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Geometria Analítica

1 Retas e Planos 1 Retas e Planos 1.2 Equações da reta

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1.1 Sistema de coordenadas no espaço

Em revisão

Um sistema de coordenadas (cartesianas¹¹endnote: ¹René Descartes, 1596 - 1650, matemático e filósofo francês. Fonte: Wikipédia: René Descartes.) no espaço é constituído de um ponto $O$ e uma base de vetores $B=(\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\vec{e}_{3})$ no espaço. Dado um tal sistema, temos que cada ponto $P$ determina de forma única um vetor $\overrightarrow{OP}=(x,y,z)$ e vice-versa. Assim sendo, definimos que o ponto $P$ tem coordenadas $(x,y,z)$ . Veja a figura abaixo.

Refer to caption — Figura 1.1: Ilustração de um sistema de coordenadas no espaço.

O ponto $O$ é chamado de origem (do sistema de coordenadas) e tem coordenadas $O=(0,0,0)$ . Dado um ponto $P=(x,y,z)$ , chama-se $x$ de sua abscissa, $y$ de sua ordenada e $z$ de sua cota. As retas que passam por $O$ e têm, respectivamente, as mesmas direções de $\vec{e}_{1}$ , $\vec{e}_{2}$ e $\vec{e}_{3}$ são chamadas de eixo das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas. Os planos que contém $O$ e representantes de dois vetores da base $B$ são chamados de planos coordenados.

Salvo explicitado diferente, trabalharemos com um sistema de coordenadas ortonormal, i.e. sistema cuja base $B=(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ seja ortonormal. Mais ainda, estaremos assumindo que a base é positiva. Veja a Figura 1.2.

1.1.1 Pontos e Vetores

Seja dado um vetor $\overrightarrow{AB}$ . Sabendo as coordenadas dos pontos $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ e $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ , temos que as coordenadas do vetor $\overrightarrow{AB}$ são:

$\displaystyle\overrightarrow{AB}$	$\displaystyle=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$	(1.1)
	$\displaystyle=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$	(1.2)
	$\displaystyle=-(x_{A},y_{A},z_{A})+(x_{B},y_{B},z_{B})$	(1.3)
	$\displaystyle=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}).$	(1.4)

Em uma linguagem menos formal, podemos dizer que as coordenadas de $\overrightarrow{AB}$ é a resultante das coordenadas do ponto final menos as coordenadas do ponto de partida. Veja a figura abaixo.

Exemplo 1.1.1.

Dados os pontos $A=(-1,1,2)$ e $B=(3,-1,0)$ , temos que o vetor $\overrightarrow{AB}$ tem coordenadas:

\overrightarrow{AB}=(3-(-1),-1-1,0-2)=(4,-2,-2).

(1.5)

1.1.2 Ponto Médio de um Segmento

Dados os pontos $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ e $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ , podemos calcular as coordenadas do ponto médio $M=(x_{M},y_{M},z_{M})$ do segmento $A B$ . Veja a figura abaixo.

Do fato de que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ , temos

(x_{M}-x_{A},y_{M}-y_{A},z_{M}-z_{A})=(x_{B}-x_{M},y_{B}-y_{M},z_{B}-z_{M}),

(1.6)

Logo, segue que

$\displaystyle x_{M}-x_{A}$	$\displaystyle=x_{B}-x_{M}$	(1.7)
$\displaystyle y_{M}-y_{A}$	$\displaystyle=y_{B}-y_{M}$	(1.8)
$\displaystyle z_{M}-z_{A}$	$\displaystyle=z_{B}-z_{M}$	(1.9)

ou, equivalentemente,

$\displaystyle 2x_{M}$	$\displaystyle=x_{A}+x_{B}$	(1.10)
$\displaystyle 2y_{M}$	$\displaystyle=y_{A}+y_{B}$	(1.11)
$\displaystyle 2z_{M}$	$\displaystyle=z_{A}+z_{B}$	(1.12)

Portanto, concluímos que

$\displaystyle x_{M}$	$\displaystyle=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$	(1.13)
$\displaystyle y_{M}$	$\displaystyle=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$	(1.14)
$\displaystyle z_{M}$	$\displaystyle=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}$	(1.15)

Logo, temos

M=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2},\frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)

(1.16)

Exemplo 1.1.2.

Dados os pontos $A=(-1,1,2)$ e $B=(3,-1,0)$ , temos que o ponto médio do segmento $A B$ tem coordenadas:

	$\displaystyle M$	$\displaystyle=\left(\frac{-1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2},\frac{2+0}{2}\right)$		(1.17)
		$\displaystyle=(1,0,1).$		(1.18)

Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Sejam $A=(-1,2,1)$ , $B=(1,-2,0)$ e $C=(x,2,2)$ vértices consecutivos de um triângulo isósceles, cujos lados $A C$ e $B C$ são congruentes. Determine o valor de $x$ .

