Equações a Diferenças

2 Equações de ordem 1 2 Equações de ordem 1 2.2 Estudo assintótico de equações lineares

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2.1 Equações lineares

Nesta seção, discutimos sobre equações a diferenças de ordem 1 e lineares. Tais equações podem ser escritas na seguinte forma

y(n+1)=a(n)y(n)+g(n),

(2.2)

onde $n=n_{0},n_{0}+1,\ldots$ , sendo $n_{0}$ um número inteiro, $a:n\mapsto a(n)$ e $g:n\mapsto g(n)$ é o termo fonte. A equação é dita ser homogênea quando $g\equiv 0$ e, caso contrário, é dita ser não homogênea.

2.1.1 Equação homogênea

A solução de uma equação a diferenças de ordem 1, linear e homogênea

y(n+1)=a(n)y(n),\quad n\geq n_{0},

(2.3)

pode ser obtida por iterações diretas. Para $n\geq n_{0}$ , temos

	$\displaystyle y(n+1)=a(n)y(n)$		(2.4)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)y(n-1)$		(2.5)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)a(n-2)y(n-2)$		(2.6)
	$\displaystyle\vdots$		(2.7)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)\cdots a(n_{0})y(n_{0}).$		(2.8)

Ou seja, dado o valor inicial $y(n_{0})$ , temos a solução²²endnote: ²A demonstração por ser feita por indução matemática.

y(n)=a(n_{0})a(n_{0}+1)\cdots a(n-1)y(n_{0}).

(2.9)

A fim de termos uma notação mais prática, vamos usar a notação de produtório³³endnote: ³Veja mais em Wiki: Produtório.

\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(n)=a(n_{0})a(n_{0}+1)\cdots a(n-1).

(2.10)

Com esta notação, a solução de (2.3) pode ser escrita como segue

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(n)=\left[% \prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(i)\right]y(n_{0})},

(2.11)

assumindo a notação de que $\prod_{i=n+1}^{n}a(i)=1$ .

Exemplo 2.1.1.

Vamos calcular a solução de

y(n+1)=2y(n),\quad n\geq 0.

(2.12)

a)

Por iterações diretas.

Comparando com (2.3), temos $a(n)=2$ para todo $n$ . Calculando a solução por iterações diretas, temos

$\displaystyle y(n+1)=2y(n)$ (2.13)

$\displaystyle=2\cdot 2y(n-1)$ (2.14)

$\displaystyle=2^{2}y(n-1)$ (2.15)

$\displaystyle=2^{2}\cdot 2y(n-2)$ (2.16)

$\displaystyle=2^{3}y(n-2)$ (2.17)

$\displaystyle\vdots$

$\displaystyle=2^{n+1}y(0)$ (2.18)

ou, equivalentemente, temos a solução

$y(n)=2^{n}y(0).$ (2.19)
b)

Por (2.11).

$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=0}^{n-1}2\right]y(0)$ (2.20)

$\displaystyle=(\underbrace{2\cdot 2\cdot\cdots\cdot 2}_{\text{n vezes}})y(0)$ (2.21)

$\displaystyle=2^{n}y(0).$ (2.22)

A solução vale para qualquer valor inicial $y(0)$ .

No Python, podemos computar a solução da equação a diferenças (2.12) com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),2*y(n))

5 In : rsolve(ead, y(n))

6 Out: 2**n*C0

2.1.2 Equação não homogênea

A solução de uma equação a diferenças de ordem 1, linear e não homogênea

y(n+1)=a(n)y(n)+g(n),\quad n\geq n_{0},

(2.23)

pode ser obtida por iterações diretas.

