Geometria analítica

2 Retas e planos 2.1 Equações da reta 3 Outros sistemas de coordenadas

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2.2 Equações do plano

Um plano $\pi$ fica unicamente determinado por um ponto $A\in\pi$ e dois vetores linearmente independentes $\vec{u},\vec{v}\in\pi$ ¹¹1Dois vetores não nulos $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.i. quando têm direções diferentes.. Consultemos a Figura 2.5.

Refer to caption — Figura 2.5: Um plano no espaço tridimensional.

Os chamados vetores diretores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ determinam infinitos planos paralelos entre si. O chamado ponto de ancoragem $A$ fixa um desses planos.

2.2.1 Equação vetorial do plano

Seja um plano $\pi$ determinado pelo ponto de ancoragem $A$ e pelos vetores diretores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (Figura 2.5). Então, um ponto $P\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ é coplanar a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , i.e., $\overrightarrow{AP}$ , $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são linearmente dependentes. Em outras palavras, $P\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ pode ser escrito como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Isso nos fornece a chamada equação vetorial do plano

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},

(2.72)

com $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ .

Exemplo 2.2.1.

Consideremos o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A(1,-1,1)$ e pelos vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ . Consultemos a Figura 2.7. Assim, uma equação vetorial para este plano é

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},

(2.73)

com $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ .

Tomando, por exemplo, $\lambda=-1$ e $\beta=1$ , obtemos

	$\displaystyle\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v}$		(2.74)
	$\displaystyle\text{}\quad=-(2,-1,0)+(0,1,1)$		(2.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-2,2,1).$		(2.76)

Observando que as coordenadas do ponto $P$ coincidem com as coordenadas do vetor $\overrightarrow{OP}$ , temos

	$\displaystyle\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$		(2.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1,-1,1)+(-2,2,1)$		(2.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1,1,2).$		(2.79)

Portanto, $P(-1,1,2)\in\pi$ .

2.2.2 Equações paramétricas do plano

Seja um plano $\pi$ com ponto de ancoragem $A(x_{A},y_{A},z_{A})\in\pi$ e vetores diretores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ . Então, todo ponto $P(x,y,z)$ desse plano satisfaz a equação vetorial

\displaystyle\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},

(2.80)

com $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ . Assim, temos

	$\displaystyle(x-x_{A},y-y_{A},z-z_{A})=\lambda(u_{1},u_{2},u_{3})+\beta(v_{1},% v_{2},v_{3})$		(2.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=(\lambda u_{1}+\beta v_{1},\lambda u_{2}+\beta v_{2}% ,\lambda u_{3}+\beta v_{3}).$		(2.82)

Portanto,

	$\displaystyle x-x_{A}=\lambda u_{1}+\beta v_{1},$		(2.83)
	$\displaystyle y-y_{A}=\lambda u_{2}+\beta v_{2},$		(2.84)
	$\displaystyle z-z_{A}=\lambda u_{3}+\beta v_{3}.$		(2.85)

Equivalentemente,

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }x=x_{A}+\lambda u_{1}+\beta v_{1}},$		(2.86)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }y=y_{A}+\lambda u_{2}+\beta v_{2}},$		(2.87)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }z=z_{A}+\lambda u_{3}+\beta v_{3}},$		(2.88)

que são chamadas de equações paramétricas do plano.

Exemplo 2.2.2.

No Exemplo 2.2.1, discutimos o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A(1,-1,1)$ e pelos vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ (Figura 2.7). Assim, temos

	$\displaystyle x=1+2\lambda,$		(2.89)
	$\displaystyle y=-1-\lambda+\beta,$		(2.90)
	$\displaystyle z=1+\beta,$		(2.91)

que são equações paramétricas desse plano.

2.2.3 Equação geral do plano

Seja $\pi$ o plano determinado pelo ponto de ancoragem $A(x_{A},y_{A},z_{A})$ e pelos vetores diretores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ . Sabemos que $P(x,y,z)\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ , $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são linearmente dependentes. Equivalentemente, o produto misto $[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0$ . Logo,

	$\displaystyle 0=[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]$		(2.92)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}x-x_{A}&y-y_{A}&z-z_{A}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$		(2.93)
	$\displaystyle\text{}\quad=-u_{1}v_{2}z_{A}+u_{1}v_{3}y_{A}+u_{2}v_{1}z_{A}$
	$\displaystyle\text{}\qquad-u_{2}v_{3}x_{A}-u_{3}v_{1}y_{A}+u_{3}v_{2}x_{A}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+x{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}(u_{2}v% _{3}-u_{3}v_{2})}+y{\color[rgb]{1,0.4921875,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}(-u_{1}v_{3}+u_{3}v_{1})}+z{\color[rgb]{% 0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})}.$		(2.94)

Observamos que a equação acima tem a forma geral

\displaystyle{\color[rgb]{0.05859375,0.46484375,0.71875}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0.05859375,0.46484375,0.71875}a}x+{\color[rgb]{% 1,0.4921875,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0.4921875,0}b}y+{% \color[rgb]{0,0.640625,0.10546875}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0.640625,0.10546875}c}z+d=0,

(2.95)

com $a, b, c, d$ não todos nulos; equivalentemente, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\neq 0$ . Esta última é chamada equação geral do plano.

