Cálculo II

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1.1 Funções de duas ou mais variáveis

Uma função de duas variáveis reais é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais $(x,y)$ um número real $z$ , denotamos

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% z=f(x,y).

(1.1)

O nome da função é $f$ e o conjunto de todos os pares ordenados $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ para os quais a função está definida é chamado de domínio da função. O conjunto de todos os valores $z\in\mathbb{R}$ que a função pode assumir é chamado de imagem da função.

O gráfico de uma função de duas variáveis reais é um subconjunto do espaço tridimensional $\mathbb{R}^{3}$ formado por todos os pontos $(x,y,z)$ tais que $z=f(x,y)$ . Ao ser graficada, a função de duas variáveis reais é representada por uma superfície no espaço tridimensional.

Exemplo 1.1.1.

Consideremos a função de duas variáveis reais

\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}.

(1.2)

O domínio da função é o conjunto de todos os pares ordenados $(x,y)$ , ou seja, $\mathbb{R}^{2}$ , e a imagem da função é o conjunto de todos os números reais não negativos, ou seja, $[0,\infty)$ . Consultemos o gráfico da função na Figura 1.1.

Refer to caption — Figura 1.1: Gráfico da função $z=f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ .

Analogamente, uma função de três variáveis reais é uma regra que associa a cada triplo ordenado de números reais $(x,y,z)$ um número real $w$ , denotamos

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% w=g(x,y,z).

(1.3)

Aqui, o nome da função é $g$ e o conjunto de todos os triplos ordenados $(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ para os quais a função está definida é chamado de domínio da função. O conjunto de todos os valores $w$ que a função pode assumir é chamado de imagem da função.

O gráfico de uma função de três variáveis reais é um subconjunto do espaço quadridimensional $\mathbb{R}^{4}$ formado por todos os pontos $(x,y,z,w)$ tais que $w=g(x,y,z)$ . O gráfico é, então, uma hipersuperfície no espaço quadridimensional, difícil de ser visualizada em uma projeção bidimensional do espaço quadridimensional. Mais adiante, estudaremos como graficar seções de funções de três variáveis reais, que nos permitirão visualizar parcialmente o comportamento de tais funções.

Exemplo 1.1.2.

Consideremos a função de três variáveis reais

\displaystyle w=g(x,y,z)=x^{2}\sqrt{z}+xy^{2}

(1.4)

O domínio da função é o conjunto de todos os triplos ordenados $(x,y,z)$ tais que $z\geq 0$ , ou seja, $\mathbb{R}^{2}\times[0,\infty)$ , e a imagem da função é o conjunto de todos os números reais, ou seja, $\mathbb{R}$ .

Funções de $n$ variáveis reais podem também ser definidas, usualmente denotamos

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% u=h(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).

(1.5)

Aqui, o nome da função é $h$ e o conjunto de todos os $n$ -tuplos ordenados $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ para os quais a função está definida é chamado de domínio da função. O conjunto de todos os valores $u$ que a função pode assumir é chamado de imagem da função.

O gráfico de uma hipersuperfície no espaço $(n+1)$ -dimensional $\mathbb{R}^{n+1}$ formado por todos os pontos $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},u)$ tais que $u=h(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ . A visualização de tais gráficos é, em geral, impossível no caso de $n>=3$ .

Exemplo 1.1.3.

Consideremos a função de $4$ variáveis reais

	$\displaystyle u=h(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$		(1.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=x_{1}e^{x_{2}+x_{3}}+\sin(\pi x_{4}).$		(1.7)

O domínio da função é o conjunto de todos os quádruplos ordenados $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$ , ou seja, $\mathbb{R}^{4}$ , e a imagem da função é o conjunto de todos os números reais, ou seja, $\mathbb{R}$ .

Exemplo 1.1.4.(Funções de várias variáveis em aplicações)

Consideremos os seguintes exemplos de funções de várias variáveis reais em aplicações:

a)

$A=\frac{1}{2}bh$

É a área de um triângulo em função da base $b$ e da altura $h$ . Ou seja, temos $A=f(b,h)$ , onde $f(b,h)=\frac{1}{2}bh$ é uma função de duas variáveis reais $(b,h)$ . O domínio¹¹1Em uma aplicação, deve-se considerar as restrições do problema da função é o conjunto de todos os pares ordenados $(b,h)$ tais que $b>0$ e $h>0$ , ou seja, $\mathbb{R}^{2}_{>0}$ , e a imagem da função é o conjunto de todos os números reais positivos, ou seja, $\mathbb{R}_{+}$ .
b)