Vejamos, para $n\geq n_{0}$ temos

	$\displaystyle y(n+1)=a(n){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}y(n)}+g(n)$		(2.24)
	$\displaystyle=a(n)\left[{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}a(n-1)y(n-1)+g(n-1)}\right]+g(n)$		(2.25)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1){\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}y(n-1)}+a(n)g(n-1)+g(n)$		(2.26)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)\left[{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a(n-2)y(n-2)+g(n-2)}\right]$
	$\displaystyle+a(n)g(n-1)+g(n)$		(2.27)
	$\displaystyle=a(n)a(n-1)a(n-2)y(n-2)$
	$\displaystyle+a(n)a(n-1)g(n-2)+a(n)g(n-1)+g(n)$		(2.28)
	$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}a(n)a(n-1)\cdots a(n_{0})}y(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}a(n_{0}+1)a(n_{0}+2)\cdots a(n)}g(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}a(n_{0}+2)a(n_{0}+3)\cdots a(n)}g(n_{0}+1)$
	$\displaystyle+\cdots+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{1,0,0}a(n)}g(n-1)+g(n)$		(2.29)

Logo, podemos inferir que a solução é dada por⁴⁴endnote: ⁴A demonstração por ser feita por indução matemática.

	$\displaystyle y(n)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}a(n_{0})a(n_{0}+1)\cdots a(n-1)}y(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}a(n_{0}+1)a(n_{0}+2)\cdots a(n-1)}g(n_{0})$
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}a(n_{0}+2)a(n_{0}+3)\cdots a(n-1)}g(n_{0}+1)$
	$\displaystyle+\cdots+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{1,0,0}a(n-1)}g(n-2)+g(n-1)$		(2.30)

Aqui, por maior praticidade, vamos empregar a notação de somatório⁵⁵endnote: ⁵Veja mais em Wiki: Somatório

\sum_{i=n_{0}}^{n}a(i)=a(n_{0})+a(n_{0}+1)+\cdots+a(n).

(2.31)

Com isso, a solução de (2.23) pode ser escrita como segue

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }y(n)=\left[\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(i)\right]y(n_{0})}$
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }+\sum_{i=n_{0}}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}a(j)\right]g(i)}.$		(2.32)

No último termo, consideramos a notação $\sum_{j=i+1}^{i}a(i)=0$ .

Exemplo 2.1.2.

Vamos calcular a solução de

y(n+1)=2y(n)-1,\quad n\geq 0.

(2.33)

Comparando com (2.23), temos $a(n)=2$ e $g(n)=-1$ para todo $n$ .

Cálculo por iterações diretas.

Calculando a solução por iterações diretas, temos

	$\displaystyle y(n+1)=2y(n)-1$		(2.34)
	$\displaystyle=2\cdot\left[2y(n-1)-1\right]-1$		(2.35)
	$\displaystyle=2^{2}y(n-1)-2-1$		(2.36)
	$\displaystyle=2^{2}\cdot\left[2y(n-2)-1\right]-2-1$		(2.37)
	$\displaystyle=2^{3}y(n-2)-2^{2}-2-1$		(2.38)
	$\displaystyle\cdots$
	$\displaystyle=2^{n+1}y(0)-\sum_{i=0}^{n}2^{i}$		(2.39)

Logo, temos

y(n)=2^{n}y(0)-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\sum_{i=0}^{n-1}2^{i}}.

(2.40)

Este último termo, é a soma dos termos da progressão geométrica⁶⁶endnote: ⁶Veja mais em Wiki:Progressão geométrica. de razão $q=2$ e termo inicial $1$ (veja Subseção 2.1.3), i.e.

\sum_{i=0}^{n-1}q^{i}=\frac{1-q^{n}}{1-q}.

(2.41)

Portanto, a solução (2.23) é

	$\displaystyle y(n)=2^{n}y(0)-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{1-2^{n}}{1-2}}$		(2.42)
	$\displaystyle=2^{n}y(0)-2^{n}+1.$		(2.43)

Cálculo por (2.32).

