Equações a diferenças

2 Equações de ordem 1 2.1 Equações lineares 2.3 Alguns aspectos sobre equações não lineares

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2.2 Estudo assintótico de equações lineares

Nesta seção, vamos introduzir aspectos básicos sobre o comportamento assintótico de soluções de equações a diferenças de primeira ordem e lineares.

Seja

y(n+1)=f(y(n),n),\quad n\geq n_{0},

(2.86)

uma equação a diferenças com valor inicial $y(n_{0})$ . Dizemos que $y^{*}$ é ponto de equilíbrio da equação, quando $y^{*}$ é tal que

f(y^{*},n)=y^{*},

(2.87)

para todo $n\geq n_{0}$ . Neste caso, ao escolhermos $y(n_{0})=y^{*}$ , então a solução de equação a diferenças (2.86) é

y(n)=y^{*}.

(2.88)

Exemplo 2.2.1.

Vamos calcular o(s) ponto(s) de equilíbrio de

y(n+1)=\frac{4}{3}y(n)-1,\quad n\geq 0.

(2.89)

Neste caso, por comparação com (2.86), temos $\displaystyle f(y(n),n)=\frac{4}{3}y(n)-1$ . Para calcularmos o(s) ponto(s) de equilíbrio, resolvemos

	$\displaystyle f(y^{},n)=y^{}$		(2.90)
	$\displaystyle\frac{4}{3}y^{}-1=y^{}$		(2.91)
	$\displaystyle\left(\frac{4}{3}-1\right)y^{*}=1$		(2.92)
	$\displaystyle\frac{1}{3}y^{*}=1$		(2.93)
	$\displaystyle y^{*}=3.$		(2.94)

Com isso, concluímos que $y^{*}=3$ é o único ponto de equilíbrio de (2.89).

Notamos que, de fato, ao escolhermos $y(0)=3$ , temos

	$\displaystyle y(1)=\frac{4}{3}y(0)-1=3$		(2.95)
	$\displaystyle y(2)=\frac{4}{3}y(1)-1=3$		(2.96)
	$\displaystyle y(3)=\frac{4}{3}y(1)-1=3$		(2.97)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$		(2.98)
	$\displaystyle y(n)=3.$		(2.99)

Seja a equação a diferenças de primeira ordem, linear e com coeficientes constantes

y(n+1)=ay(n)+b,\quad n\geq n_{0},

(2.100)

Se $a=1$ e $b=0$ , então todo número real $y^{*}$ é ponto de equilíbrio de (2.100). Agora, se $a=1$ e $b\neq 0$ , então (2.100) não tem ponto de equilíbrio. Por fim, se $a\neq 1$ , então

y^{*}=\frac{b}{1-a}

(2.101)

é o único ponto de equilíbrio de (2.100). Este é o caso do Exemplo 2.2.1.

Um ponto de equilíbrio é um atrator global quando

\lim_{n\to\infty}y(n)=y^{*},

(2.102)

para qualquer valor inicial $y(n_{0})$ . Neste caso, também dizemos que $y^{*}$ é um ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável.

Uma equação a diferenças da forma

y(n+1)=ay(n),\quad n\geq n_{0},

(2.103)

com $-1<a<1$ , tem $y^{*}=0$ como atrator global. De fato, a solução desta equação a diferenças é

	$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a\right]y(n_{0})$		(2.104)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0}).$		(2.105)

Logo, temos

	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}y(n)=\lim_{n\to\infty}\cancelto{0}{a^{n-n_{0}}}y% (n_{0})$		(2.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(2.107)

Exemplo 2.2.2.

Para a equação a diferenças

y(n+1)=\frac{1}{2}y(n),\quad n\geq 0,

(2.108)

temos que $y^{*}=0$ é um ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável.

Um equação a diferenças da forma

y(n+1)=ay(n)+b,\quad n\geq n_{0},

(2.109)

com $-1<a<1$ , tem

y^{*}=\frac{b}{1-a}

(2.110)

como ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável. De fato, a solução desta equação é

	$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=n_{0}}^{n-1}a\right]y(n_{0})$
	$\displaystyle\text{}\qquad+\sum_{i=n_{0}}^{n-1}\left[\prod_{j=i+1}^{n-1}a% \right]b$		(2.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+\sum_{i=n_{0}}^{n-1}a^{n-1-i}b$		(2.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-1}b\sum_{i=n_{0}}^{n-1}a^{-i}$		(2.113)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-1}b\sum_{j=0}^{n-n_{0}-1}a^% {-j-n_{0}}$		(2.114)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-n_{0}-1}b\sum_{j=0}^{n-n_{0% }-1}a^{-j}$		(2.115)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-n_{0}-1}b\frac{(1-a^{-(n-n_% {0})})}{1-a^{-1}}$		(2.116)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+a^{n-n_{0}-1}b\frac{\frac{a^{n-n% _{0}}-1}{a^{n-n_{0}}}}{\frac{a-1}{a}}$		(2.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=a^{n-n_{0}}y(n_{0})+b\frac{1-a^{n-n_{0}}}{1-a}$		(2.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(y(n_{0})-\frac{b}{1-a}\right)a^{n-n_{0}}+\frac% {b}{1-a}.$		(2.119)

