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Matemática Numérica I

2 Equação com Uma Incógnita 2.1 Método da Bisseção 2.3 Iteração de Ponto Fixo

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2.2 Método da Falsa Posição

O método da falsa posição é uma variação do método da bisseção. Dada uma função $f$ contínua, escolhemos um intervalo inicial $(a,b)$ tal que $f(a)\cdot f(b)<0$ (i.e. $f$ tem sinais trocados nos pontos $a$ e $b$ ). Então, uma aproximação para o zero de $f$ neste intervalo é computada como o ponto de interseção da reta secante a $f$ pelos pontos $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$ , i.e.

x=a-\frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(a).

(2.40)

Veja a Figura 2.3.

Refer to caption — Figura 2.3: Método da falsa posição.

Mais explicitamente, o método consiste no seguinte procedimento iterativo:

1.

Determinar um intervalo $(a^{(1)},b^{(1)})$ tal que $f(a^{(1)})\cdot f(b^{(1)})<0$ .
2.
Para $k=1,2,3,\cdots,N$ :
1. 2.1
  
  $\displaystyle x^{(k)}=a^{(k)}-\frac{b^{(k)}-a^{(k)}}{f(b^{(k)})-f(a^{(k)})}f(a% ^{(k)})$
2. 2.2
  
  Verificar critério de parada.
3. 2.3
  
  Se $f(a^{(k)})\cdot f(x^{(k)})<0$ , então $a^{(k+1)}=a^{(k)}$ e $b^{(k+1)}=x^{(k)}$ .
4. 2.4
  
  Se $f(x^{(k)})\cdot f(b^{(k)})>0$ , então $a^{(k+1)}=x^{(k)}$ e $b^{(k+1)}=b^{(k)}$ .

Exemplo 2.2.1.

Consideremos o problema de aproximar o zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.41)
		$\displaystyle+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}.$		(2.41)

no intervalo $(0,3)$ . A tabela abaixo mostra os resultados obtidos da aplicação do método da falsa posição com intervalo inicial $(a^{(1)},b^{(1)})=(2,3)$ . Aqui, o método foi iterado até a convergência com cinco dígitos significativos.

$s:=f^{\prime}(a^{(k)})\cdot f^{\prime}(x^{(k)})$
k	$a^{(k)}$	$b^{(k)}$	$x^{(k)}$	$s$
0	$2.0000$	$3.0000$	$2.2455$	1
1	$2.2455$	$3.0000$	$2.3240$	1
2	$2.3240$	$3.0000$	$2.3470$	1
3	$2.3470$	$3.0000$	$2.3536$	1
4	$2.3536$	$3.0000$	$2.3555$	1
5	$2.3555$	$3.0000$	$2.3560$	1
6	$2.3560$	$3.0000$	$2.3561$	1
7	$2.3561$	$3.0000$	$2.3562$	1
8	$2.3562$	$3.0000$	$2.3562$	1
9	$2.3562$	$3.0000$	$2.3562$	1

⬇

1import numpy as np

3f = lambda x: np.sin(x+np.pi/4)**2 \

4 - x**3 + np.pi/4*x**2 + 5*np.pi**2/16*x \

5 + 3*np.pi**3/64

7a = 2.

8b = 3.

9for k in range(10):

10 x = a - (b-a)/(f(b)-f(a))*f(a)

11 print(f"{k+1}: {x:.4f}")

13 s = np.sign(f(a)*f(x))

14 if (s == -1):

15 b = x

16 elif (s == 1):

17 a = x

18 else:

19 break

Observação 2.2.1.

(Ordem de Convergência.) O método da falsa posição é globalmente convergente e tem ordem de convergência linear [7, Seção 8.3].

2.2.1 Exercícios

E. 2.2.1.

Use o método da falsa posição para aproximar um zero de

f(x)=x^{3}\operatorname{sen}(x)-\cos(x)

(2.42)

aplicando, como intervalo inicial $(a^{(1)},b^{(1)})=(0.5,1)$ e aproximação inicial

x^{(0}=a^{(1)}-\frac{b^{(1)}-a^{(1)}}{f(b^{(1)})-f(a^{(1)})}f(a^{(1)}).

(2.43)

Faça, então, $4$ iterações deste método de forma a obter a aproximação $x^{(4)}$ e forneça-a com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$9.158079\times 10^{-1}$

E. 2.2.2.

Use o método da falsa posição para computar a(s) solução(ões) das seguintes equações com precisão de 8 dígitos significativos.

a)

$x=2^{-x}$ para $0\leq x\leq 2$ .
b)

$e^{-x^{2}}=3x-x^{2}$ para $-1\leq x\leq 4$ .

Resposta.

a) $6.4118574\times 10^{-1}$ ; b) $3.3536470\times 10^{-1}$ ; $2.9999589$

E. 2.2.3.

Use o método da falsa posição para encontrar uma aproximação com precisão de $4$ dígitos significativos do zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$		(2.44)
		$\displaystyle-1.154x+0.332929$		(2.44)

no intervalo $[-1,0]$ .

Resposta.

