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Minicurso de C++ para Matemática

Minicurso de C++ para Matemática 2 Elementos da linguagem 4 Elementos da computação matricial

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3 Elementos da programação estruturada

C++ contém instruções de programação estruturada, em que as computações são organizadas em sequências de blocos computacionais e, um bloco inicia sua computação somente após o bloco anterior tiver terminado (sequência). Conta com estruturas de ramificação (seleção de blocos), repetição de blocos e definição de funções/métodos (subprogramas).

3.1 Métodos e funções

Um método (ou função) é um subprograma (ou sub-bloco computacional) que pode ser chamado/executado em qualquer parte do programa principal. Todo código C++ inicia-se na função main(). A sintaxe de definição de uma função é

⬇

1typeOut foo(typeIn0 x0, typeIn1 x1, ..., typeInN xN)

3 typeOut out;

4 statement0;

5 statement1;

6 ...;

7 statementN;

8 return out;

Aqui, typeOut denota o tipo da saída, foo denota o identificador/nome do método, typeIn0 x1, typeIn1 x2, …, typeInN xN são os tipos e identificadores dos parâmetros de entrada⁶⁶endnote: ⁶Parâmetros de entrada são opcionais. O escopo do método é delimitado entre chaves e pode conter qualquer instrução (statement) C++. O método é encerrado⁷⁷endnote: ⁷No encerramento do método o código retorna ao programa principal. quando terminado seu escopo ou ao encontrar a instrução return. Esta instrução,também, permite o retorno de um dado do mesmo tipo da saída do método.

Por exemplo, o seguinte código define a função

f(x)=2x-3,

(5)

computa e imprime os valores de f(1.0) e f(2.5).

Código 7: exFun.cpp

⬇

1#include <iostream>

3// define f

4double f(double x);

6int main()

8 std::cout << "f(1.0) = "

9 << f(1.0) << std::endl;

11 double y = 2.5;

12 std::cout << "f(2.5) = "

13 << f(y) << std::endl;

15 return 0;

16}

18// implementa f

19double f(double x)

20{

21 double y = 2.0*x - 3.0;

22 return y;

23}

Observação 3.1.1.(void)

Um função pode ser um método (subprograma) que não retorna valor. Neste caso, o tipo de saída é +void+.

Exercício 3.1.1.

Implemente uma função para computar as raízes de um polinômio de grau 1 $p(x)=ax+b$ . Assuma que $a\neq 0$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

3double raizP1(double a, double b);

5int main()

7 double a = 2.0;

8 double b = -1.0;

10 std::cout << a << "x"

11 << " + (" << b << ") = 0" << std::endl

12 << "x = " << raizP1(a, b) << std::endl;

14 return 0;

15}

17double raizP1(double a, double b)

18{

19 return -b / a;

20}

Exercício 3.1.2.

Implemente uma função para computar as raízes reais de um polinômio de grau 2 $p(x)=ax^{2}+bx+c$ . Assuma que $p$ tenha raízes reais.

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <cmath>

4void raizP2(double a, double b, double c,

5 double &x1, double &x2)

7 // discriminante

8 double d = b * b - 4 * a * c;

9 x1 = (-b + sqrt(d)) / (2 * a);

10 x2 = (-b - sqrt(d)) / (2 * a);

12}

14int main()

15{

16 double a = 2.0;

17 double b = -6.0;

18 double c = 4.0;

20 double x1, x2;

21 raizP2(a, b, c, x1, x2);

23 std::cout << "x1 = " << x1 << std::endl

24 << "x2 = " << x2 << std::endl;

26 return 0;

27}

Exercício 3.1.3.

(Recursividade) Implemente uma função recursiva para computar o fatorial de um número natural $n$ , i.e. $n!$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <eigen3/Eigen/Eigen>

4double fatorial(int n);

6int main()

8 std::cout << "Fatorial de 5: "

9 << fatorial(5) << std::endl;

11 return 0;

12}

14double fatorial(int n)

15{

16 // Fatorial de n

17 if (n == 0 || n == 1) return 1;

18 return n * fatorial(n - 1);

19}

3.2 Ramificação

Uma estrutura de ramificação é uma instrução para a tomada de decisões durante a execução de um programa. Na linguagem C++, usa-se a sintaxe

⬇

1if (condition0) {

2 block0;

3} else if (condition1) {

4 block1;

5} else {

6 block2;

A instrução if permite a execução do bloco computacional block0 somente no caso de a condition0 seja true (verdadeira). A instrução else if somente é verificada quando condition0 == false. Neste caso, o block1 é executado somente se condition1 == true. Senão, block2 é executado.

