| | | |

Vetores

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

2.4 Mudança de base

Em revisão

Sejam B=(u,v,w) e C=(r,s,t) bases do espaço V. Conhecendo as coordenadas de um vetor na base C, queremos determinar suas coordenadas na base B. Mais especificamente, seja

z =(z1,z2,z3)C (2.141)
=z1r+z2s+z3t. (2.142)

Agora, tendo r=(r1,r2,r3)B, s=(s1,s2,s3)B e t=(t1,t2,t3)B, então

(z1,z2,z3)C =z1(r1,r2,r3)B (2.143)
+z2(s1,s2,s3)B (2.144)
+z3(t1,t2,t3)B (2.145)
=(r1z1+s1z2+t1z3)z1u (2.146)
+(r2z1+s2z2+t2z3)z2v (2.147)
+(r3z1+s3z2+t3z3)z3w (2.148)

o que é equivalente a

[z1z2z3]=[r1s1t1r2s2t2r3s3t3]MCB[z1z2z3], (2.149)

onde z=(z1,z2,z3)B.

A matriz MCB é chamada de matriz de mudança de base de C para B. Como os vetores r, s e t são l.i., temos que a matriz de mudança de base MBC tem determinante não nulo e, portanto é invertível. Portanto, multiplicando por MBC1 pela esquerda em (2.149), temos

[z1z2z3]=[r1s1t1r2s2t2r3s3t3]1MBC[z1z2z3], (2.150)

ou seja

MBC=(MCB)1. (2.151)
Exemplo 2.4.1.

Sejam dadas as bases B=(a,b,c) e C=(u,v,w), com u=(1,2,0)B, v=(2,0,1)B e w=(1,3,1)B. Seja, ainda, o vetor z=(1,2,1)B. Vamos encontrar as coordenadas de z na base C.

Há duas formas de proceder.

Método 1.

A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação

(1,2,1)B=(x,y,z)C. (2.152)

Esta é equivalente a

a2b+c =xu+yv+zw (2.153)
=x(1,2,0)B (2.154)
+y(2,0,1)B (2.155)
+z(1,3,1)B (2.156)
=x(a+2b) (2.157)
+y(2ac) (2.158)
+z(a3b+c) (2.159)
=(x+2yz)a (2.160)
+(2x3z)b (2.161)
+(y+z)c (2.162)

Isto nos leva ao seguinte sistema linear

{x+2yz=12x3z=2y+z=1 (2.163)

Resolvendo este sistema, obtemos x=7/5, y=3/5 e z=8/5, i.e.

z=(75,35,85)C. (2.164)

Método 2.

Outra maneira de se obter as coordenadas de z na base C é usando a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base C para a base B é

MCB =[u1v1w1u2v2w2u3v3w3] (2.165)
=[121203011]. (2.166)

Entretanto, neste exemplo, queremos fazer a mudança de B para C. Portanto, calculamos a matriz de mudança de base MBC. Segue:

MBC=MCB1 (2.167)
MBC=[121203011]1 (2.168)
MBC=[351565251515251545] (2.169)

Com esta matriz e denotando z=(x,y,z)C, temos

[xyz]=[351565251515251545]MBC[121] (2.170)
[xyz]=[7/53/58/5] (2.171)

Logo, temos

z=(75,35,85)C. (2.172)

Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Sejam B e C bases dadas do espaço V. Sabendo que a matriz de mudança de base de B para C é

M=[101110231], (2.173)

calcule a matriz de mudança de base de C para B.

Solução 0.

Sejam MBC=M a matriz de mudança de base de B para C e MCB a matriz de mudança de base de C para B. Temos

MCB=MBC1 (2.174)
MCB=M1 (2.175)
MCB=[101110231]1 (2.176)
MCB=[161216161216561216] (2.177)
ER 2.4.2.

Fixadas as mesmas bases do ER 2.4.1, determine as coordenadas do vetor u na base C, sabendo que u=(2,1,3)B.

Solução 0.

Denotando u=(u1,u2,u3)B, temos

uC=MBCuB (2.178)
[u1u2u3]=[101110231][213] (2.179)
[u1u2u3]=[532] (2.180)
ER 2.4.3.

Considere dadas as bases A, B e C. Sejam, também, MAB a matriz de mudança de base de A para B e MBC a matriz de mudança de base de B para C. Determine a matriz de mudança de base de A para C em função das matrizes MAB e MBC.

Solução 0.

Para um vetor u qualquer, temos

uB=MABuA (2.181)
uC=MBCuB (2.182)

Logo, temos

uC =MBC(MABuA) (2.183)
=(MBCMAB)uA. (2.184)

Concluímos que MAC=MBCMAB.

