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Pré-Cálculo

3 Funções 3.7 Operações com Funções 3.9 Funções exponenciais

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3.8 Propriedades de Funções

3.8.1 Funções Crescentes ou Decrescentes

Uma da função $f$ é dita ser crescente quando $f(x_{1})<f(x_{2})$ para todos $x_{1}<x_{2}$ no seu domínio. É dita não decrescente quando $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ para todos os $x_{1}<x_{2}$ no seu domínio. Analogamente, é dita decrescente quando $f(x_{1})>f(x_{2})$ para todos $x_{1}<x_{2}$ . E, por fim, é dita não crescente quando $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ para todos $x_{1}<x_{2}$ , sempre no seu domínio. Em todos estes casos, diz que $f$ é uma função monótona.

Exemplo 3.8.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

A função identidade $f(x)=x$ é crescente.
b)

A função valor absoluto $y=|x|$ não é monótona.
c)

A função $h(x)=-x^{3}$ é uma função decrescente.
d)

A seguinte função definida por partes

$f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x+1&,x\leq 0,\\ 2&,0<x\leq 1,\\ (x-1)^{2}+2&,x>1\end{array}\right.$ (3.144)

é não decrescente.

Também, definem-se os conceitos análogos de uma função ser crescente ou decrescente em um dado intervalo.

Exemplo 3.8.2.

A função $f(x)=x^{2}$ é uma função decrescente no intervalo $(-\infty,0]$ e crescente no intervalo $[0,\infty)$ .

3.8.2 Funções Pares ou Ímpares

Uma dada função $f$ é dita par quando $f(x)=f(-x)$ para todo $x$ no seu domínio. Ainda, é dita ímpar quando $f(x)=-f(-x)$ para todo $x$ no seu domínio.

Exemplo 3.8.3.

Vejamos os seguintes casos:

•

$f(x)=x^{2}$ é uma função par.
•

$f(x)=x^{3}$ é uma função ímpar.
•

$f(x)=\operatorname{sen}x$ é uma função ímpar.
•

$f(x)=\cos x$ é uma função par.
•

$f(x)=x+1$ não é par nem ímpar.

3.8.3 Funções Injetoras

Uma função $f$ é dita ser injetora quando $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ para todos $x_{1}\neq x_{2}$ no seu domínio.

Exemplo 3.8.4.

Estudemos os seguintes casos:

•

$f(x)=x^{2}$ não é uma função injetora.
•

$f(x)=x^{3}$ é uma função injetora.
•

$f(x)=x-1$ é uma função injetora.

Função injetoras são funções invertíveis. Mais precisamente, dada uma função injetora $y=f(x)$ , existe uma única função $g$ tal que

g(f(x))=x,

(3.145)

para todo $x$ no domínio da $f$ . Tal função $g$ é chamada de função inversa de $f$ é comumente denotada por $f^{-1}$ .³²³²endnote: ³²Atenção! Não confundamos com a função $(f(x))^{-1}=1/f(x)$ .

Exemplo 3.8.5.

Vamos calcular a função a função inversa de $f(x)=x^{3}+1$ . Para tando, escrevemos

y=x^{3}+1.

(3.146)

Então, isolando $x$ , temos

x=\sqrt[3]{y-1}.

(3.147)

Desta forma, concluímos que $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}$ . Verifique que $f^{-1}(f(x))=x$ para todo $x$ no domínio de $f$ !

Observação 3.8.1.

Os gráficos de uma dada função injetora $f$ e de sua inversa $f^{-1}$ são simétricos em relação a reta identidade $y=x$ . Use Python e SymPy para verificar esta afirmação plotando os gráficos de $f$ , $f^{-1}$ e da função identidade!

Exercícios Resolvidos

ER 3.8.1.

Defina os intervalos em que a função $f(x)=-|x+1|$ é crescente ou decrescente.

Solução.