	$\displaystyle y(n)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}\left[\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a(i)\right]}y(n_{0})$		(2.44)
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\sum_{i=n_{0}}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}a(j)\right]}g(i)$		(2.45)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\left[\prod_{i=0}^{n-1}2\right]}y(0)$		(2.46)
	$\displaystyle+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\sum_{i=0}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}2\right]}(-1)$		(2.47)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}2^{n}}y(0)-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\sum_{i=0}^{n-1}2^{n-1-i}}$		(2.48)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}2^{n}}y(0)-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}2^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}2^{-i}}$		(2.49)

Este último somatório é a soma dos termos da progressão geométrica de razão $q=1/2$ e termo inicial $1$ ((veja Subseção 2.1.3), equação (2.60)). Logo,

	$\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}2^{-i}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1-% \frac{1}{2}}$		(2.50)
	$\displaystyle=2\left(1-2^{-n}\right).$		(2.51)

Retornando a (2.49), temos

	$\displaystyle y(n)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}2^{n}}y(0)-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}2^{n-1}\cdot 2\cdot\left(1-2^{-n}\right)}$		(2.52)
	$\displaystyle=2^{n}y(0)-2^{n}+1.$		(2.53)

A solução vale para qualquer valor inicial $y(0)$ .

No Python, podemos computar a solução da equação a diferenças (2.12) com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),2*y(n)-1)

5 In : rsolve(ead, y(n))

6 Out: 2**n*C0 + 1

Observamos que esta solução é equivalente à (2.53), pois

	$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=2^{n}y(0)-2^{n}+1$		(2.54)
		$\displaystyle=2^{n}\left[y(0)-1\right]+1,$		(2.55)

onde $y(0)$ é um valor inicial arbitrário.

2.1.3 Somas definidas

Seguem algumas somas definidas que podem ser úteis na resolução de equações a diferenças.

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k$	$\displaystyle=\frac{n(n+1)}{2}$	(2.56)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}$	$\displaystyle=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$	(2.57)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{3}$	$\displaystyle=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}$	(2.58)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{4}$	$\displaystyle=\frac{n(6n^{4}+15n^{3}+10n^{2}-1)}{30}$	(2.59)
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^{k}$	$\displaystyle=\frac{(1-q^{n})}{1-q},\quad q\neq 1$	(2.60)
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}kq^{k}$	$\displaystyle=\frac{(q-1)(n+1)q^{n+1}-q^{n+2}+q}{(q-1)^{2}}$	(2.61)

Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Calcule a solução da equação à diferenças

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=\frac{1}{2}y(n),\quad n\geq 0,$		(2.62)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=1.$		(2.63)

Resolução.

De (2.11), temos

$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=\left[\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2}\right]y(0)$	(2.64)
	$\displaystyle=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot 1$	(2.65)
	$\displaystyle=2^{-n}.$	(2.66)

No Python, podemos computar a solução deste exercício com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),S(1)/2*y(n))

5 In : rsolve(ead, y(n), {y(0):1})

6 Out: 0.5**n

ER 2.1.2.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=2y(n)+\left(\frac{1}{2}\right)^{n},\quad n\geq 0,$		(2.67)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=0.$		(2.68)

Resolução.

De (2.32), temos

$\displaystyle y(n)$	$\displaystyle=\left[\prod_{i=0}^{n-1}2\right]y(0)$
	$\displaystyle+\sum_{i=0}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}2\right]\cdot\left(% \frac{1}{2}\right)^{i}$	(2.69)
	$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n-1}2^{n-1-i}\cdot 2^{-i}$	(2.70)
	$\displaystyle=\sum_{i=0}^{n-1}2^{n-1}\cdot 2^{-2i}$	(2.71)
	$\displaystyle=2^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{1}{4}\right)^{i}$	(2.72)
	$\displaystyle=2^{n-1}\cdot\frac{\left[1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right]}{1% -\frac{1}{4}}$	(2.73)
	$\displaystyle=2^{n-1}\cdot\frac{4}{3}\cdot\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)$	(2.74)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}\left(2^{n-1}-\frac{2^{n-1}}{4^{n}}\right)$	(2.75)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}\left(2^{n-1}-2^{n-1}2^{-2n}\right)$	(2.76)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}\left(2^{n-1}-2^{-n-1}\right)$	(2.77)
	$\displaystyle=\frac{2}{3}\left(2^{n}-2^{-n}\right).$	(2.78)

No Python, podemos computar a solução deste exercício com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : n = symbols('n', integer=true)

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : ead = Eq(y(n+1),2*y(n)+(1/2)**n)

5 In : rsolve(ead, y(n), {y(0):0})

6 Out: 2*2**n/3 - 2*2**(-n)/3

Exercícios

E. 2.1.1.

Calcule a solução de

y(n+1)=3y(n),\quad n\geq 0.