Exemplo 2.2.3.

No Exemplo 2.2.1, discutimos o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A(1,-1,1)$ e pelos vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ (Figura 2.7). Para encontrar sua equação geral, tomamos $P(x,y,z)$ e calculamos

	$\displaystyle 0=[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]$		(2.96)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}x-1&y+1&z-1\\ 2&-1&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}$		(2.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=-x-2y+2z-3.$		(2.98)

Logo, a equação geral desse plano é

-x-2y+2z-3=0.

(2.99)

2.2.4 Vetor normal a um plano

Seja $\pi$ um plano de equação geral

\displaystyle ax+by+cz+d=0,

(2.100)

com $a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$ . Sejam $P(x_{P},y_{P},z_{P})\in\pi$ e $Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q})\in\pi$ (consultemos a Figura 2.8).

Então, temos

	$\displaystyle ax_{P}+by_{P}+cz_{P}+d=0,$		(2.101)
	$\displaystyle ax_{Q}+by_{Q}+cz_{Q}+d=0.$		(2.102)

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos

\displaystyle a(x_{P}-x_{Q})+b(y_{P}-y_{Q})+c(z_{P}-z_{Q})=0.

(2.103)

Equivalentemente,

\displaystyle(a,b,c)\cdot(x_{P}-x_{Q},y_{P}-y_{Q},z_{P}-z_{Q})=0.

(2.104)

Ou seja, o vetor $\vec{n}=(a,b,c)$ é ortogonal a qualquer vetor $\overrightarrow{PQ}$ , com $P,Q\in\pi$ . Logo, $\vec{n}=(a,b,c)$ é ortogonal a $\pi$ e é chamado de vetor normal a $\pi$ .

Exemplo 2.2.4.

No Exemplo 2.2.3, consideramos o plano de equação geral

\displaystyle-x-2y+2z-3=0.

(2.105)

Portanto, o vetor normal a esse plano é

\displaystyle\vec{n}=(-1,-2,2).

(2.106)

Observação 2.2.1.(Planos paralelos)

Dois planos $\pi_{1}$ e $\pi_{2}$ são paralelos se, e somente se, possuem vetores normais de mesma direção. Em outras palavras, planos de equações gerais

	$\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0,$		(2.107)
	$\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0,$		(2.108)

são paralelos se, e somente se, o vetor normal $\vec{n}_{1}=(a_{1},b_{1},c_{1})$ é múltiplo escalar do vetor normal $\vec{n}_{2}=(a_{2},b_{2},c_{2})$ .

2.2.5 Distância de um ponto a um plano

A distância entre um ponto $P(x_{P},y_{P},z_{P})$ e um plano $\pi$ é a menor distância entre $P$ e qualquer ponto de $\pi$ . Essa distância é atingida no ponto $Q\in\pi$ tal que $\overrightarrow{PQ}\perp\pi$ . Em outras palavras, $\overrightarrow{PQ}\parallel\vec{n}$ , onde $\vec{n}$ é um vetor normal a $\pi$ . Consultemos a Figura 2.9.

Observemos que, dado um ponto $A(x_{A},y_{A},z_{A})\in\pi$ qualquer, temos

	$\displaystyle\operatorname{dist}(P,\pi)=\\|\operatorname{proj}_{\vec{n}}% \overrightarrow{AP}\\|$		(2.109)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\|\overrightarrow{AP}\cdot\vec{n}\|}{\\|\vec{n}\\|}$		(2.110)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\|a(x_{P}-x_{A})+b(y_{P}-y_{A})+c(z_{P}-z_{A})\|% }{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$		(2.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\|ax_{P}+by_{P}+cz_{P}+d\|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^% {2}}}.$		(2.112)

Ou seja, a distância entre o ponto $P$ e o plano $\pi$ é dada por

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \operatorname{dist}(P,\pi)=\frac{|ax_{P}+by_{P}+cz_{P}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c% ^{2}}},

(2.113)

onde $ax+by+cz+d=0$ é a equação geral do plano $\pi$ e $\vec{n}=(a,b,c)$ é um vetor normal a $\pi$ .

Exemplo 2.2.5.

Vamos calcular a distância entre o ponto $P(1,-1,2)$ e o plano $\pi$ de equação geral

\displaystyle-x-2y+2z-3=0.

(2.114)

Aplicando a fórmula da distância entre um ponto e um plano, obtemos

	$\displaystyle\operatorname{dist}(P,\pi)=\frac{\|-1\cdot 1-2\cdot(-1)+2\cdot 2-3% \|}{\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(2)^{2}}}$		(2.115)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\|-1+2+4-3\|}{\sqrt{1+4+4}}$		(2.116)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\|-2\|}{\sqrt{9}}$		(2.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}.$		(2.118)

2.2.6 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Seja $\pi$ um plano tal que $A(2,0,-1)\in\pi$ , $P(0,1,-1)\in\pi$ e $\vec{u}=(1,0,1)\in\pi$ . Determine uma equação vetorial para $\pi$ .

