+3\lambda,$		(2.12)
	$\displaystyle y=-1+2\lambda,$		(2.13)
	$\displaystyle z=-2+5\lambda.$		(2.14)

De fato, tomando $\lambda=0$ , temos $(x,y,z)=(-1,-1,-2)=A\in r$ . E, tomando $\lambda=1$ , temos $(x,y,z)=(-1+3,-1+2,-2+5)=(2,1,3)=B\in r$ . Ou seja, as equações paramétricas acima representam a reta que passa pelos pontos $A$ e $B$ (Figura 2.2).

2.1.3 Equações da reta na forma simétrica

Seja $r$ uma reta que passa pelo ponto $A(x_{A},y_{A},z_{A})$ e tem $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})\neq\vec{0}$ como vetor diretor. Então, $r$ tem as equações paramétricas

	$\displaystyle x=x_{A}+v_{1}\lambda,$		(2.15)
	$\displaystyle y=y_{A}+v_{2}\lambda,$		(2.16)
	$\displaystyle z=z_{A}+v_{3}\lambda.$		(2.17)

Isolando $\lambda$ em cada uma das equações, obtemos

	$\displaystyle\lambda=\frac{x-x_{A}}{v_{1}},$		(2.18)
	$\displaystyle\lambda=\frac{y-y_{A}}{v_{2}},$		(2.19)
	$\displaystyle\lambda=\frac{z-z_{A}}{v_{3}}.$		(2.20)

Daí, temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x-x_{A% }}{v_{1}}=\frac{y-y_{A}}{v_{2}}=\frac{z-z_{A}}{v_{3}}},

(2.21)

as quais são as equações da reta na forma simétrica.

Exemplo 2.1.3.

No Exemplo 2.1.2, consideramos a reta $r$ de equações paramétricas

	$\displaystyle x=-1+3\lambda,$		(2.22)
	$\displaystyle y=-1+2\lambda,$		(2.23)
	$\displaystyle z=-2+5\lambda.$		(2.24)

Consultemos também a Figura 2.2. Para obtermos as equações de $r$ na forma simétrica, basta isolarmos $\lambda$ em cada equação. Com isso, obtemos

\frac{x+1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{5}.

(2.25)

2.1.4 Distância de um ponto a uma reta

Definimos a distância entre um ponto $P$ e uma reta $r$ como a menor distância entre $P$ e qualquer ponto de $r$ . Consultemos a Figura 2.3. Assim, a distância entre $P$ e $r$ é a distância entre $P$ e o ponto $Q\in r$ tal que $\overrightarrow{PQ}\perp r$ . Ou seja, $\overrightarrow{PQ}\perp\vec{v}$ , onde $\vec{v}$ é um vetor diretor de $r$ .

Assim sendo, a distância entre o ponto $P$ e a reta $r$ é dada por

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% d(P,r)=\frac{\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|}{\|\vec{v}\|},

(2.26)

onde $A\in r$ é um ponto qualquer da reta $r$ e $\vec{v}$ é um vetor diretor de $r$ . Com efeito, $\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}\|$ é a área do paralelogramo determinado pelos vetores $\overrightarrow{AP}$ e $\vec{v}$ . Dividir a área pela base $\|\vec{v}\|$ nos fornece a altura do paralelogramo, que é a distância entre o ponto $P$ e a reta $r$ .

Exemplo 2.1.4.

Vamos calcular a distância entre o ponto $P(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ e a reta $r$ de equações simétricas

\displaystyle\frac{x+1}{2}=\frac{2-y}{3}=\frac{1-2z}{2}.