Por exemplo, o seguinte código computa os zeros da função

f(x)=ax+b,

(6)

para parâmetros informados por usuária(o). Verifique!

Código 8: ZeroP1.cpp

⬇

1#include <iostream>

3int main() {

5 double a,b;

6 std::cout << "Valor de a: ";

7 std::cin >> a;

8 std::cout << "Valor de b: ";

9 std::cin >> b;

11 if (a != 0.0) {

12 double raiz = -b/a;

13 std::cout << "Raíz: "

14 << raiz << std::endl;

15 } else if (b == 0.0) {

16 std::cout << "Todo x real é raíz."

17 << std::endl;

18 } else {

19 std::cout << "Não há raíz."

20 << std::endl;

21 }

23 return 0;

24}

Exercício 3.2.1.

Implemente um código que contenha uma função que recebe dois números $n$ e $m$ e imprime o maior deles.

Resposta 0.

⬇

1double max(double m, double n) {

2 double maior = m;

3 if (maior < n)

4 maior = n;

5 return maior;

Exercício 3.2.2.

Implemente um código que contenha um método que recebe os coeficientes de um polinômio

p(x)=ax^{2}+bx+c

(7)

e imprime se $p$ têm ou não raízes reais.

Resposta 0.

⬇

1bool TemRaizesReais(double a, double b, double c) {

2 bool resp;

4 if (b*b - 4*a*c >= 0) {

5 std::cout << "Raízes reais."

6 << std::endl;

7 resp = true;

8 } else {

9 std::cout << "Não tem raízes reais."

10 << std::endl;

11 resp = false;

12 }

14 return resp;

15}

Exercício 3.2.3.

Implemente um código que contenha um método para a computação das raízes de um polinômio de segundo grau.

Resposta 0.

⬇

1int RaizesP2(double a, double b, double c,

2 double &x1, double &x2) {

3 // raízes reais flag == 0

4 // raízes complexas flag == 1

5 int flag = 0;

7 double disc = b*b - 4*a*c;

9 if (disc == 0.) {

10 x1 = (-b - sqrt(disc)) / (2*a);

11 x2 = (-b + sqrt(disc)) / (2*a);

12 } else if (disc == 0.0)

13 x1 = x2 = -b / (2*a);

14 else {

15 x1 = -b / (2*a);

16 x2 = sqrt(-disc) / (2*a);

17 flag = 1;

18 }

20 return flag;

21}

3.3 Repetição

Estruturas de repetição são instruções que permitem a execução repetida de um bloco computacional. São três instruções disponíveis while, do ... while e for.

3.3.1 while

A sintaxe da instrução while é

⬇

1while (condition) {

2 block

Isto é, enquanto (while) a expressão condition == true, o bloco computacional block é repetidamente executado. Ao final de cada execução, a condição é novamente verificada. Quando condition == false, block não é executado e o código segue para a primeira instrução após o escopo do while.

Como aplicação, o seguinte código computa o fatorial de um número n.

Código 9: While.cpp

⬇

1int fatorial(int n) {

2 int i = 0;

3 int fat = 1;

5 while (i+1 <= n) {

6 fat *= i+1;

7 i += 1;

8 }

10 return fat;

11}

Observação 3.3.1.

As instruções de controle break, continue são bastante úteis em várias situações. A primeira, encerra as repetições e, a segunda, pula para uma nova repetição.

Exercício 3.3.1.

Use while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.

⬇

1int n = 1;

2int i = 1;

3while (i <= 10) {

4 std::cout << n

5 << std::endl;

6 n += 2;

7 i += 1;

Exercício 3.3.2.

Use a instrução while para criar um método que retorne o $n$ -ésimo termo da função de Fibonacci⁸⁸endnote: ⁸Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., $n\geq 1$ .

