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2.4 Mudança de base
Em revisão
Sejam e bases do espaço . Conhecendo as coordenadas de um vetor na base , queremos determinar suas coordenadas na base . Mais especificamente, seja
(2.141)
(2.142)
Agora, tendo , e , então
(2.143)
(2.144)
(2.145)
(2.146)
(2.147)
(2.148)
o que é equivalente a
(2.149)
onde .
A matriz é chamada de matriz de mudança de base de para . Como os vetores , e são l.i., temos que a matriz de mudança de base tem determinante não nulo e, portanto é invertível. Portanto, multiplicando por pela esquerda em (2.149), temos
(2.150)
ou seja
(2.151)
Exemplo 2.4.1.
Sejam dadas as bases e , com , e . Seja, ainda, o vetor . Vamos encontrar as coordenadas de na base .
Há duas formas de proceder.
Método 1.
A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação
(2.152)
Esta é equivalente a
(2.153)
(2.154)
(2.155)
(2.156)
(2.157)
(2.158)
(2.159)
(2.160)
(2.161)
(2.162)
Isto nos leva ao seguinte sistema linear
(2.163)
Resolvendo este sistema, obtemos , e , i.e.
(2.164)
Método 2.
Outra maneira de se obter as coordenadas de na base é usando a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base para a base é
(2.165)
(2.166)
Entretanto, neste exemplo, queremos fazer a mudança de para . Portanto, calculamos a matriz de mudança de base . Segue:
(2.167)
(2.168)
(2.169)
Com esta matriz e denotando , temos
(2.170)
(2.171)
Logo, temos
(2.172)
Exercícios resolvidos
ER 2.4.1.
Sejam e bases dadas do espaço . Sabendo que a matriz de mudança de base de para é
(2.173)
calcule a matriz de mudança de base de para .
Solução 0.
Sejam a matriz de mudança de base de para e a matriz de mudança de base de para . Temos
(2.174)
(2.175)
(2.176)
(2.177)
ER 2.4.2.
Fixadas as mesmas bases do ER 2.4.1, determine as coordenadas do vetor na base , sabendo que .
Solução 0.
Denotando , temos
(2.178)
(2.179)
(2.180)
ER 2.4.3.
Considere dadas as bases , e . Sejam, também, a matriz de mudança de base de para e a matriz de mudança de base de para . Determine a matriz de mudança de base de para em função das matrizes e .
Solução 0.
Para um vetor qualquer, temos
(2.181)
(2.182)
Logo, temos
(2.183)
(2.184)
Concluímos que .
Exercícios
E. 2.4.1.
Sejam e bases dadas de (espaço tridimensional). Sabendo que e que a matriz de mudança de base
(2.185)
determine , i.e. as coordenadas de na base .
Resposta 0.
E. 2.4.2.
Sejam e bases dadas de (espaço tridimensional). Sabendo que e que a matriz de mudança de base
(2.186)
determine , i.e. as coordenadas de na base .
Resposta 0.
E. 2.4.3.
Sejam e bases de com
(2.187)
(2.188)
(2.189)
Forneça a matriz de mudança de base .
Resposta 0.
E. 2.4.4.
Sejam e bases de com
(2.190)
(2.191)
(2.192)
Forneça a matriz de mudança de base .
Resposta 0.
E. 2.4.5.
Sejam e bases de com
(2.193)
(2.194)
(2.195)
Sabendo que , forneça , i.e. as coordenadas do vetor na base .
Resposta 0.
E. 2.4.6.
Sejam e bases de com
(2.196)
(2.197)
(2.198)
Sabendo que , forneça , i.e. as coordenadas do vetor na base .
Resposta 0.
E. 2.4.7.
Considere dadas as bases , e do espaço tridimensional . Sejam, também, a matriz de mudança de base de para e a matriz de mudança de base de para . Determine a matriz de mudança de base de para em função das matrizes e .