Observamos que esta última equação, confirma que

y^{*}=\frac{b}{1-a}

(2.120)

é ponto de equilíbrio de (2.109) e é assintoticamente globalmente estável, pois

	$\displaystyle\lim_{n\to\infty}y(n)=\lim_{n\to\infty}\left[\left(y(n_{0})-\frac% {b}{1-a}\right)\cancelto{0}{a^{n-n_{0}}}+\frac{b}{1-a}\right]$		(2.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{b}{1-a}.$		(2.122)

Exemplo 2.2.3.

A equação a diferenças

y(n+1)=4y(n)-1,\quad n\geq 0,

(2.123)

tem $y^{*}=1/3$ como ponto de equilíbrio, o qual não é um atrator global. De fato, para qualquer escolha de $y(0)\neq y^{*}$ , temos

y(n)=\underbrace{\left(y(0)-\frac{1}{3}\right)}_{\neq 0}4^{n}+\frac{1}{3}.

(2.124)

Logo, vemos que $y(n)\to\pm\infty$ quando $n\to\infty$ , onde o sinal é igual ao do termo $y(0)-1/3$ .

⬇

1from sympy import Rational

2y=Rational(1,3)

3for i in range(1,31):

4 y=4*y-1

1/3

2.2.1 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Calcule os pontos de equilíbrio de

y(n+1)=ny(n),\quad n\geq 0.

(2.125)

Resolução.

Temos que $y^{*}$ é ponto de equilíbrio da equações a diferenças, quando

	$\displaystyle y^{}=ny^{}$		(2.126)
	$\displaystyle(1-n)y^{*}=0$		(2.127)

para todo $n\geq 0$ . Logo, $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio da equação a diferenças.

ER 2.2.2.

Verifique se $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável de

y(n+1)=\frac{1}{n+1}y(n),\quad n\geq 0.

(2.128)

Resolução.

Primeiramente, confirmamos que $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio, pois

\frac{1}{n+1}y^{*}=0=y^{*},\quad n\geq 0.

(2.129)

Por fim, a solução da equação a diferenças é

	$\displaystyle y(n)=\left[\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{i+1}\right]y(0)$		(2.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{n!}y(0).$		(2.131)

Daí, vemos que

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}y(0)=0=y^{*}.

(2.132)

Logo, concluímos que $y^{*}=0$ é ponto de equilíbrio assintoticamente globalmente estável da equação a diferenças dada.

2.2.2 Exercícios

E. 2.2.1.

Calcule o ponto de equilíbrio de

y(n+1)=-y(n)+1

(2.133)

$1/2$

E. 2.2.2.

O ponto de equilíbrio da equação a diferenças do E.2.2.1 é um atrator global? Justifique sua resposta.

não

E. 2.2.3.

Encontre o ponto de equilíbrio de

y(n+1)=\frac{1}{2}y(n)+\frac{1}{2},\quad n\geq 2,

(2.134)

e diga se ele é um atrator global. Justifique sua resposta.

$y^{*}=1$ ; atrator global

E. 2.2.4.

Encontre o ponto de equilíbrio de

y(n+1)=2y(n)+1,\quad n\geq 2,

(2.135)

e diga se ele é assintoticamente globalmente estável. Justifique sua resposta.

$y^{*}=-1$ ; não é assintoticamente globalmente estável

E. 2.2.5.

Considere um financiamento de valor $\$100$ com taxa de juros $1\%$ a.m. e amortizações fixas mensais de valor $\$a$ . O valor devido $y(n+1)$ no $n+1$ -ésimo mês pode ser modelado pela seguinte equações a diferenças

y(n+1)=1,01y(n)-a,\quad n\geq 0,

(2.136)

com valor inicial $y(0)=100$ . Calcule o valor $a$ mínimo a ser amortizado mensalmente de forma que o valor devido permaneça sempre constante.

$a=1$

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Equações a diferenças

2.2 Estudo assintótico de equações lineares

Exemplo 2.2.1.

Exemplo 2.2.2.

Exemplo 2.2.3.

2.2.1 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Resolução.

ER 2.2.2.

Resolução.

2.2.2 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

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