(2.27)

Para usar a (2.26) precisamos de um ponto $A\in r$ e de um vetor diretor $\vec{v}$ de $r$ . Da equação simétrica da reta, temos que

	$\displaystyle A\left(-1,2,\frac{1}{2}\right)\in r,$		(2.28)
	$\displaystyle\vec{v}=(2,-3,-4)$		(2.29)

Logo, temos

	$\displaystyle\operatorname{dist}(P,r)=\frac{\\|\overrightarrow{AP}\times\vec{v}% \\|}{\\|\vec{v}\\|}$		(2.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\\|(2,-\frac{5}{2},0)\\|}{\\|(2,-3,-4)\\|}$		(2.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\\|(10,8,-1)\\|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+(-4)^{2}}}$		(2.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{10^{2}+8^{2}+(-1)^{2}}}{\sqrt{29}}$		(2.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{165}}{\sqrt{29}}.$		(2.34)

2.1.5 Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Seja $r$ a reta que passa pelo ponto $A(-1,-1,-2)$ e tem $\vec{v}=(3,2,5)$ como vetor diretor. Determine o valor de $x$ de forma que $P(x,0,\frac{1}{2})$ seja um ponto de $r$ .

Resolução.

Da equação vetorial da reta $r$ , temos que $P(x,0,\frac{1}{2})$ é um ponto de $r$ se, e somente se, existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{v}.

(2.35)

Ou seja,

\left(x-(-1),0-(-1),\frac{1}{2}-(-2)\right)=\lambda(3,2,5).

(2.36)

Ou, equivalentemente,

\left(x+1,1,\frac{5}{2}\right)=\lambda(3,2,5).

(2.37)

Usando a segunda coordenada destes vetores, temos

	$\displaystyle 1=\lambda\cdot 2$		(2.38)
	$\displaystyle\lambda=\frac{1}{2}.$		(2.39)

Assim, da primeira coordenada dos vetores, temos

	$\displaystyle x+1=\lambda\cdot 3$		(2.40)
	$\displaystyle x+1=\frac{1}{2}\cdot 3$		(2.41)
	$\displaystyle x=\frac{3}{2}-1$		(2.42)
	$\displaystyle x=\frac{1}{2}.$		(2.43)

ER 2.1.2.

Seja $r$ a reta de equações paramétricas

	$\displaystyle x=1-\lambda,$		(2.44)
	$\displaystyle y=\lambda,$		(2.45)
	$\displaystyle z=-3.$		(2.46)

Determine uma equação vetorial de $r$ .

Resolução.

Nas equações paramétricas de uma reta, temos que os coeficientes constantes estão associados a um ponto da reta. Os coeficientes do parâmetro $\lambda$ estão associados a um vetor diretor. Assim sendo, das equações paramétricas da reta $r$ , temos que

A(1,0,-3)\in r

(2.47)

\vec{v}=(-1,1,0)

(2.48)

é um vetor diretor. Logo, temos que a reta $r$ tem equação vetorial

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{v},

(2.49)

com $A(1,0,-3)$ e $\vec{v}=(-1,1,0)$ .

ER 2.1.3.

Sabendo que $r$ é uma reta que passa pelos pontos $A(2,-3,1)$ e $B(-1,1,0)$ , determine o valor de $t$ tal que

	$\displaystyle x=2+t\lambda,$		(2.50)
	$\displaystyle y=-3+4\lambda,$		(2.51)
	$\displaystyle z=1-\lambda,$		(2.52)

sejam equações paramétricas de $r$ .

Resolução.

Para que estas sejam equações paramétricas de $r$ , é necessário que $\vec{v}=(t,4,-1)$ seja um vetor diretor de $r$ . Em particular, $\vec{v}\parallel\overrightarrow{AB}$ . Logo, existe $\beta\in\mathbb{R}$ tal que

	$\displaystyle\vec{v}=\beta\overrightarrow{AB}$		(2.53)
	$\displaystyle(t,4,-1)=\beta(-1-2,1-(-3),0-1)$		(2.54)
	$\displaystyle(t,4,-1)=\beta(-3,4,-1).$		(2.55)

Da segunda e da terceira coordenadas, temos $\beta=1$ . Daí, comparando pela primeira coordenada, temos

	$\displaystyle t=-3\beta$		(2.56)
	$\displaystyle t=-3.$		(2.57)

ER 2.1.4.

