Geometria Analítica

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3.1 Sistema de coordenadas polares

Em revisão

No plano, o sistema de coordenadas polares é definido por um ponto de origem (chamado de polo) e um eixo orientado $O x$ (chamado de eixo polar). Veja a Figura 3.1.

Refer to caption — Figura 3.1: Sistema de coordenadas polares.

Neste sistema, um ponto $P$ de coordenadas polares ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}P=(r,\theta)}$ é tal que ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}|OP|=r}$ (i.e. a distância do polo ao ponto é $r$ ) e ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\theta}$ é o ângulo de $O x$ com $O P$ , medido positivamente no sentido anti-horário.

Exemplo 3.1.1.

Na Figura 3.2, temos a representação dos pontos ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}P=(2\sqrt{2}% ,\frac{\pi}{4})}$ , ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}A=(2,\frac{2% \pi}{3})}$ e ${\color[rgb]{1,.5,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,.5,0}B=(\sqrt{2% },\frac{5\pi}{4})}$ no sistema de coordenadas polares.

Observação 3.1.1.

Por convenção, as coordenadas polares $(r,\pi+\theta)=(-r,\theta)$ , $r>0$ . Por exemplo, $B=(\sqrt{2},\frac{5\pi}{4})=(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$ . Veja na Figura 3.2.

3.1.1 Coordenadas cartesianas x polares

Aqui, vamos estudar como podemos converter as coordenadas de um ponto $P$ de coordenadas cartesianas para coordenadas polares e vice-versa. Vamos denotar as coordenadas cartesianas do ponto $P$ por $P=(x_{P},y_{P})$ e suas coordenadas polares por $P=(r,\theta)$ . Veja a Figura 3.3.

Na Figura 3.3, vamos nos concentrar no triângulo retângulo de vértices $O$ , $(x_{P},0)$ e $P$ . Das relações trigonométricas e do teorema de Pitágoras, temos que

	$\displaystyle\cos\theta=\frac{x_{P}}{r}$		(3.1)
	$\displaystyle\operatorname{sen}\theta=\frac{y_{P}}{r}$		(3.2)
	$\displaystyle r^{2}=x_{P}^{2}+y_{P}^{2}$		(3.3)
	$\displaystyle\operatorname{tg}\theta=\frac{y_{P}}{x_{P}}$		(3.4)

ou, equivalentemente,

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }x_{P}=r\cos\theta}$		(3.5)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }y_{P}=r\operatorname{sen}\theta}$		(3.6)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }r=\sqrt{x_{P}^{2}+y_{P}^{2}}}$		(3.7)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y_{P}}{x_{P}}\right)}$		(3.8)

Exemplo 3.1.2.

Vejamos os seguintes casos:

a)

Conversão de $P=(2\sqrt{2},\frac{\pi}{4})$ em coordenadas polares para coordenadas cartesianas.

No caso de $P=(2\sqrt{2},\frac{\pi}{4}$ temos $r=2\sqrt{2}$ e $\theta=\frac{\pi}{4}$ . Desta forma, as coordenadas cartesianas de $P=(x,y)$ são dadas por

$\displaystyle x=r\cos\theta$ (3.9)

$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}$ (3.10)

$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$ (3.11)

$\displaystyle\text{}\quad=2$ (3.12)

$\displaystyle y=r\operatorname{sen}\theta$ (3.13)

$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}$ (3.14)

$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$ (3.15)

$\displaystyle\text{}\quad=2$ (3.16)

Logo, $P=(2,2)$ em coordenadas cartesianas. Veja a Figura 3.2.
b)

Conversão de $B=(-\sqrt{3},-1)$ de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Neste caso, temos $x=-\sqrt{3}$ e $y=-1$ e

$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ (3.17)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}$ (3.18)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{4}$ (3.19)

$\displaystyle\text{}\quad=2$ (3.20)

$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y}{x}\right)$ (3.21)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{-1}{-% \sqrt{3}}\right)$ (3.22)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{\sqrt% {3}}{3}\right)$ (3.23)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7\pi}{6}.$ (3.24)

Desta forma, temos que $P=(2,\frac{7\pi}{6})$ em coordenadas polares. Ou, equivalentemente, $P=(-2,\frac{\pi}{6})$ .

Equação de reta que passa pela origem

Em coordenadas polares, uma reta que passa pela origem e tem ângulo de declividade $\theta_{0}$ tem equação

\theta=\theta_{0},

(3.25)

com $r\in\mathbb{R}$ .

Exemplo 3.1.3.

Seja a reta $y=x$ em coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares, a equação desta reta é

\theta=\frac{\pi}{4}.