Resolução.

Para obtermos uma equação vetorial do plano $\pi$ , precisamos de um ponto e dois vetores l.i. em $\pi$ . Do enunciado, temos o ponto $A(2,0,-1)\in\pi$ e o vetor $\vec{u}$ . Portanto, precisamos encontrar um vetor $\vec{v}\in\pi$ tal que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sejam l.i.. Por sorte, temos $P(0,1,-1)\in\pi$ e, portanto $\overrightarrow{AP}\in\pi$ . Podemos tomar

	$\displaystyle\vec{v}=\overrightarrow{AP}$		(2.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-2,1,0),$		(2.120)

pois $\vec{v}$ e $\vec{u}$ são l.i.. Logo, uma equação vetorial do plano $\pi$ é

	$\displaystyle\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},$		(2.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lambda(1,0,1)+\beta(-2,1,0),$		(2.122)

com $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ .

ER 2.2.2.

Seja $\pi$ o plano de equações paramétricas

	$\displaystyle x=-1+\lambda,$		(2.123)
	$\displaystyle y=\beta,$		(2.124)
	$\displaystyle z=1-\lambda+\beta.$		(2.125)

Determine o valor de $z_{P}$ de forma que $P(-1,2,z_{P})\in\pi$ .

Resolução.

Para que $P(-1,2,z_{P})$ pertença ao plano, devemos ter

	$\displaystyle-1=-1+\lambda,$		(2.126)
	$\displaystyle 2=\beta,$		(2.127)
	$\displaystyle z_{P}=1-\lambda+\beta.$		(2.128)

Das duas primeiras equações, obtemos $\lambda=0$ e $\beta=2$ . Daí, da terceira equação, temos

\displaystyle z_{P}=1-0+2=3.

(2.129)

2.2.7 Exercícios

E. 2.2.1.

Determine a equação vetorial do plano com ponto de ancoragem $A(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

$\overrightarrow{AP}=\lambda(2,-1,1)+\beta(-1,1,2),\quad\lambda,\beta\in\mathbb% {R}$

E. 2.2.2.

Seja o plano de equação vetorial $\overrightarrow{AP}=\lambda(2,-1,1)+\beta(-1,1,2)$ , $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ , com ponto de ancoragem $A(-1,0,2)$ . Determine $x$ tal que $P(x,3,0)$ pertença a este plano.

$x=-\frac{20}{3}$

E. 2.2.3.

Determine as equações paramétricas do plano com ponto de ancoragem $A(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

$x=-1+2\lambda-\beta$ , $y=-\lambda+\beta$ , $z=2+\lambda+2\beta$

E. 2.2.4.

Considere o plano de equações paramétricas

	$\displaystyle x=-1+2\lambda-\beta,$		(2.130)
	$\displaystyle y=-\lambda+\beta,$		(2.131)
	$\displaystyle z=2+\lambda+2\beta.$		(2.132)

Determine $y$ tal que $P(-6,y,2)$ pertença a este plano.

$y=3$

E. 2.2.5.

Determine a equação geral do plano com ponto de ancoragem $A(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

$-3x-5y+z-5=0$

E. 2.2.6.

Considere o plano de equação geral $-3x-5y+z-5=0$ . Determine $z$ tal que o ponto $P(0,0,z)$ pertença a este plano.

$z=5$

E. 2.2.7.

Considere o plano $\pi$ de equações paramétricas

	$\displaystyle x=-1+\lambda$		(2.133)
	$\displaystyle y=\beta$		(2.134)
	$\displaystyle z=1-\lambda+\beta$		(2.135)

A reta $r$ de equação paramétricas

	$\displaystyle x=2$		(2.136)
	$\displaystyle y=-1+2\lambda$		(2.137)
	$\displaystyle z=2\lambda$		(2.138)

é paralela ao plano $\pi$ ? Justifique sua resposta.

sim

E. 2.2.8.

Considere o plano $\pi$ de equação geral

6x-7y-5z=-6.

(2.139)

Determine uma equação paramétrica para a reta $r$ que é perpendicular ao plano $\pi$ e passa pelo ponto $A(2,-1,0)$ .

$x=2+6\lambda$ , $y=-1-7\lambda$ , $z=-5\lambda$

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2.2 Equações do plano

2.2.1 Equação vetorial do plano

Exemplo 2.2.1.

2.2.2 Equações paramétricas do plano

Exemplo 2.2.2.

2.2.3 Equação geral do plano

Exemplo 2.2.3.

2.2.4 Vetor normal a um plano

Exemplo 2.2.4.

Observação 2.2.1.(Planos paralelos)

2.2.5 Distância de um ponto a um plano

Exemplo 2.2.5.

2.2.6 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Resolução.

ER 2.2.2.

Resolução.

2.2.7 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.

E. 2.2.7.

E. 2.2.8.

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