Resposta 0.

⬇

1int fibonacci(int n) {

2 if ((n == 1) or (n == 2))

3 return 1;

4 else {

5 int i = 2;

6 int f0 = 1;

7 int f1 = 1;

8 int fa;

9 while (i+1 <= n) {

10 fa = f0 + f1;

11 f0 = f1;

12 f1 = fa;

13 i += 1;

14 }

15 return fa;

16 }

17}

3.3.2 do ... while

Diferentemente da instrução while, a do ... while verifica a condição de repetição ao final do escopo do seu bloco computacional.

Como aplicação, o seguinte método usa desta instrução para computar o fatorial de um número natual $n$ . Compare com o Código 9.

Código 10: DoWhile.cpp

⬇

1int fatorial(int n) {

2 int i = 0;

3 int fat = 1;

5 do {

6 fat *= i+1;

7 i += 1;

8 } while (i < n);

10 return fat;

11}

Exercício 3.3.3.

Use do..while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.

⬇

1int n = 1;

2int i = 1;

3do {

4 std::cout << n

5 << std::endl;

6 n += 2;

7 i += 1;

8} while (i-1 < 10);

Exercício 3.3.4.

Use a instrução while para criar um método que retorne o $n$ -ésimo termo da função de Fibonacci⁹⁹endnote: ⁹Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., $n\geq 1$ .

Resposta 0.

⬇

1int fibonacci(int n) {

2 if ((n == 1) or (n == 2))

3 return 1;

4 else {

5 int i = 2;

6 int f0 = 1;

7 int f1 = 1;

8 int fa;

9 do {

10 fa = f0 + f1;

11 f0 = f1;

12 f1 = fa;

13 i += 1;

14 } while (i < n);

15 return fa;

16 }

17}

3.3.3 for

A estrutura for tem a sintaxe

⬇

1for (init; condition; iter) {

2 block;

onde, init é a instrução de inicialização, condition é o critério de parada, iter é a instrução do iterador.

Como aplicação, o seguinte método usa desta instrução para computar o fatorial de um número natual $n$ . Compare com as versões anteriores Códigos 9 e 10.

Código 11: For.cpp

⬇

1int fatorial(int n) {

2 int fat = 1;

4 for (int i=1; i<=n; i++)

5 fat *= i;

7 return fat;

Exercício 3.3.5.

Use for para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.

⬇

1int n = 1;

2for (int i=0; i<10; i++) {

3 std::cout << n << std::endl;

4 n += 2;

Exercício 3.3.6.

Use a instrução for para criar um método que retorne o $n$ -ésimo termo da função de Fibonacci¹⁰¹⁰endnote: ¹⁰Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci., $n\geq 1$ .

Resposta 0.

⬇

1int fibonacci(int n) {

3 if ((n == 1) or (n == 2))

4 return 1;

5 else {

6 int f0 = 1;

7 int f1 = 1;

8 int fa;

9 for (int i=2; i<n; ++i) {

10 fa = f0 + f1;

11 f0 = f1;

12 f1 = fa;

13 }

14 return fa;

15 }

16}

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Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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3 Elementos da programação estruturada

3.1 Métodos e funções

⬇

1typeOut foo(typeIn0 x0, typeIn1 x1, ..., typeInN xN)

3 typeOut out;

4 statement0;

5 statement1;

6 ...;

7 statementN;

8 return out;

Por exemplo, o seguinte código define a função

f(x)=2x-3,

(5)

computa e imprime os valores de f(1.0) e f(2.5).

Código 7: exFun.cpp

⬇

1#include <iostream>

3// define f

4double f(double x);

6int main()

8 std::cout << "f(1.0) = "

9 << f(1.0) << std::endl;

11 double y = 2.5;

12 std::cout << "f(2.5) = "

13 << f(y) << std::endl;

15 return 0;

16}

18// implementa f

19double f(double x)

20{

21 double y = 2.0*x - 3.0;

22 return y;

23}

Observação 3.1.1.(void)

Um função pode ser um método (subprograma) que não retorna valor. Neste caso, o tipo de saída é +void+.

Exercício 3.1.1.

