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Minicurso de C++ para Matemática

Minicurso de C++ para Matemática 2 Elementos da linguagem 4 Elementos da computação matricial

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3 Elementos da programação estruturada

C++ contém instruções de programação estruturada, em que as computações são organizadas em sequências de blocos computacionais e, um bloco inicia sua computação somente após o bloco anterior tiver terminado (sequência). Conta com estruturas de ramificação (seleção de blocos), repetição de blocos e definição de funções/métodos (subprogramas).

3.1 Métodos e funções

Um método (ou função) é um subprograma (ou sub-bloco computacional) que pode ser chamado/executado em qualquer parte do programa principal. Todo código C++ inicia-se na função main(). A sintaxe de definição de uma função é

⬇

1typeOut foo(typeIn0 x0, typeIn1 x1, ..., typeInN xN)

3 typeOut out;

4 statement0;

5 statement1;

6 ...;

7 statementN;

8 return out;

Aqui, typeOut denota o tipo da saída, foo denota o identificador/nome do método, typeIn0 x1, typeIn1 x2, …, typeInN xN são os tipos e identificadores dos parâmetros de entrada⁶⁶endnote: ⁶Parâmetros de entrada são opcionais. O escopo do método é delimitado entre chaves e pode conter qualquer instrução (statement) C++. O método é encerrado⁷⁷endnote: ⁷No encerramento do método o código retorna ao programa principal. quando terminado seu escopo ou ao encontrar a instrução return. Esta instrução,também, permite o retorno de um dado do mesmo tipo da saída do método.

Por exemplo, o seguinte código define a função

f(x)=2x-3,

(5)

computa e imprime os valores de f(1.0) e f(2.5).

Código 7: exFun.cpp

⬇

1#include <iostream>

3// define f

4double f(double x);

6int main()

8 std::cout << "f(1.0) = "

9 << f(1.0) << std::endl;

11 double y = 2.5;

12 std::cout << "f(2.5) = "

13 << f(y) << std::endl;

15 return 0;

16}

18// implementa f

19double f(double x)

20{

21 double y = 2.0*x - 3.0;

22 return y;

23}

Observação 3.1.1.(void)

Um função pode ser um método (subprograma) que não retorna valor. Neste caso, o tipo de saída é +void+.

Exercício 3.1.1.

Implemente uma função para computar as raízes de um polinômio de grau 1 $p(x)=ax+b$ . Assuma que $a\neq 0$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

3double raizP1(double a, double b);

5int main()

7 double a = 2.0;

8 double b = -1.0;

10 std::cout << a << "x"

11 << " + (" << b << ") = 0" << std::endl

12 << "x = " << raizP1(a, b) << std::endl;

14 return 0;

15}

17double raizP1(double a, double b)

18{

19 return -b / a;

20}

Exercício 3.1.2.

Implemente uma função para computar as raízes reais de um polinômio de grau 2 $p(x)=ax^{2}+bx+c$ . Assuma que $p$ tenha raízes reais.

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <cmath>

4void raizP2(double a, double b, double c,

5 double &x1, double &x2)

7 // discriminante

8 double d = b * b - 4 * a * c;

9 x1 = (-b + sqrt(d)) / (2 * a);

10 x2 = (-b - sqrt(d)) / (2 * a);

12}

14int main()

15{

16 double a = 2.0;

17 double b = -6.0;

18 double c = 4.0;

20 double x1, x2;

21 raizP2(a, b, c, x1, x2);

23 std::cout << "x1 = " << x1 << std::endl

24 << "x2 = " << x2 << std::endl;

26 return 0;

27}

Exercício 3.1.3.

(Recursividade) Implemente uma função recursiva para computar o fatorial de um número natural $n$ , i.e. $n!$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <eigen3/Eigen/Eigen>

4double fatorial(int n);

6int main()

8 std::cout << "Fatorial de 5: "

9 << fatorial(5) << std::endl;

11 return 0;

12}

14double fatorial(int n)

15{

16 // Fatorial de n

17 if (n == 0 || n == 1) return 1;

18 return n * fatorial(n - 1);

19}

3.2 Ramificação

Em revisão

Uma estrutura de ramificação é uma instrução para a tomada de decisões durante a execução de um programa. Nas linguagens C++ usa-se a sintaxe

⬇

1if (condition0) {

2 block0;

3} else if (condition1) {

4 block1;

5} else {

6 block2;

A instrução if permite a execução do bloco computacional block0 somente no caso de a condition0 seja true (verdadeira). A instrução else if somente é verificada quando condition0 == false. Neste caso, o block1 é executado somente se condition1 == true. Senão, block2 é executado.