A função $f$ é uma translação à esquerda, seguida de uma reflexão em torno do eixo das abscissas da função $f(x)=|x|$ . Veja a Figura 3.36.

Refer to caption — Figura 3.36: Esboço do gráfico de $f(x)=-|x+1|$ .

Do esboço do gráfico de $f$ , podemos inferir que $f$ é crescente no intervalo $(-\infty,-1]$ e decrescente no intervalo $[-1,\infty)$ .

ER 3.8.2.

Analise a paridade da função $tg(x)$ .

Solução.

Da paridade das funções seno e cosseno, temos

\operatorname{tg}(-x)=\frac{\operatorname{sen}(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-% \operatorname{sen}x}{\cos x}=-\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}=-% \operatorname{tg}x.

(3.148)

Logo, a tangente é uma função ímpar.

ER 3.8.3.

Calcule a função inversa de $f(x)=\sqrt{x+1}$ .

Solução.

Para obtermos a função inversa de uma função $f$ , resolvemos $y=f(x)$ para $x$ . Ou seja,

$\displaystyle y=f(x)$	$\displaystyle\Rightarrow y=\sqrt{x+1}$	(3.149)
	$\displaystyle\Rightarrow y^{2}=x+1$	(3.150)
	$\displaystyle\Rightarrow x=y^{2}-1.$	(3.151)

Logo, temos $f^{-1}(x)=x^{2}-1$ restrita ao conjunto imagem da $f$ , i.e. o domínio de $f^{-1}$ é $[0,\infty)$ .

Exercícios

E. 3.8.1.

Determine a monotonicidade das seguintes funções:

1.

$f(x)=1-x$
2.

$g(x)=x^{2}-2x+1$
3.

$h(x)=x^{5}-1$
4.

$f_{1}(x)=\sqrt{-x}$
5.

$f_{2}(x)=\operatorname{tg}(x)$

Resposta.

a) função decrescente; b) função não monótona; c) função crescente; d) função crescente; e) função não monótona

E. 3.8.2.

Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x+1)^{2}&,-\infty<x\leq 1,\\ -x+5&,1\leq x<\infty\end{array}\right.

(3.152)

Resposta.

decrescente: $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ; crescente: $[-1,1]$ .

E. 3.8.3.

Analise a paridade da função $\operatorname{cosec}x$ .

Resposta.

função ímpar

E. 3.8.4.

Seja $f(x)=2\sqrt{x-1}-1$ . Calcule $f^{-1}$ e determine seu domínio.

Resposta.

$f^{-1}(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ ; domínio $[-1,\infty)$

E. 3.8.5.

Mostre que toda função crescente (ou decrescente) é uma função injetora.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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3.8.1 Funções Crescentes ou Decrescentes

Exemplo 3.8.1.

Estudemos os seguintes casos:

a)

A função identidade $f(x)=x$ é crescente.
b)

A função valor absoluto $y=|x|$ não é monótona.
c)

A função $h(x)=-x^{3}$ é uma função decrescente.
d)

A seguinte função definida por partes

$f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x+1&,x\leq 0,\\ 2&,0<x\leq 1,\\ (x-1)^{2}+2&,x>1\end{array}\right.$ (3.144)

é não decrescente.

Também, definem-se os conceitos análogos de uma função ser crescente ou decrescente em um dado intervalo.

Exemplo 3.8.2.

A função $f(x)=x^{2}$ é uma função decrescente no intervalo $(-\infty,0]$ e crescente no intervalo $[0,\infty)$ .

3.8.2 Funções Pares ou Ímpares

Uma dada função $f$ é dita par quando $f(x)=f(-x)$ para todo $x$ no seu domínio. Ainda, é dita ímpar quando $f(x)=-f(-x)$ para todo $x$ no seu domínio.

Exemplo 3.8.3.

Vejamos os seguintes casos:

•

$f(x)=x^{2}$ é uma função par.
•

$f(x)=x^{3}$ é uma função ímpar.
•

$f(x)=\operatorname{sen}x$ é uma função ímpar.
•

$f(x)=\cos x$ é uma função par.
•

$f(x)=x+1$ não é par nem ímpar.