Implemente uma função para computar as raízes de um polinômio de grau 1 $p(x)=ax+b$ . Assuma que $a\neq 0$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

3double raizP1(double a, double b);

5int main()

7 double a = 2.0;

8 double b = -1.0;

10 std::cout << a << "x"

11 << " + (" << b << ") = 0" << std::endl

12 << "x = " << raizP1(a, b) << std::endl;

14 return 0;

15}

17double raizP1(double a, double b)

18{

19 return -b / a;

20}

Exercício 3.1.2.

Implemente uma função para computar as raízes reais de um polinômio de grau 2 $p(x)=ax^{2}+bx+c$ . Assuma que $p$ tenha raízes reais.

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <cmath>

4void raizP2(double a, double b, double c,

5 double &x1, double &x2)

7 // discriminante

8 double d = b * b - 4 * a * c;

9 x1 = (-b + sqrt(d)) / (2 * a);

10 x2 = (-b - sqrt(d)) / (2 * a);

12}

14int main()

15{

16 double a = 2.0;

17 double b = -6.0;

18 double c = 4.0;

20 double x1, x2;

21 raizP2(a, b, c, x1, x2);

23 std::cout << "x1 = " << x1 << std::endl

24 << "x2 = " << x2 << std::endl;

26 return 0;

27}

Exercício 3.1.3.

(Recursividade) Implemente uma função recursiva para computar o fatorial de um número natural $n$ , i.e. $n!$ .

Resposta 0.

⬇

1#include <iostream>

2#include <eigen3/Eigen/Eigen>

4double fatorial(int n);

6int main()

8 std::cout << "Fatorial de 5: "

9 << fatorial(5) << std::endl;

11 return 0;

12}

14double fatorial(int n)

15{

16 // Fatorial de n

17 if (n == 0 || n == 1) return 1;

18 return n * fatorial(n - 1);

19}

3.2 Ramificação

Uma estrutura de ramificação é uma instrução para a tomada de decisões durante a execução de um programa. Na linguagem C++, usa-se a sintaxe

⬇

1if (condition0) {

2 block0;

3} else if (condition1) {

4 block1;

5} else {

6 block2;

Por exemplo, o seguinte código computa os zeros da função

f(x)=ax+b,

(6)

para parâmetros informados por usuária(o). Verifique!

Código 8: ZeroP1.cpp

⬇

1#include <iostream>

3int main() {

5 double a,b;

6 std::cout << "Valor de a: ";

7 std::cin >> a;

8 std::cout << "Valor de b: ";

9 std::cin >> b;

11 if (a != 0.0) {

12 double raiz = -b/a;

13 std::cout << "Raíz: "

14 << raiz << std::endl;

15 } else if (b == 0.0) {

16 std::cout << "Todo x real é raíz."

17 << std::endl;

18 } else {

19 std::cout << "Não há raíz."

20 << std::endl;

21 }

23 return 0;

24}

Exercício 3.2.1.

Implemente um código que contenha uma função que recebe dois números $n$ e $m$ e imprime o maior deles.

Resposta 0.

⬇

1double max(double m, double n) {

2 double maior = m;

3 if (maior < n)

4 maior = n;

5 return maior;

Exercício 3.2.2.

Implemente um código que contenha um método que recebe os coeficientes de um polinômio

p(x)=ax^{2}+bx+c

(7)

e imprime se $p$ têm ou não raízes reais.

Resposta 0.

⬇

1bool TemRaizesReais(double a, double b, double c) {

2 bool resp;

4 if (b*b - 4*a*c >= 0) {

5 std::cout << "Raízes reais."

6 << std::endl;

7 resp = true;

8 } else {

9 std::cout << "Não tem raízes reais."

10 << std::endl;

11 resp = false;

12 }

14 return resp;

15}

Exercício 3.2.3.

Implemente um código que contenha um método para a computação das raízes de um polinômio de segundo grau.

Resposta 0.