Exemplo 3.2.1.

Os seguintes códigos computam os zeros da função

f(x)=ax+b,

(6)

para parâmetros informados por usuária(o).

a)

Caso restrito a raiz real única.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5 double a,b;

6 printf("a = ");

7 scanf("%lf", &a);

8 printf("b = ");

9 scanf("%lf", &b);

10

11 if (a != 0.) {

12 double x = -b/a;

13 printf("x = %lf\n", x);

14 }

15

16 return 0;

17}
b)

Caso de raiz real única ou múltiplas.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5 double a,b;

6 printf("a = ");

7 scanf("%lf", &a);

8 printf("b = ");

9 scanf("%lf", &b);

10

11 if (a != 0.) {

12 double x = -b/a;

13 printf("x = %lf\n", x);

14 } else if ((a == 0.) && (b == 0.)) {

15 printf("Todo x real é zero da função.\n");

16 }

17

18 return 0;

19}
c)

Caso de raiz real única, ou múltiplas ou nenhuma.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5 double a,b;

6 printf("a = ");

7 scanf("%lf", &a);

8 printf("b = ");

9 scanf("%lf", &b);

10

11 if (a != 0.) {

12 double x = -b/a;

13 printf("x = %lf\n", x);

14 }

15

16 return 0;

17}

Exercício 3.2.1.

Implemente um código que contenha uma função que recebe dois números $n$ e $m$ e imprime o maior deles.

Exercício 3.2.2.

Implemente um código que contenha uma função que recebe os coeficientes de um polinômio

p(x)=ax^{2}+bx+c

(7)

e classifique-o como um polinômio de grau 0, 1 ou 2.

Exercício 3.2.3.

Implemente um código que contenha uma função para a computação das raízes de um polinômio de segundo grau.

3.3 Repetição

Em revisão

Estruturas de repetição são instruções que permitem a execução repetida de um bloco computacional. São três instruções disponíveis while, do ... while e for.

3.3.1 while

A sintaxe da instrução while é

⬇

1while (condition) {

2 block

Isto é, enquanto (while) a expressão condition == true, o bloco computacional block é repetidamente executado. Ao final de cada execução, a condição é novamente verificada. Quando condition == false, block não é executado e o código segue para a primeira instrução após o escopo do while.

Exemplo 3.3.1.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(8)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

Código 8: while.cc

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 int i = 0;

7 double s = 0.;

8 while (i < 10) {

9 s = s + pow(0.5, double(i));

10 i += 1;

11 }

12 printf("s = %lf\n", s);

13 return 0;

14}

Observação 3.3.1.

As instruções de controle break, continue são bastante úteis em várias situações. A primeira, encerra as repetições e, a segunda, pula para uma nova repetição.

Exercício 3.3.1.

Use while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Exercício 3.3.2.

Crie uma função para a computação da soma de dois vetores $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{n}$ , com dado $n\geq 0$ .

Exercício 3.3.3.

Use a instrução while para escreva uma função que retorne o $n$ -ésimo termo da função de Fibonacci⁸⁸endnote: ⁸Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., $n\geq 1$ .

3.3.2 do ... while

Diferentemente da instrução while, a do ... while verifica a condição de repetição ao final do escopo do seu bloco computacional.

Exemplo 3.3.2.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(9)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

Código 9: doWhile.cc

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 int i = 0;

7 double s;

8 do {

9 s += pow(0.5, double(i));

10 i += 1;

11 } while (i < 10);

12 printf("s = %lf\n", s);

13 return 0;

14}

Exercício 3.3.4.

Uma aplicação do Método Babilônico⁹⁹endnote: ⁹Matemática Babilônica, matemática desenvolvida na Mesopotâmia, desde os Sumérios até a queda da Babilônia em 539 a.C.. Fonte: Wikipédia. para a aproximação da solução da equação $x^{2}-2=0$ , consiste na iteração

	$\displaystyle x_{0}=1,$		(10)
	$\displaystyle x_{i+1}=\frac{x_{i}}{2}+\frac{1}{x_{i}},\quad i=0,1,2,\ldots$		(11)

Faça um código com while para computar aproximação $x_{i}$ , tal que $|x_{i}-x_{i-1}|<10^{-5}$ .

