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Matemática Numérica II

3 Integração 3.2 Regras Compostas de Newton-Cotes 3.4 Grau de Exatidão

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3.3 Quadratura de Romberg

Em revisão

A quadratura de Romberg é construída por sucessivas extrapolações de Richardson da regra do trapézio composta. Sejam $h_{k}=(b-a)/(2k)$ , $x_{i}=a+(i-1)h_{k}$ e

R_{k,1}:=\frac{h_{k}}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=2}^{2k}f(x_{i})+f(b)\right]

(3.47)

a regra do trapézio composta com $2k$ subintervalos de

I:=\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(3.48)

Por sorte, o erro de truncamento de aproximar $I$ por $R_{k,1}$ tem a seguinte forma

I-R_{k,1}=\sum_{i=1}^{\infty}k_{i}h_{k}^{2i},

(3.49)

o que nos permite aplicar a extrapolação de Richardson para obter aproximações de mais alta ordem.

Mais precisamente, para obtermos uma aproximação de $I$ com erro de truncamento da ordem $h^{2n}$ , $h=(b-a)$ , computamos $R_{k,1}$ para $k=1,2,\dotsc,n$ . Então, usamos das sucessivas extrapolações de Richardson

R_{k,j}:=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^{j-1}-1},

(3.50)

$j=2,3,\dotsc,n$ , de forma a computarmos $R_{n,n}$ , a qual fornece a aproximação desejada.

Exemplo 3.3.1.

Consideremos o problema de aproximar a integral de $f(x)=xe^{-x^{2}}$ no intervalo $[0,1]$ . Para obtermos uma quadratura de Romberg de ordem $4$ , calculamos

	$\displaystyle R_{1,1}$	$\displaystyle:=\frac{1}{2}[f(0)+f(1)]=1,83940\mathrm{e}\!-\!1$		(3.51)
	$\displaystyle R_{2,1}$	$\displaystyle:=\frac{1}{4}[f(0)+2f(1/2)+f(1)]=2,86670\mathrm{e}\!-\!1.$		(3.52)

Então, calculando

R_{2,2}=R_{2,1}+\frac{R_{2,1}-R_{1,1}}{3}=3,20914\mathrm{e}\!-\!1,

(3.53)

a qual é a aproximação desejada.

Tabela 3.4: Resultados referentes ao Exemplo 3.3.1.

k	$R_{k,1}$	$R_{k,2}$	$R_{k,3}$	$R_{k,4}$
1	$1,83940\mathrm{e}\!-\!1$
2	$2,86670\mathrm{e}\!-\!1$	$3,20914\mathrm{e}\!-\!1$
3	$3,08883\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16287\mathrm{e}\!-\!1$	$3,15978\mathrm{e}\!-\!1$
4	$3,14276\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16074\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16059\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16061\mathrm{e}\!-\!1$

Na Tabela 3.4, temos os valores de aproximações computadas pela quadratura de Romberg até ordem $8$ .

Exercícios

Em revisão

E. 3.3.1.

Aproxime

\int_{-1}^{0}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.54)

usando a quadratura de Romberg de ordem 4.

Resposta.

$2,68953\mathrm{e}\!-\!1$

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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R_{k,1}:=\frac{h_{k}}{2}\left[f(a)+2\sum_{i=2}^{2k}f(x_{i})+f(b)\right]

(3.47)

a regra do trapézio composta com $2k$ subintervalos de

I:=\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(3.48)

Por sorte, o erro de truncamento de aproximar $I$ por $R_{k,1}$ tem a seguinte forma

I-R_{k,1}=\sum_{i=1}^{\infty}k_{i}h_{k}^{2i},

(3.49)

o que nos permite aplicar a extrapolação de Richardson para obter aproximações de mais alta ordem.

R_{k,j}:=R_{k,j-1}+\frac{R_{k,j-1}-R_{k-1,j-1}}{4^{j-1}-1},

(3.50)

$j=2,3,\dotsc,n$ , de forma a computarmos $R_{n,n}$ , a qual fornece a aproximação desejada.

Exemplo 3.3.1.

Consideremos o problema de aproximar a integral de $f(x)=xe^{-x^{2}}$ no intervalo $[0,1]$ . Para obtermos uma quadratura de Romberg de ordem $4$ , calculamos

	$\displaystyle R_{1,1}$	$\displaystyle:=\frac{1}{2}[f(0)+f(1)]=1,83940\mathrm{e}\!-\!1$		(3.51)
	$\displaystyle R_{2,1}$	$\displaystyle:=\frac{1}{4}[f(0)+2f(1/2)+f(1)]=2,86670\mathrm{e}\!-\!1.$		(3.52)

Então, calculando

R_{2,2}=R_{2,1}+\frac{R_{2,1}-R_{1,1}}{3}=3,20914\mathrm{e}\!-\!1,

(3.53)

a qual é a aproximação desejada.

Tabela 3.4: Resultados referentes ao Exemplo 3.3.1.

k	$R_{k,1}$	$R_{k,2}$	$R_{k,3}$	$R_{k,4}$
1	$1,83940\mathrm{e}\!-\!1$
2	$2,86670\mathrm{e}\!-\!1$	$3,20914\mathrm{e}\!-\!1$
3	$3,08883\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16287\mathrm{e}\!-\!1$	$3,15978\mathrm{e}\!-\!1$
4	$3,14276\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16074\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16059\mathrm{e}\!-\!1$	$3,16061\mathrm{e}\!-\!1$

Na Tabela 3.4, temos os valores de aproximações computadas pela quadratura de Romberg até ordem $8$ .

Exercícios

Em revisão

E. 3.3.1.

Aproxime

\int_{-1}^{0}\frac{\operatorname{sen}(x+2)-e^{-x^{2}}}{x^{2}+\ln(x+2)}\,dx

(3.54)

usando a quadratura de Romberg de ordem 4.

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Pedro H A Konzen

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