⬇

1int RaizesP2(double a, double b, double c,

2 double &x1, double &x2) {

3 // raízes reais flag == 0

4 // raízes complexas flag == 1

5 int flag = 0;

7 double disc = b*b - 4*a*c;

9 if (disc == 0.) {

10 x1 = (-b - sqrt(disc)) / (2*a);

11 x2 = (-b + sqrt(disc)) / (2*a);

12 } else if (disc == 0.0)

13 x1 = x2 = -b / (2*a);

14 else {

15 x1 = -b / (2*a);

16 x2 = sqrt(-disc) / (2*a);

17 flag = 1;

18 }

20 return flag;

21}

3.3 Repetição

Estruturas de repetição são instruções que permitem a execução repetida de um bloco computacional. São três instruções disponíveis while, do ... while e for.

3.3.1 while

A sintaxe da instrução while é

⬇

1while (condition) {

2 block

Como aplicação, o seguinte código computa o fatorial de um número n.

Código 9: While.cpp

⬇

1int fatorial(int n) {

2 int i = 0;

3 int fat = 1;

5 while (i+1 <= n) {

6 fat *= i+1;

7 i += 1;

8 }

10 return fat;

11}

Observação 3.3.1.

As instruções de controle break, continue são bastante úteis em várias situações. A primeira, encerra as repetições e, a segunda, pula para uma nova repetição.

Exercício 3.3.1.

Use while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.

⬇

1int n = 1;

2int i = 1;

3while (i <= 10) {

4 std::cout << n

5 << std::endl;

6 n += 2;

7 i += 1;

Exercício 3.3.2.

Resposta 0.

⬇

1int fibonacci(int n) {

2 if ((n == 1) or (n == 2))

3 return 1;

4 else {

5 int i = 2;

6 int f0 = 1;

7 int f1 = 1;

8 int fa;

9 while (i+1 <= n) {

10 fa = f0 + f1;

11 f0 = f1;

12 f1 = fa;

13 i += 1;

14 }

15 return fa;

16 }

17}

3.3.2 do ... while

Diferentemente da instrução while, a do ... while verifica a condição de repetição ao final do escopo do seu bloco computacional.

Como aplicação, o seguinte método usa desta instrução para computar o fatorial de um número natual $n$ . Compare com o Código 9.

Código 10: DoWhile.cpp

⬇

1int fatorial(int n) {

2 int i = 0;

3 int fat = 1;

5 do {

6 fat *= i+1;

7 i += 1;

8 } while (i < n);

10 return fat;

11}

Exercício 3.3.3.

Use do..while para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.

⬇

1int n = 1;

2int i = 1;

3do {

4 std::cout << n

5 << std::endl;

6 n += 2;

7 i += 1;

8} while (i-1 < 10);

Exercício 3.3.4.

Resposta 0.

⬇

1int fibonacci(int n) {

2 if ((n == 1) or (n == 2))

3 return 1;

4 else {

5 int i = 2;

6 int f0 = 1;

7 int f1 = 1;

8 int fa;

9 do {

10 fa = f0 + f1;

11 f0 = f1;

12 f1 = fa;

13 i += 1;

14 } while (i < n);

15 return fa;

16 }

17}

3.3.3 for

A estrutura for tem a sintaxe

⬇

1for (init; condition; iter) {

2 block;

onde, init é a instrução de inicialização, condition é o critério de parada, iter é a instrução do iterador.

Como aplicação, o seguinte método usa desta instrução para computar o fatorial de um número natual $n$ . Compare com as versões anteriores Códigos 9 e 10.

Código 11: For.cpp

⬇

1int fatorial(int n) {

2 int fat = 1;

4 for (int i=1; i<=n; i++)

5 fat *= i;

7 return fat;

Exercício 3.3.5.

Use for para imprimir os dez primeiros números ímpares.

Resposta 0.

⬇

1int n = 1;

2for (int i=0; i<10; i++) {

3 std::cout << n << std::endl;

4 n += 2;

Exercício 3.3.6.

Resposta 0.

⬇

1int fibonacci(int n) {

3 if ((n == 1) or (n == 2))

4 return 1;

5 else {

6 int f0 = 1;

7 int f1 = 1;

8 int fa;

9 for (int i=2; i<n; ++i) {

10 fa = f0 + f1;

11 f0 = f1;

12 f1 = fa;

13 }

14 return fa;

15 }

16}

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Pedro H A Konzen

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