3.3.3 for

A estrutura for tem a sintaxe

⬇

1for (init; condition; iter) {

2 block;

onde, init é a instrução de inicialização, condition é o critério de parada, iter é a instrução do iterador.

Exemplo 3.3.3.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(12)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 double s = 0;

7 for (int i=0; i<10; ++i) {

8 s += pow(2., double(-i));

9 }

10 printf("s = %lf\n", s);

11 return 0;

12}

Exercício 3.3.5.

Use a instrução for para escreva uma função que retorne o $n$ -ésimo termo da função de Fibonacci¹⁰¹⁰endnote: ¹⁰Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., $n\geq 1$ .

Exercício 3.3.6.

Implemente uma função para computar o produto escalar de dois vetores de $n$ elementos. Use a instrução de repetição for e assuma que os vetores estão alocados como um arranjo double.

Exercício 3.3.7.

Implemente uma função para computar a multiplicação de uma matriz $A$ $n\times n$ por um vetor coluna $x$ de $n$ elementos. Use a instrução for e assuma que o vetor e a matriz estejam alocadas como arranjos double.

Exercício 3.3.8.

Implemente uma função para computar a multiplicação de uma matriz $A$ $n\times m$ por uma matriz $B$ de $m\times n$ . Use a instrução for e assuma que as matrizes estão alocadas como arranjos double.

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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3 Elementos da programação estruturada

3.1 Métodos e funções

⬇

1typeOut foo(typeIn0 x0, typeIn1 x1, ..., typeInN xN)

3 typeOut out;

4 statement0;

5 statement1;

6 ...;

7 statementN;

8 return out;

Por exemplo, o seguinte código define a função

f(x)=2x-3,

(5)

computa e imprime os valores de f(1.0) e f(2.5).

Código 7: exFun.cpp

⬇

1#include <iostream>

3// define f

4double f(double x);

6int main()

8 std::cout << "f(1.0) = "

9 << f(1.0) << std::endl;

11 double y = 2.5;

12 std::cout << "f(2.5) = "

13 << f(y) << std::endl;

15 return 0;

16}

18// implementa f

19double f(double x)

20{

21 double y = 2.0*x - 3.0;

22 return y;

23}

Observação 3.1.1.(void)

Um função pode ser um método (subprograma) que não retorna valor. Neste caso, o tipo de saída é +void+.

Exercício 3.1.1.

Implemente uma função para computar as raízes de um polinômio de grau 1 $p(x)=ax+b$ . Assuma que $a\neq 0$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

3double raizP1(double a, double b);

5int main()

7 double a = 2.0;

8 double b = -1.0;

10 std::cout << a << "x"

11 << " + (" << b << ") = 0" << std::endl

12 << "x = " << raizP1(a, b) << std::endl;

14 return 0;

15}

17double raizP1(double a, double b)

18{

19 return -b / a;

20}

Exercício 3.1.2.

Implemente uma função para computar as raízes reais de um polinômio de grau 2 $p(x)=ax^{2}+bx+c$ . Assuma que $p$ tenha raízes reais.

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <cmath>

4void raizP2(double a, double b, double c,

5 double &x1, double &x2)

7 // discriminante

8 double d = b * b - 4 * a * c;

9 x1 = (-b + sqrt(d)) / (2 * a);

10 x2 = (-b - sqrt(d)) / (2 * a);

12}

14int main()

15{

16 double a = 2.0;

17 double b = -6.0;

18 double c = 4.0;

20 double x1, x2;

21 raizP2(a, b, c, x1, x2);

23 std::cout << "x1 = " << x1 << std::endl

24 << "x2 = " << x2 << std::endl;

26 return 0;

27}

Exercício 3.1.3.

(Recursividade) Implemente uma função recursiva para computar o fatorial de um número natural $n$ , i.e. $n!$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <eigen3/Eigen/Eigen>

4double fatorial(int n);

6int main()

8 std::cout << "Fatorial de 5: "

9 << fatorial(5) << std::endl;

11 return 0;

12}

14double fatorial(int n)

15{

16 // Fatorial de n

17 if (n == 0 || n == 1) return 1;

18 return n * fatorial(n - 1);

19}

3.2 Ramificação

Em revisão

Uma estrutura de ramificação é uma instrução para a tomada de decisões durante a execução de um programa. Nas linguagens C++ usa-se a sintaxe

⬇

1if (condition0) {

2 block0;

3} else if (condition1) {

4 block1;

5} else {

6 block2;

Exemplo 3.2.1.