$P=\dfrac{nRT}{V}$

Esta é a lei dos gases ideais, em que a pressão $P$ é função do número de mols $n$ do gás, da temperatura $T$ do gás e do volume $V$ do recipiente que contém o gás. O $R$ é a constante universal dos gases ideais. Ou seja, temos $P=g(n,T,V)$ , onde $g(n,T,V)=\dfrac{nRT}{V}$ é uma função de três variáveis reais $(n,T,V)$ . O domínio da função é o conjunto de todos os triplos ordenados $(n,T,V)$ tais que $n>0$ , $T>0$ e $V>0$ , ou seja, $\mathbb{R}^{3}_{>0}$ , e a imagem da função é o conjunto de todos os números reais positivos, ou seja, $\mathbb{R}_{+}$ .
c)

$r=k_{0}e^{-E_{a}/(RT)}c_{A}^{\alpha}c_{b}^{\beta}c_{C}^{\gamma}$

É a lei de Arrhenius, em que a taxa de reação $r$ é função da temperatura $T$ do sistema e das concentrações $c_{A}$ , $c_{B}$ e $c_{C}$ dos reagentes químicos A, B e C, respectivamente. Os demais parâmetros $k_{0}$ , $E_{a}$ , $R$ , $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ são constantes e dependem da reação química em questão. Ou seja, temos $r=h(T,c_{A},c_{B},c_{C})$ , onde $h(T,c_{A},c_{B},c_{C})=k_{0}e^{-E_{a}/(RT)}c_{A}^{\alpha}c_{b}^{\beta}c_{C}^{\gamma}$ é uma função de quatro variáveis reais $(T,c_{A},c_{B},c_{C})$ .

1.1.1 Curvas de nível

Curvas de nível são um ótimo recurso para visualizar funções de duas variáveis reais. Uma curva de nível de uma função $f(x,y)$ é o conjunto de todos os pontos $(x,y)$ no plano tal que $f(x,y)=c$ , onde $c$ é uma constante real. Em outras palavras, uma curva de nível representa todos os pontos no domínio da função que produzem o mesmo valor de saída.

Exemplo 1.1.5.

Consultemos alguns exemplo de funções e suas curvas de nível:

a)

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$

As curvas de nível são círculos concêntricos centrados na origem, com raio $\sqrt{c}$ , onde $c$ é o valor constante da curva de nível. Consultemos a Figura 1.2.

Figura 1.2: Curvas de nível da função $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ .
b)

$g(x,y)=\operatorname{sen}(\pi x)\cos(\pi y)$

As curvas de nível são linhas onduladas que se repetem periodicamente, refletindo a natureza oscilatória da função. Consultemos a Figura 1.3.

Figura 1.3: Curvas de nível da função $g(x,y)=\operatorname{sen}(\pi x)\cos(\pi y)$ .
c)

$h(x,y)=xe^{-(x^{2}+y^{2})}$

As curvas de nível são elípses alongadas e simétricas em relação ao eixo $y$ . Consultemos a Figura 1.4.

Figura 1.4: Curvas de nível da função $h(x,y)=xe^{-(x^{2}+y^{2})}$ .

1.1.2 Superfícies de nível

As superfícies de nível são uma generalização das curvas de nível para funções de três variáveis reais. Uma superfície de nível de uma função $g(x,y,z)$ é o conjunto de todos os pontos $(x,y,z)$ no espaço tridimensional tal que $g(x,y,z)=c$ , onde $c$ é uma constante real. Em outras palavras, uma superfície de nível representa todos os pontos no domínio da função que produzem o mesmo valor de saída.

Exemplo 1.1.6.

Seja a função de três variáveis reais

\displaystyle g(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+z^{2}.

(1.8)

As superfícies de nível são elipsoides centrados na origem, com semi-eixos proporcionais a $\sqrt{c}$ , $\sqrt{c/2}$ e $\sqrt{c}$ , onde $c$ é o valor constante da superfície de nível. Consultemos a Figura 1.5.

1.1.3 Seções de funções de três variáveis reais

A visualização de funções de três variáveis reais por ser feita por seções, que são cortes da superfície tridimensional do gráfico da função por planos paralelos aos planos coordenados. Cada seção é uma função de duas variáveis reais, que pode ser visualizada por gráficos de superfícies ou curvas de nível. A ideia é fixar uma das variáveis e observar como a função se comporta em relação às outras duas variáveis.

Exemplo 1.1.7.