(2.79)

$y(n)=3^{n}y(0)$

E. 2.1.2.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=\frac{1}{3}y(n),\quad n\geq 0,$		(2.80)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=-1.$		(2.81)

$y(n)=-\frac{1}{3^{n}}$

E. 2.1.3.

Considere um empréstimo de $\$100$ a uma taxa mensal de $1\%$ . Considerando $y(0)=100$ , qual o valor de $y(n)$ no $n$ -ésimo mês? Modele o problema como uma equação à diferenças e calcule sua solução. Então, calcule o valor da dívida no 36º mês.

$y(n+1)=1,01\cdot y(n),\leavevmode\nobreak\ y(0)=100$ ; $y(n)=100\cdot 1,01^{n}$ ; $y(36)\approx 143,08$

E. 2.1.4.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=3y(n)-3,\quad n\geq 0,$		(2.82)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=2.$		(2.83)

$y(n)=\frac{1}{2}(3^{n}+3)$

E. 2.1.5.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=ny(n)+n!,\quad n\geq 0,$		(2.84)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=1.$		(2.85)

$y(n)=n!$

E. 2.1.6.

Calcule a solução de

	$\displaystyle y(n+1)$	$\displaystyle=2y(n)+2^{n},\quad n\geq 0,$		(2.86)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=2.$		(2.87)

$\displaystyle y(n)=2^{n}\left(\frac{n}{2}+2\right)$

E. 2.1.7.

Considere um empréstimo de $\$100$ a uma taxa mensal de $1\%$ e com parcelas mensais fixas de $\$1$ . Considerando $y(0)=100$ , qual o valor de $y(n)$ no $n$ -ésimo mês? Modele o problema como uma equação à diferenças e calcule sua solução.

$y(n+1)=1,01\cdot y(n)-1,\leavevmode\nobreak\ y(0)=100$ ; $y(n)=100$ ;

E. 2.1.8.

Calcule a solução de

y(n+1)=ay(n)+b,\quad n\geq 0,

(2.88)

onde $a$ e $b$ são constantes com $a\neq 1$ .

$\displaystyle y(n)=\left(y(0)-\frac{b}{1-a}\right)a^{n}+\frac{b}{1-a}$

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Equações a Diferenças

2.1 Equações lineares

2.1.1 Equação homogênea

Exemplo 2.1.1.

2.1.2 Equação não homogênea

Exemplo 2.1.2.

2.1.3 Somas definidas

Exercícios resolvidos

ER 2.1.1.

Resolução.

ER 2.1.2.

Resolução.

Exercícios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

E. 2.1.4.

E. 2.1.5.

E. 2.1.6.

E. 2.1.7.

E. 2.1.8.

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	$\displaystyle y(n+1)=2y(n)$		(2.13)
	$\displaystyle=2\cdot 2y(n-1)$		(2.14)
	$\displaystyle=2^{2}y(n-1)$		(2.15)
	$\displaystyle=2^{2}\cdot 2y(n-2)$		(2.16)
	$\displaystyle=2^{3}y(n-2)$		(2.17)
	$\displaystyle\vdots$
	$\displaystyle=2^{n+1}y(0)$		(2.18)

	$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=0}^{n-1}2\right]y(0)$		(2.20)
	$\displaystyle=(\underbrace{2\cdot 2\cdot\cdots\cdot 2}_{\text{n vezes}})y(0)$		(2.21)
	$\displaystyle=2^{n}y(0).$		(2.22)