Deep Learning para Equações Diferenciais Parciais

4 Redes Informadas pela Física 4.3 PINN com Parâmetro a Determinar 4.5 Derivadas fracionárias

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4.4 Integração de Funções

Em construção

O objetivo, aqui, é de treinarmos uma RNA para a computação da integral de uma função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ em um dado intervalo [a, b]. Mais precisamente, vamos treinar uma MLP $\mathcal{N}$ tal que

\int_{a}^{x}f(u)\,du\approx\mathcal{N}(x).

(4.33)

Do teorema fundamental do cálculo, temos que

\mathcal{N}(x)=\mathcal{N}(a)+\int_{a}^{x}f(u)\,du

(4.34)

com

\mathcal{N}^{\prime}(x)=f(x),

(4.35)

sendo arbitrário o valor de $\mathcal{N}(a)$ .

Logo, escolhendo um valor arbitrário para $\mathcal{N}(a)$ , podemos treinar $\mathcal{N}$ com base na função de perda

\varepsilon=\frac{1}{n_{s}}\sum_{s=1}^{n_{s}}\left|\mathcal{N}^{\prime}(x_{s})% -f(x_{s})\right|^{2}.

(4.36)

Exemplo 4.4.1.

Vamos treinar uma rede para a computação de

\int_{0}^{x}\cos(\pi u)\,du.

(4.37)

⬇

1import torch

3# modelo

4## n camadas escondidas

5nh = 2

6## n neurônios por camada

7nn = 50

8## fun de ativação

9fh = torch.nn.Tanh()

10## arquitetura

11model = torch.nn.Sequential()

12model.add_module('layer_1', torch.nn.Linear(1,nn))

13model.add_module('fun_1', fh)

14for layer in range(2, nh+1):

15 model.add_module(f'layer_{layer}', torch.nn.Linear(nn,nn))

16 model.add_module(f'fun_{layer}', fh)

17model.add_module(f'layer_{nh+1}', torch.nn.Linear(nn,1))

19# otimizador

20optim = torch.optim.Adam(model.parameters(),

21 lr = 1e-2)

23# treinamento

24ns = 100

25nepochs = 10000

26nout_loss = 100

27tol = 1e-5

29for epoch in range(nepochs):

31 # samples

32 X = 2.*torch.rand((ns,1)) - 1.

34 f_exp = torch.cos(torch.pi*X)

36 # forward

37 X.requires_grad = True

38 F = model(X)

40 f_est = torch.autograd.grad(

41 F, X,

42 grad_outputs=torch.ones_like(F),

43 retain_graph=True,

44 create_graph=True)[0]

46 # loss

47 loss = torch.mean((f_exp - f_est)**2)

49 if ((epoch % nout_loss) == 0):

50 print(f'epoch {epoch}: loss = {loss.item():.4e}')

52 if (loss.item() < tol):

53 print('onvergiu')

54 break

56 optim.zero_grad()

57 loss.backward()

58 optim.step()

Refer to caption — Figura 4.4: Computação da primitiva de $\cos(\pi x)$ no intervalo de $[-1,1]$ . Linha contínua: valores esperados $y=\frac{1}{\pi}\operatorname{sen}(\pi x)$ , para $C=0$ . Linha tracejada: valores estimados $y=\mathcal{N}(x)$ .

Neste caso, podemos verificar a solução, uma vez que

\int_{-1}^{x}\cos(\pi u)\,du=\frac{1}{\pi}\operatorname{sen}(\pi x)+C,

(4.38)

onde $C$ é uma constante arbitrária. Na Figura 4.4, temos uma comparação entre o resultado estimado pela rede e o esperado. Observamos que a cada treinamento, a rede pode fornecer uma primitiva diferente.

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4.4 Integração de Funções

Exemplo 4.4.1.

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