Consideremos que a distribuição de temperatura $T$ em uma placa é função do tempo $t$ e das coordenadas espaciais $x$ e $y$ , ou seja, $T=f(t,x,y)$ . Por exemplo, podemos ter a seguinte função:

\displaystyle T=f(t,x,y)=100e^{-0.1t}\sin(\pi x)\sin(\pi y)

(1.9)

Para visualizar a distribuição de temperatura em diferentes momentos, podemos fixar o tempo $t$ e observar a função resultante de duas variáveis reais $T=f_{t}(x,y)=100e^{-0.1t}\sin(\pi x)\cos(\pi y)$ .

1.1.4 Exercícios

E. 1.1.1.

Seja $f(x,y)=(x+1)^{2}y+2y$ . Calcule:

a)

$f(0,0)$
b)

$f(-1,1)$
c)

$f(1,y)$
d)

$f(x,2)$
e)

$f(x,x-y)$

a) $0$ ; b) $2$ ; c) $6y$ ; d) $2(x+1)^{2}+4$ ; e) $(x+1)^{2}(x-y)+2(x-y)$ .

E. 1.1.2.

Seja $f(x,y,z)=\operatorname{sen}(\pi x)/(y^{2}+z^{2})$ . Calcule:

a)

$f(0,1,1)$
b)

$f(1,0,0)$
c)

$f(x,1,1)$
d)

$f(1,y,0)$
e)

$f(z,x,y-x)$

a) $0$ ; b) $\not\exists$ ; c) $\operatorname{sen}(\pi x)/2$ ; d) $\operatorname{sen}(\pi)/(y^{2})=0$ ; e) $\operatorname{sen}(\pi z)/(x^{2}+(y-x)^{2})$ .

E. 1.1.3.

Descreva o gráfico de superfície das seguintes funções de duas variáveis reais. Também, forneça o domínio e a imagem de cada função.

a)

$f(x,y)=1-x-2y$
b)

$g(x,y)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$
c)

$h(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

a) Um plano. Domínio: $\mathbb{R}^{2}$ . Imagem: $\mathbb{R}$ .; b) Uma semiesfera (calota superior). Domínio: $x^{2}+y^{2}\leq 4$ . Imagem: $[0,2]$ .; c) Um cone. Domínio: $\mathbb{R}^{2}$ . Imagem: $[0,\infty)$ .

E. 1.1.4.

Descreva o gráfico de curvas de nível das seguintes funções de duas variáveis reais. Também, forneça o domínio e a imagem de cada função.

a)

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$
b)

$g(x,y)=4x^{2}+y^{2}$
c)

$h(x,y)=y^{2}-x^{2}$

a) Círculos concêntricos centrados na origem. Domínio: $\mathbb{R}^{2}$ . Imagem: $[0,\infty)$ . b) Elipses centradas na origem. Domínio: $\mathbb{R}^{2}$ . Imagem: $[0,\infty)$ . c) Hipérboles centradas na origem. Domínio: $\mathbb{R}^{2}$ . Imagem: $\mathbb{R}$ .

E. 1.1.5.

Determine $f(g(x),h(y))$ para as seguintes funções:

a)

$f(x,y)=xy$ , $g(x)=x^{2}$ , $h(y)=y+1$
b)

$f(x,y)=xe^{x^{2}+y^{2}}$ , $g(x)=\operatorname{sen}(x)$ , $h(y)=\cos(y)$

a) $f(g(x),h(y))=x^{2}(y+1)$ ; b) $f(g(x),h(y))=\operatorname{sen}(x)e^{\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(y)}$ .

E. 1.1.6.

Determine $f(g(x,y),h(x,y))$ para as seguintes funções:

a)

$f(x,y)=xy$ , $g(x,y)=x^{2}+y^{2}$ , $h(x,y)=x-y$
b)

$f(x,y)=xe^{x^{2}+y^{2}}$ , $g(x,y)=\operatorname{sen}(xy)$ , $h(x,y)=\cos(x+y)$

a) $f(g(x,y),h(x,y))=(x^{2}+y^{2})(x-y)$ ; b) $f(g(x,y),h(x,y))=\operatorname{sen}(xy)\cdot e^{\operatorname{sen}^{2}(xy)+% \cos^{2}(x+y)}$ .

E. 1.1.7.

Seja $f(t,x,y)=(x-t)^{2}+4(y-t)^{2}$ . Descreva o gráfico de seções, como curvas de nível, da função para os seguintes valores de $t$ crescentes: $t=0$ , $t=1$ , $t=2$ , $t=3$ e $t=4$ .

As curvas de nível são elipses centradas no ponto $(t,t)$ .

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