(3.26)

Equação de circunferência com centro na origem

Em coordenadas polares, a circunferência com centro na origem e raio $r_{0}$ tem equação

r=r_{0}.

(3.27)

Exemplo 3.1.4.

Seja a circunferência $x^{2}+y^{2}=4$ em coordenadas cartesianas. Em coordenadas polares, a equação desta circunferência é

r=2.

(3.28)

3.1.2 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Obtenha duas representações em coordenadas polares do ponto $A=(-1,0)$ dado em coordenadas cartesianas.

Resolução.

O ponto $A=(-1,0)$ tem coordenadas cartesianas $x=-1$ e $y=0$ . Para converter em coordenadas polares $A=(r,\theta)$ , podemos usar

	$\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}$		(3.29)
	$\displaystyle r^{2}=1^{2}+0^{2}$		(3.30)
	$\displaystyle r=\pm 1$		(3.31)

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y}{x}\right)$		(3.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(0\right)$		(3.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\pi\text{ ou }0.$		(3.34)

Ou seja, em coordenadas polares, temos as representações $A=(1,\pi)$ ou $A=(-1,0)$ .

ER 3.1.2.

Obtenha a representação em coordenadas cartesianas do ponto $B=(2,\frac{\pi}{2})$ dado em coordenadas polares.

Resolução.

O ponto $B=(2,\frac{\pi}{2})$ tem coordenadas polares $r=2$ e $\theta=\frac{\pi}{2}$ . Para converter em coordenadas cartesianas $B=(x,y)$ , podemos usar

	$\displaystyle x=r\cos\theta$		(3.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cos\frac{\pi}{2}$		(3.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=0$		(3.37)

	$\displaystyle y=r\operatorname{sen}\theta$		(3.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}$		(3.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(3.40)

Ou seja, em coordenadas cartesianas, temos a representação $B=(0,2)$ .

3.1.3 Exercícios

E. 3.1.1.

Obtenha uma representação em coordenadas polares dos seguintes pontos dados em coordenadas cartesianas:

a)

$A=(-3,3)$
b)

$B=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$
c)

$C=(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$

a) $A=(3\sqrt{2},\frac{3\pi}{4})$ ; b) $B=(\sqrt{3},\frac{\pi}{6})$ ; c) $C=(\sqrt{3},\frac{11\pi}{6})$

E. 3.1.2.

Obtenha uma representação em coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas polares:

a)

$A=(2,\frac{\pi}{6})$
b)

$B=(1,\frac{5\pi}{6})$
c)

$C=(-2,\frac{3\pi}{4})$

a) $A=(\sqrt{3},1)$ ; b) $B=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ ; c) $C=(\sqrt{2},-\sqrt{2})$

E. 3.1.3.

Considere a reta de equação $x=0$ em coordenadas cartesianas. Escreva a equação desta reta em coordenadas polares.

$\theta=\frac{\pi}{2}$

E. 3.1.4.

Considere a reta de equação $\theta=\frac{3\pi}{4}$ em coordenadas polares. Escreva a equação desta reta em coordenadas cartesianas.

$y=-x$

E. 3.1.5.

Considere a circunferência de equação $x^{2}+y^{2}=1$ em coordenadas cartesianas. Escreva a equação desta circunferência em coordenadas polares.

$r=1$

E. 3.1.6.

Considere a circunferência de equação $r=\sqrt{2}$ em coordenadas polares. Escreva a equação desta circunferência em coordenadas cartesianas.

$x^{2}+y^{2}=2$

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3.1 Sistema de coordenadas polares

Exemplo 3.1.1.

Observação 3.1.1.

3.1.1 Coordenadas cartesianas x polares

Exemplo 3.1.2.

Equação de reta que passa pela origem

Exemplo 3.1.3.

Equação de circunferência com centro na origem

Exemplo 3.1.4.

3.1.2 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Resolução.

ER 3.1.2.

Resolução.

3.1.3 Exercícios

E. 3.1.1.

E. 3.1.2.

E. 3.1.3.

E. 3.1.4.

E. 3.1.5.

E. 3.1.6.

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	$\displaystyle x=r\cos\theta$		(3.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}$		(3.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(3.12)
	$\displaystyle y=r\operatorname{sen}\theta$		(3.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}$		(3.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$		(3.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(3.16)

	$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$		(3.17)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}$		(3.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{4}$		(3.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(3.20)

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{y}{x}\right)$		(3.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{-1}{-% \sqrt{3}}\right)$		(3.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{\sqrt% {3}}{3}\right)$		(3.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7\pi}{6}.$		(3.24)