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5.1 Método de Diferenças Finitas
Consideramos o seguinte problema linear de valor de contorno (PVC)
(5.2a)
(5.2b)
(5.2c)
onde a incógnita é com dada fonte e dados parâmetros e .
A aproximação pelo Método de Diferenças Finitas (MDF) de (5.2a)-(5.2c) surge da substituição das derivadas por Fórmulas de Diferenças Finitas. De forma geral, o método pode ser dividido em três etapas: 1. discretização do domínio, 2. discretização das equações, 3. resolução do problema discreto.
1. Discretização do Domínio.
A discretização do domínio é seu particionamento em subintervalos (células computacionais) e pontos (nodos computacionais). Por simplicidade, vamos considerar apenas o caso de um particionamento uniforme. Particionamos o domínio em de subintervalos de tamanho de malha
(5.3)
e os nodos da partição podem ser indexados da seguinte forma
Por fim, as equações (5.9)-(5.11) formam o seguinte problema discretizado
(5.12a)
(5.12b)
(5.12c)
para .
3. Resolução do Problema Discreto.
O problema discreto (5.1) consiste em um sistema linear de equações com incógnitas. Na forma matricial temos
(5.13)
onde é o vetor das incógnitas, . A matriz dos coeficientes é e seus elementos não nulos são
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
para .
A resolução do problema discreto se resume, a resolver o sistema , o que pode ser feito por qualquer método numérico apropriado.
Exemplo 5.1.1.
Consideramos o seguinte PVC
(5.18)
(5.19)
(5.20)
A solução analítica deste problema é . Usando o MDF como acima, encontramos o problema discreto
(5.21a)
(5.21b)
(5.21c)
com tamanho de malha e nodos indexados por .
Tabela 5.1: Resultados referentes ao Exemplo 5.1.1.
Resolvendo este sistema com obtemos a solução numérica apresentada na Figura 5.1. Ainda, na Tabela 5.1 temos a comparação na norma da solução numérica com a solução analítica para diferentes escolhas de .
5.1.1 Exercícios
E. 5.1.1.
Considere o PVC
(5.22)
(5.23)
(5.24)
A solução analítica deste problema é . Use o MDF para computar aproximações numéricas com tamanhos de malha e verifique o erro absoluto .
Resposta.
E. 5.1.2.
Considere o PVC
(5.25)
(5.26)
(5.27)
A solução analítica deste problema é . Use o MDF com subintervalos na malha e verifique o erro absoluto . Por que o erro está próximo precisão de máquina? Justifique sua resposta.
Resposta.
.
E. 5.1.3.
Considere o seguinte PVC
(5.28a)
(5.28b)
(5.28c)
onde
(5.29)
Use uma aproximação adequada pelo método de diferenças finitas para obter o valor aproximado de com precisão de dígitos significativos.
Resposta.
E. 5.1.4.
Considere o PVC
(5.30)
(5.31)
(5.32)
A solução analítica deste problema é . Aplique o MDF para computar aproximações numéricas usando a:
a)
fórmula de diferenças finitas no contorno .
b)
fórmula de diferenças finitas no contorno .
Quais das duas produz o resultado mais preciso? Justifique sua resposta.
Resposta.
b) resultado mais preciso.
Envie seu comentário
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
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5.1 Método de Diferenças Finitas
Consideramos o seguinte problema linear de valor de contorno (PVC)
(5.2a)
(5.2b)
(5.2c)
onde a incógnita é com dada fonte e dados parâmetros e .
A aproximação pelo Método de Diferenças Finitas (MDF) de (5.2a)-(5.2c) surge da substituição das derivadas por Fórmulas de Diferenças Finitas. De forma geral, o método pode ser dividido em três etapas: 1. discretização do domínio, 2. discretização das equações, 3. resolução do problema discreto.
1. Discretização do Domínio.
A discretização do domínio é seu particionamento em subintervalos (células computacionais) e pontos (nodos computacionais). Por simplicidade, vamos considerar apenas o caso de um particionamento uniforme. Particionamos o domínio em de subintervalos de tamanho de malha
(5.3)
e os nodos da partição podem ser indexados da seguinte forma
Por fim, as equações (5.9)-(5.11) formam o seguinte problema discretizado
(5.12a)
(5.12b)
(5.12c)
para .
3. Resolução do Problema Discreto.
O problema discreto (5.1) consiste em um sistema linear de equações com incógnitas. Na forma matricial temos
(5.13)
onde é o vetor das incógnitas, . A matriz dos coeficientes é e seus elementos não nulos são
(5.14)
(5.15)
(5.16)
(5.17)
para .
A resolução do problema discreto se resume, a resolver o sistema , o que pode ser feito por qualquer método numérico apropriado.
Exemplo 5.1.1.
Consideramos o seguinte PVC
(5.18)
(5.19)
(5.20)
A solução analítica deste problema é . Usando o MDF como acima, encontramos o problema discreto
(5.21a)
(5.21b)
(5.21c)
com tamanho de malha e nodos indexados por .
Tabela 5.1: Resultados referentes ao Exemplo 5.1.1.
Resolvendo este sistema com obtemos a solução numérica apresentada na Figura 5.1. Ainda, na Tabela 5.1 temos a comparação na norma da solução numérica com a solução analítica para diferentes escolhas de .
5.1.1 Exercícios
E. 5.1.1.
Considere o PVC
(5.22)
(5.23)
(5.24)
A solução analítica deste problema é . Use o MDF para computar aproximações numéricas com tamanhos de malha e verifique o erro absoluto .
Resposta.
E. 5.1.2.
Considere o PVC
(5.25)
(5.26)
(5.27)
A solução analítica deste problema é . Use o MDF com subintervalos na malha e verifique o erro absoluto . Por que o erro está próximo precisão de máquina? Justifique sua resposta.
Resposta.
.
E. 5.1.3.
Considere o seguinte PVC
(5.28a)
(5.28b)
(5.28c)
onde
(5.29)
Use uma aproximação adequada pelo método de diferenças finitas para obter o valor aproximado de com precisão de dígitos significativos.
Resposta.
E. 5.1.4.
Considere o PVC
(5.30)
(5.31)
(5.32)
A solução analítica deste problema é . Aplique o MDF para computar aproximações numéricas usando a:
a)
fórmula de diferenças finitas no contorno .
b)
fórmula de diferenças finitas no contorno .
Quais das duas produz o resultado mais preciso? Justifique sua resposta.
Resposta.
b) resultado mais preciso.
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