3.8.3 Funções Injetoras

Uma função $f$ é dita ser injetora quando $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ para todos $x_{1}\neq x_{2}$ no seu domínio.

Exemplo 3.8.4.

Estudemos os seguintes casos:

•

$f(x)=x^{2}$ não é uma função injetora.
•

$f(x)=x^{3}$ é uma função injetora.
•

$f(x)=x-1$ é uma função injetora.

Função injetoras são funções invertíveis. Mais precisamente, dada uma função injetora $y=f(x)$ , existe uma única função $g$ tal que

g(f(x))=x,

(3.145)

Exemplo 3.8.5.

Vamos calcular a função a função inversa de $f(x)=x^{3}+1$ . Para tando, escrevemos

y=x^{3}+1.

(3.146)

Então, isolando $x$ , temos

x=\sqrt[3]{y-1}.

(3.147)

Desta forma, concluímos que $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}$ . Verifique que $f^{-1}(f(x))=x$ para todo $x$ no domínio de $f$ !

Observação 3.8.1.

Exercícios Resolvidos

ER 3.8.1.

Defina os intervalos em que a função $f(x)=-|x+1|$ é crescente ou decrescente.

Solução.

A função $f$ é uma translação à esquerda, seguida de uma reflexão em torno do eixo das abscissas da função $f(x)=|x|$ . Veja a Figura 3.36.

Do esboço do gráfico de $f$ , podemos inferir que $f$ é crescente no intervalo $(-\infty,-1]$ e decrescente no intervalo $[-1,\infty)$ .

ER 3.8.2.

Analise a paridade da função $tg(x)$ .

Solução.

Da paridade das funções seno e cosseno, temos

\operatorname{tg}(-x)=\frac{\operatorname{sen}(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-% \operatorname{sen}x}{\cos x}=-\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}=-% \operatorname{tg}x.

(3.148)

Logo, a tangente é uma função ímpar.

ER 3.8.3.

Calcule a função inversa de $f(x)=\sqrt{x+1}$ .

Solução.

Para obtermos a função inversa de uma função $f$ , resolvemos $y=f(x)$ para $x$ . Ou seja,

$\displaystyle y=f(x)$	$\displaystyle\Rightarrow y=\sqrt{x+1}$	(3.149)
	$\displaystyle\Rightarrow y^{2}=x+1$	(3.150)
	$\displaystyle\Rightarrow x=y^{2}-1.$	(3.151)

Logo, temos $f^{-1}(x)=x^{2}-1$ restrita ao conjunto imagem da $f$ , i.e. o domínio de $f^{-1}$ é $[0,\infty)$ .

Exercícios

E. 3.8.1.

Determine a monotonicidade das seguintes funções:

1.

$f(x)=1-x$
2.

$g(x)=x^{2}-2x+1$
3.

$h(x)=x^{5}-1$
4.

$f_{1}(x)=\sqrt{-x}$
5.

$f_{2}(x)=\operatorname{tg}(x)$

Resposta.

a) função decrescente; b) função não monótona; c) função crescente; d) função crescente; e) função não monótona

E. 3.8.2.

Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x+1)^{2}&,-\infty<x\leq 1,\\ -x+5&,1\leq x<\infty\end{array}\right.

(3.152)

Resposta.

decrescente: $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ; crescente: $[-1,1]$ .

E. 3.8.3.

Analise a paridade da função $\operatorname{cosec}x$ .

Resposta.

função ímpar

E. 3.8.4.

Seja $f(x)=2\sqrt{x-1}-1$ . Calcule $f^{-1}$ e determine seu domínio.

Resposta.

$f^{-1}(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$ ; domínio $[-1,\infty)$

E. 3.8.5.

Mostre que toda função crescente (ou decrescente) é uma função injetora.

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Pedro H A Konzen

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