Exercícios

E. 2.4.1.

Sejam A e B bases dadas de V (espaço tridimensional). Sabendo que v=(2,0,1)A e que a matriz de mudança de base

MAB=101021110, (2.185)

determine vB, i.e. as coordenadas de v na base B.

Resposta 0.

v=(3,1,2)B

E. 2.4.2.

Sejam A e B bases dadas de V (espaço tridimensional). Sabendo que v=(2,0,1)B e que a matriz de mudança de base

MAB=101021110, (2.186)

determine vA, i.e. as coordenadas de v na base A.

Resposta 0.

v=(0,1,2)A

E. 2.4.3.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

u=(0,1,1)B (2.187)
v=(1,0,1)B (2.188)
w=(2,1,1)B (2.189)

Forneça a matriz de mudança de base MCB.

Resposta 0.

[012101111]

E. 2.4.4.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

a=(0,1,1)C (2.190)
b=(1,0,1)C (2.191)
c=(2,1,1)C (2.192)

Forneça a matriz de mudança de base MCB.

Resposta 0.

[143414121212141414]

E. 2.4.5.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

u=(0,1,1)B (2.193)
v=(1,0,1)B (2.194)
w=(2,1,1)B (2.195)

Sabendo que d=(0,1,2)C, forneça dB, i.e. as coordenadas do vetor d na base B.

Resposta 0.

[323]

E. 2.4.6.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

u=(0,1,1)B (2.196)
v=(1,0,1)B (2.197)
w=(2,1,1)B (2.198)

Sabendo que d=(1,2,1)B, forneça dC, i.e. as coordenadas do vetor d na base C.

Resposta 0.

[32212]

E. 2.4.7.

Considere dadas as bases A, B e C do espaço tridimensional V. Sejam, também, MAB a matriz de mudança de base de A para B e MCB a matriz de mudança de base de C para B. Determine a matriz de mudança de base de A para C em função das matrizes MAB e MCB.

Resposta 0.

MAC=MCB1MAB


Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Opcional. Preencha seu nome para que eu possa lhe contatar.
Opcional. Preencha seu e-mail para que eu possa lhe contatar.
As informações preenchidas são enviadas por e-mail para o desenvolvedor do site e tratadas de forma privada. Consulte a política de uso de dados para mais informações.

Licença Creative Commons
Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Vetores

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

2.4 Mudança de base

Em revisão

Sejam B=(u,v,w) e C=(r,s,t) bases do espaço V. Conhecendo as coordenadas de um vetor na base C, queremos determinar suas coordenadas na base B. Mais especificamente, seja

z =(z1,z2,z3)C (2.141)
=z1r+z2s+z3t. (2.142)

Agora, tendo r=(r1,r2,r3)B, s=(s1,s2,s3)B e t=(t1,t2,t3)B, então

(z1,z2,z3)C =z1(r1,r2,r3)B (2.143)
+z2(s1,s2,s3)B (2.144)
+z3(t1,t2,t3)B (2.145)
=(r1z1+s1z2+t1z3)z1u (2.146)
+(r2z1+s2z2+t2z3)z2v (2.147)
+(r3z1+s3z2+t3z3)z3w (2.148)

o que é equivalente a

[z1z2z3]=[r1s1t1r2s2t2r3s3t3]MCB[z1z2z3], (2.149)

onde z=(z1,z2,z3)B.

A matriz MCB é chamada de matriz de mudança de base de C para B. Como os vetores r, s e t são l.i., temos que a matriz de mudança de base MBC tem determinante não nulo e, portanto é invertível. Portanto, multiplicando por MBC1 pela esquerda em (2.149), temos

[z1z2z3]=[r1s1t1r2s2t2r3s3t3]1MBC[z1z2z3], (2.150)

ou seja

MBC=(MCB)1. (2.151)
Exemplo 2.4.1.

Sejam dadas as bases B=(a,b,c) e C=(u,v,w), com u=(1,2,0)B, v=(2,0,1)B e w=(1,3,1)B. Seja, ainda, o vetor z=(1,2,1)B. Vamos encontrar as coordenadas de z na base C.

Há duas formas de proceder.

Método 1.

A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação

(1,2,1)B=(x,y,z)C. (2.152)

Esta é equivalente a

a2b+c =xu+yv+zw (2.153)
=x(1,2,0)B (2.154)
+y(2,0,1)B (2.155)
+z(1,3,1)B (2.156)
=x(a+2b) (2.157)
+y(2ac) (2.158)
+z(a3b+c) (2.159)
=(x+2yz)a (2.160)
+(2x3z)b (2.161)
+(y+z)c (2.162)

Isto nos leva ao seguinte sistema linear

{x+2yz=12x3z=2y+z=1 (2.163)

Resolvendo este sistema, obtemos x=7/5, y=3/5 e z=8/5, i.e.

z=(75,35,85)C. (2.164)

Método 2.