Seja $r$ uma reta de equações na forma simétrica

\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{1-z}{2}.

(2.58)

Determine equações paramétricas para esta reta e faça um esboço de seu gráfico.

Resolução.

Podemos obter equações paramétricas desta reta a partir de suas equações na forma simétrica. Para tanto, basta tomar o parâmetro $\lambda$ tal que

	$\displaystyle\lambda=\frac{x+1}{2},$		(2.59)
	$\displaystyle\lambda=\frac{y-2}{3},$		(2.60)
	$\displaystyle\lambda=\frac{1-z}{2}.$		(2.61)

Daí, isolando $x$ , $y$ e $z$ em cada uma destas equações, obtemos

	$\displaystyle x=-1+2\lambda,$		(2.62)
	$\displaystyle y=2+3\lambda,$		(2.63)
	$\displaystyle z=1-2\lambda.$		(2.64)

Para fazermos um esboço do gráfico desta reta, basta traçarmos a reta que passa por dois de seus pontos. Por exemplo, tomando $\lambda=0$ , temos $A(-1,2,1)\in r$ . Agora, tomando $\lambda=1$ , temos $B(1,5,-1)\in r$ . Desta forma, obtemos o esboço dado na Figura 2.4.

2.1.6 Exercícios

E. 2.1.1.

Seja a reta que passa pelos pontos $A(1,-2,0)$ e $B(-1,-1,1)$ . Determine:

a)

sua equação vetorial.
b)

suas equações paramétricas.
c)

suas equações na forma simétrica.

a) $\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{v}$ , $\vec{v}=(-2,1,1)$ ; b) $x=1-2\lambda$ , $y=-2+\lambda$ , $z=\lambda$ ; c) $\frac{x-1}{-2}=y+2=z$

E. 2.1.2.

Seja a reta que passa pelo ponto $A(0,1,-1)$ e tem vetor diretor $\vec{v}=(2,-1,1)$ . Determine $x$ tal que $B(1,x,-\frac{1}{2})$ .

$x=\frac{1}{2}$

E. 2.1.3.

Considere a reta de equações na forma simétrica

\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{3}=z-1.

(2.65)

Encontre um ponto e um vetor diretor desta reta.

$A(1,-1,1)$ , $\vec{v}=(-2,3,1)$

E. 2.1.4.

Seja a reta $r$ de equações paramétricas

	$\displaystyle x=\lambda$		(2.66)
	$\displaystyle y=2-\lambda$		(2.67)
	$\displaystyle z=-1+\lambda$		(2.68)

Determine as equações na forma simétrica da reta que passa pelo ponto $A(1,-1,0)$ e é paralela a reta $r$ .

$x-1=\frac{y+1}{-1}=z$

E. 2.1.5.

Seja a reta $r$ de equações paramétricas

	$\displaystyle x=\lambda$		(2.69)
	$\displaystyle y=2-\lambda$		(2.70)
	$\displaystyle z=-1+\lambda$		(2.71)

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto $A(1,-1,0)$ e é perpendicular a reta $r$ .

$x=1-\lambda$ , $y=-1-2\lambda$ , $z=-\lambda$

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2.1 Equações da reta

2.1.1 Equação vetorial de uma reta

Exemplo 2.1.1.

2.1.2 Equações paramétricas de uma reta

Exemplo 2.1.2.

2.1.3 Equações da reta na forma simétrica

Exemplo 2.1.3.

2.1.4 Distância de um ponto a uma reta

Exemplo 2.1.4.

2.1.5 Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Resolução.

ER 2.1.2.

Resolução.

ER 2.1.3.

Resolução.

ER 2.1.4.

Resolução.

2.1.6 Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

E. 2.1.4.

E. 2.1.5.

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