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2.4 Mudança de base
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Sejam e bases do espaço . Conhecendo as coordenadas de um vetor na base , queremos determinar suas coordenadas na base . Mais especificamente, seja
(2.141)
(2.142)
Agora, tendo , e , então
(2.143)
(2.144)
(2.145)
(2.146)
(2.147)
(2.148)
o que é equivalente a
(2.149)
onde .
A matriz é chamada de matriz de mudança de base de para . Como os vetores , e são l.i., temos que a matriz de mudança de base tem determinante não nulo e, portanto é invertível. Portanto, multiplicando por pela esquerda em (2.149), temos
(2.150)
ou seja
(2.151)
Exemplo 2.4.1.
Sejam dadas as bases e , com , e . Seja, ainda, o vetor . Vamos encontrar as coordenadas de na base .
Há duas formas de proceder.
Método 1.
A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação
(2.152)
Esta é equivalente a
(2.153)
(2.154)
(2.155)
(2.156)
(2.157)
(2.158)
(2.159)
(2.160)
(2.161)
(2.162)
Isto nos leva ao seguinte sistema linear
(2.163)
Resolvendo este sistema, obtemos , e , i.e.
(2.164)
Método 2.
Outra maneira de se obter as coordenadas de na base é usando a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base para a base é
(2.165)
(2.166)
Entretanto, neste exemplo, queremos fazer a mudança de para . Portanto, calculamos a matriz de mudança de base . Segue:
(2.167)
(2.168)
(2.169)
Com esta matriz e denotando , temos
(2.170)
(2.171)
Logo, temos
(2.172)
Exercícios resolvidos
ER 2.4.1.
Sejam e bases dadas do espaço . Sabendo que a matriz de mudança de base de para é
(2.173)
calcule a matriz de mudança de base de para .
Solução 0.
Sejam a matriz de mudança de base de para e a matriz de mudança de base de para . Temos
(2.174)
(2.175)
(2.176)
(2.177)
ER 2.4.2.
Fixadas as mesmas bases do ER 2.4.1, determine as coordenadas do vetor na base , sabendo que .
Solução 0.
Denotando , temos
(2.178)
(2.179)
(2.180)
ER 2.4.3.
Considere dadas as bases , e . Sejam, também, a matriz de mudança de base de para e a matriz de mudança de base de para . Determine a matriz de mudança de base de para em função das matrizes e .
Solução 0.
Para um vetor qualquer, temos
(2.181)
(2.182)
Logo, temos
(2.183)
(2.184)
Concluímos que .
Exercícios
E. 2.4.1.
Sejam e bases dadas de (espaço tridimensional). Sabendo que e que a matriz de mudança de base
(2.185)
determine , i.e. as coordenadas de na base .
Resposta 0.
E. 2.4.2.
Sejam e bases dadas de (espaço tridimensional). Sabendo que e que a matriz de mudança de base
(2.186)
determine , i.e. as coordenadas de na base .
Resposta 0.
E. 2.4.3.
Sejam e bases de com
(2.187)
(2.188)
(2.189)
Forneça a matriz de mudança de base .
Resposta 0.
E. 2.4.4.
Sejam e bases de com
(2.190)
(2.191)
(2.192)
Forneça a matriz de mudança de base .
Resposta 0.
E. 2.4.5.
Sejam e bases de com
(2.193)
(2.194)
(2.195)
Sabendo que , forneça , i.e. as coordenadas do vetor na base .
Resposta 0.
E. 2.4.6.
Sejam e bases de com
(2.196)
(2.197)
(2.198)
Sabendo que , forneça , i.e. as coordenadas do vetor na base .
Resposta 0.
E. 2.4.7.
Considere dadas as bases , e do espaço tridimensional . Sejam, também, a matriz de mudança de base de para e a matriz de mudança de base de para . Determine a matriz de mudança de base de para em função das matrizes e .
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