Outra maneira de se obter as coordenadas de z na base C é usando a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base C para a base B é

MCB =[u1v1w1u2v2w2u3v3w3] (2.165)
=[121203011]. (2.166)

Entretanto, neste exemplo, queremos fazer a mudança de B para C. Portanto, calculamos a matriz de mudança de base MBC. Segue:

MBC=MCB1 (2.167)
MBC=[121203011]1 (2.168)
MBC=[351565251515251545] (2.169)

Com esta matriz e denotando z=(x,y,z)C, temos

[xyz]=[351565251515251545]MBC[121] (2.170)
[xyz]=[7/53/58/5] (2.171)

Logo, temos

z=(75,35,85)C. (2.172)

Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Sejam B e C bases dadas do espaço V. Sabendo que a matriz de mudança de base de B para C é

M=[101110231], (2.173)

calcule a matriz de mudança de base de C para B.

Solução 0.

Sejam MBC=M a matriz de mudança de base de B para C e MCB a matriz de mudança de base de C para B. Temos

MCB=MBC1 (2.174)
MCB=M1 (2.175)
MCB=[101110231]1 (2.176)
MCB=[161216161216561216] (2.177)
ER 2.4.2.

Fixadas as mesmas bases do ER 2.4.1, determine as coordenadas do vetor u na base C, sabendo que u=(2,1,3)B.

Solução 0.

Denotando u=(u1,u2,u3)B, temos

uC=MBCuB (2.178)
[u1u2u3]=[101110231][213] (2.179)
[u1u2u3]=[532] (2.180)
ER 2.4.3.

Considere dadas as bases A, B e C. Sejam, também, MAB a matriz de mudança de base de A para B e MBC a matriz de mudança de base de B para C. Determine a matriz de mudança de base de A para C em função das matrizes MAB e MBC.

Solução 0.

Para um vetor u qualquer, temos

uB=MABuA (2.181)
uC=MBCuB (2.182)

Logo, temos

uC =MBC(MABuA) (2.183)
=(MBCMAB)uA. (2.184)

Concluímos que MAC=MBCMAB.

Exercícios

E. 2.4.1.

Sejam A e B bases dadas de V (espaço tridimensional). Sabendo que v=(2,0,1)A e que a matriz de mudança de base

MAB=101021110, (2.185)

determine vB, i.e. as coordenadas de v na base B.

Resposta 0.

v=(3,1,2)B

E. 2.4.2.

Sejam A e B bases dadas de V (espaço tridimensional). Sabendo que v=(2,0,1)B e que a matriz de mudança de base

MAB=101021110, (2.186)

determine vA, i.e. as coordenadas de v na base A.

Resposta 0.

v=(0,1,2)A

E. 2.4.3.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

u=(0,1,1)B (2.187)
v=(1,0,1)B (2.188)
w=(2,1,1)B (2.189)

Forneça a matriz de mudança de base MCB.

Resposta 0.

[012101111]

E. 2.4.4.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

a=(0,1,1)C (2.190)
b=(1,0,1)C (2.191)
c=(2,1,1)C (2.192)

Forneça a matriz de mudança de base MCB.

Resposta 0.

[143414121212141414]

E. 2.4.5.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

u=(0,1,1)B (2.193)
v=(1,0,1)B (2.194)
w=(2,1,1)B (2.195)

Sabendo que d=(0,1,2)C, forneça dB, i.e. as coordenadas do vetor d na base B.

Resposta 0.

[323]

E. 2.4.6.

Sejam B=(a,b,c) e C=(u,v,w) bases de V com

u=(0,1,1)B (2.196)
v=(1,0,1)B (2.197)
w=(2,1,1)B (2.198)

Sabendo que d=(1,2,1)B, forneça dC, i.e. as coordenadas do vetor d na base C.

Resposta 0.

[32212]

E. 2.4.7.

Considere dadas as bases A, B e C do espaço tridimensional V. Sejam, também, MAB a matriz de mudança de base de A para B e MCB a matriz de mudança de base de C para B. Determine a matriz de mudança de base de A para C em função das matrizes MAB e MCB.

Resposta 0.

MAC=MCB1MAB


Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Opcional. Preencha seu nome para que eu possa lhe contatar.
Opcional. Preencha seu e-mail para que eu possa lhe contatar.
As informações preenchidas são enviadas por e-mail para o desenvolvedor do site e tratadas de forma privada. Consulte a política de uso de dados para mais informações.

Licença Creative Commons
Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Pedro H A Konzen
| | | |