$-7.861\times 10^{-1}$

E. 2.2.4.

Use o método da falsa posição para encontrar uma aproximação com precisão de $10^{-4}$ do zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$		(2.45)
		$\displaystyle-1.154x+0.332929$		(2.45)

no intervalo $(0.55,0.65)$ . Forneça a aproximação computada com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$5.770508\times 10^{-1}$

E. 2.2.5.

Aplique o método da falsa posição para encontrar o ponto crítico¹⁶¹⁶endnote: ¹⁶Definimos que $x$ é ponto crítico de uma dada $f$ , quando $f^{\prime}(x)=0$ ou $\nexists f^{\prime}(x)$ . de

f(x)=(1-x^{2})e^{-x^{2}}

(2.46)

no intervalo $(0,2)$ . Obtenha o resultado com precisão de $5$ dígitos significativos por arredondamento.

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

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2.2 Método da Falsa Posição

x=a-\frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(a).

(2.40)

Veja a Figura 2.3.

Mais explicitamente, o método consiste no seguinte procedimento iterativo:

1.

Determinar um intervalo $(a^{(1)},b^{(1)})$ tal que $f(a^{(1)})\cdot f(b^{(1)})<0$ .
2.
Para $k=1,2,3,\cdots,N$ :
1. 2.1
  
  $\displaystyle x^{(k)}=a^{(k)}-\frac{b^{(k)}-a^{(k)}}{f(b^{(k)})-f(a^{(k)})}f(a% ^{(k)})$
2. 2.2
  
  Verificar critério de parada.
3. 2.3
  
  Se $f(a^{(k)})\cdot f(x^{(k)})<0$ , então $a^{(k+1)}=a^{(k)}$ e $b^{(k+1)}=x^{(k)}$ .
4. 2.4
  
  Se $f(x^{(k)})\cdot f(b^{(k)})>0$ , então $a^{(k+1)}=x^{(k)}$ e $b^{(k+1)}=b^{(k)}$ .

Exemplo 2.2.1.

Consideremos o problema de aproximar o zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.41)
		$\displaystyle+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}.$		(2.41)

$s:=f^{\prime}(a^{(k)})\cdot f^{\prime}(x^{(k)})$
k	$a^{(k)}$	$b^{(k)}$	$x^{(k)}$	$s$
0	$2.0000$	$3.0000$	$2.2455$	1
1	$2.2455$	$3.0000$	$2.3240$	1
2	$2.3240$	$3.0000$	$2.3470$	1
3	$2.3470$	$3.0000$	$2.3536$	1
4	$2.3536$	$3.0000$	$2.3555$	1
5	$2.3555$	$3.0000$	$2.3560$	1
6	$2.3560$	$3.0000$	$2.3561$	1
7	$2.3561$	$3.0000$	$2.3562$	1
8	$2.3562$	$3.0000$	$2.3562$	1
9	$2.3562$	$3.0000$	$2.3562$	1

⬇

1import numpy as np

3f = lambda x: np.sin(x+np.pi/4)**2 \

4 - x**3 + np.pi/4*x**2 + 5*np.pi**2/16*x \

5 + 3*np.pi**3/64

7a = 2.

8b = 3.

9for k in range(10):

10 x = a - (b-a)/(f(b)-f(a))*f(a)

11 print(f"{k+1}: {x:.4f}")

13 s = np.sign(f(a)*f(x))

14 if (s == -1):

15 b = x

16 elif (s == 1):

17 a = x

18 else:

19 break

Observação 2.2.1.

(Ordem de Convergência.) O método da falsa posição é globalmente convergente e tem ordem de convergência linear [7, Seção 8.3].

2.2.1 Exercícios

E. 2.2.1.

Use o método da falsa posição para aproximar um zero de

f(x)=x^{3}\operatorname{sen}(x)-\cos(x)

(2.42)

aplicando, como intervalo inicial $(a^{(1)},b^{(1)})=(0.5,1)$ e aproximação inicial

x^{(0}=a^{(1)}-\frac{b^{(1)}-a^{(1)}}{f(b^{(1)})-f(a^{(1)})}f(a^{(1)}).

(2.43)

Faça, então, $4$ iterações deste método de forma a obter a aproximação $x^{(4)}$ e forneça-a com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$9.158079\times 10^{-1}$

E. 2.2.2.

Use o método da falsa posição para computar a(s) solução(ões) das seguintes equações com precisão de 8 dígitos significativos.

a)

$x=2^{-x}$ para $0\leq x\leq 2$ .
b)

$e^{-x^{2}}=3x-x^{2}$ para $-1\leq x\leq 4$ .

Resposta.

a) $6.4118574\times 10^{-1}$ ; b) $3.3536470\times 10^{-1}$ ; $2.9999589$

E. 2.2.3.

Use o método da falsa posição para encontrar uma aproximação com precisão de $4$ dígitos significativos do zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$		(2.44)
		$\displaystyle-1.154x+0.332929$		(2.44)

no intervalo $[-1,0]$ .

Resposta.

$-7.861\times 10^{-1}$

E. 2.2.4.

Use o método da falsa posição para encontrar uma aproximação com precisão de $10^{-4}$ do zero de

	$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$		(2.45)
		$\displaystyle-1.154x+0.332929$		(2.45)

no intervalo $(0.55,0.65)$ . Forneça a aproximação computada com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

Resposta.

$5.770508\times 10^{-1}$

E. 2.2.5.

f(x)=(1-x^{2})e^{-x^{2}}

(2.46)

no intervalo $(0,2)$ . Obtenha o resultado com precisão de $5$ dígitos significativos por arredondamento.

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Pedro H A Konzen

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