Os seguintes códigos computam os zeros da função

f(x)=ax+b,

(6)

para parâmetros informados por usuária(o).

a)

Caso restrito a raiz real única.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5 double a,b;

6 printf("a = ");

7 scanf("%lf", &a);

8 printf("b = ");

9 scanf("%lf", &b);

10

11 if (a != 0.) {

12 double x = -b/a;

13 printf("x = %lf\n", x);

14 }

15

16 return 0;

17}
b)

Caso de raiz real única ou múltiplas.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5 double a,b;

6 printf("a = ");

7 scanf("%lf", &a);

8 printf("b = ");

9 scanf("%lf", &b);

10

11 if (a != 0.) {

12 double x = -b/a;

13 printf("x = %lf\n", x);

14 } else if ((a == 0.) && (b == 0.)) {

15 printf("Todo x real é zero da função.\n");

16 }

17

18 return 0;

19}
c)

Caso de raiz real única, ou múltiplas ou nenhuma.

⬇

1#include <stdio.h>

2

3int main()

4{

5 double a,b;

6 printf("a = ");

7 scanf("%lf", &a);

8 printf("b = ");

9 scanf("%lf", &b);

10

11 if (a != 0.) {

12 double x = -b/a;

13 printf("x = %lf\n", x);

14 }

15

16 return 0;

17}

Exercício 3.2.1.

Implemente um código que contenha uma função que recebe dois números $n$ e $m$ e imprime o maior deles.

Exercício 3.2.2.

Implemente um código que contenha uma função que recebe os coeficientes de um polinômio

p(x)=ax^{2}+bx+c

(7)

e classifique-o como um polinômio de grau 0, 1 ou 2.

Exercício 3.2.3.

Implemente um código que contenha uma função para a computação das raízes de um polinômio de segundo grau.

3.3 Repetição

Em revisão

Estruturas de repetição são instruções que permitem a execução repetida de um bloco computacional. São três instruções disponíveis while, do ... while e for.

3.3.1 while

A sintaxe da instrução while é

⬇

1while (condition) {

2 block

Exemplo 3.3.1.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(8)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

Código 8: while.cc

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 int i = 0;

7 double s = 0.;

8 while (i < 10) {

9 s = s + pow(0.5, double(i));

10 i += 1;

11 }

12 printf("s = %lf\n", s);

13 return 0;

14}

Observação 3.3.1.

As instruções de controle break, continue são bastante úteis em várias situações. A primeira, encerra as repetições e, a segunda, pula para uma nova repetição.

Exercício 3.3.1.

Use while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Exercício 3.3.2.

Crie uma função para a computação da soma de dois vetores $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{n}$ , com dado $n\geq 0$ .

Exercício 3.3.3.

3.3.2 do ... while

Diferentemente da instrução while, a do ... while verifica a condição de repetição ao final do escopo do seu bloco computacional.

Exemplo 3.3.2.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(9)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

Código 9: doWhile.cc

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 int i = 0;

7 double s;

8 do {

9 s += pow(0.5, double(i));

10 i += 1;

11 } while (i < 10);

12 printf("s = %lf\n", s);

13 return 0;

14}

Exercício 3.3.4.

	$\displaystyle x_{0}=1,$		(10)
	$\displaystyle x_{i+1}=\frac{x_{i}}{2}+\frac{1}{x_{i}},\quad i=0,1,2,\ldots$		(11)

Faça um código com while para computar aproximação $x_{i}$ , tal que $|x_{i}-x_{i-1}|<10^{-5}$ .

3.3.3 for

A estrutura for tem a sintaxe

⬇

1for (init; condition; iter) {

2 block;

onde, init é a instrução de inicialização, condition é o critério de parada, iter é a instrução do iterador.

Exemplo 3.3.3.

O seguinte código computa a soma dos $10$ primeiros termos da progressão geométrica

a_{i}=2^{-i},

(12)

para $i=0,1,2,\ldots$ .

⬇

1#include <stdio.h>

2#include <math.h>

4int main()

6 double s = 0;

7 for (int i=0; i<10; ++i) {

8 s += pow(2., double(-i));

9 }

10 printf("s = %lf\n", s);

11 return 0;

12}

Exercício 3.3.5.

Exercício 3.3.6.

Implemente uma função para computar o produto escalar de dois vetores de $n$ elementos. Use a instrução de repetição for e assuma que os vetores estão alocados como um arranjo double.

Exercício 3.3.7.

Exercício 3.3.8.

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Pedro H A Konzen

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