Solução.

Sendo os lados $A C$ e $B C$ congruentes, temos $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|$ . As coordenadas de $\overrightarrow{AC}$ são

\overrightarrow{AC}=(x-(-1),2-2,2-1)=(x+1,0,1)

(1.19)

e as coordenadas de $\overrightarrow{BC}$ são

\overrightarrow{BC}=(x-1,2-(-2),2-0)=(x-1,4,2).

(1.20)

Então, temos

$\displaystyle\|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{BC}\|$	$\displaystyle\Rightarrow\sqrt{(x+1)^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+4^{2}+2^{% 2}}$	(1.21)
	$\displaystyle\Rightarrow(x+1)^{2}+0^{2}+1^{2}=(x-1)^{2}+4^{2}+2^{2}$	(1.22)
	$\displaystyle\Rightarrow x^{2}+2x+1+1=x^{2}-2x+1+16+4$	(1.23)
	$\displaystyle\Rightarrow 4x=19$	(1.24)
	$\displaystyle\Rightarrow x=\frac{19}{4}.$	(1.25)

ER 1.1.2.

Sejam $A=(-1,2,1)$ , $B=(1,-2,0)$ e $M$ o ponto médio do intervalo $A B$ . Determine as coordenadas do ponto $P$ de forma que $2AP=AM$ .

Solução.

As coordenadas do ponto médio são

M=\left(\frac{-1+1}{2},\frac{2+(-2)}{2},\frac{1+0}{2}\right)=\left(0,0,\frac{1% }{2}\right).

(1.26)

Agora, denotando $P=(x_{P},y_{P},z_{P})$ , temos

	$\displaystyle 2AP=AM$	$\displaystyle\Rightarrow 2(x_{P}-(-1),y_{P}-2,z_{P}-1)=\left(0-(-1),0-2,\frac{% 1}{2}-1\right)$		(1.27)
		$\displaystyle\Rightarrow(2x_{p}+2,2y_{P}-4,2z_{P}-2)=\left(1,-2,-\frac{1}{2}% \right).$		(1.28)

Portanto

	$\displaystyle 2x_{P}+2=1\Rightarrow x_{P}=-\frac{1}{2}$		(1.29)
	$\displaystyle 2y_{P}-4=-2\Rightarrow y_{P}=1$		(1.30)
	$\displaystyle 2z_{P}-2=-\frac{1}{2}\Rightarrow z_{P}=\frac{3}{4}.$		(1.31)

Logo, $P=(-1/2,1,3/4)$ .

Exercícios

E. 1.1.1.

Sejam dados os pontos $A=(1,-1,2)$ e $B=(0,1,-2)$ . Determine as coordenadas do vetor $\vec{v}=\overrightarrow{BA}$ .

Resposta.

$\vec{v}=(1,-2,4)$

E. 1.1.2.

Sejam dados os pontos $E=(-1,2,0)$ e $F=(2,-1,1)$ . Calcule o ponto médio do segmento $E F$ .

Resposta.

$\displaystyle M=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

E. 1.1.3.

Sejam dados os pontos $A=(-1,1,-1)$ e $M=(0,1,3)$ . Determine o ponto $B$ tal que $M$ seja o ponto médio do segmento $A B$ .

Resposta.

$B=(1,1,7)$

E. 1.1.4.

Sejam dados os pontos $A=(1,-1,1)$ , $B=(2,1,0)$ e $C=(x,2,1)$ . Determine $x$ tal que $A B C$ forme um triângulo retângulo com hipotenusa $B C$ .

Resposta.

$x=-5$

E. 1.1.5.

Determine a distância entre os pontos $C=(2,-1,0)$ e $D=(1,1,1)$ .

Resposta.

$|CD|=\sqrt{6}$

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1.1 Sistema de coordenadas no espaço

Em revisão

1.1.1 Pontos e Vetores

Seja dado um vetor $\overrightarrow{AB}$ . Sabendo as coordenadas dos pontos $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ e $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ , temos que as coordenadas do vetor $\overrightarrow{AB}$ são:

$\displaystyle\overrightarrow{AB}$	$\displaystyle=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$	(1.1)
	$\displaystyle=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$	(1.2)
	$\displaystyle=-(x_{A},y_{A},z_{A})+(x_{B},y_{B},z_{B})$	(1.3)
	$\displaystyle=(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}).$	(1.4)

Em uma linguagem menos formal, podemos dizer que as coordenadas de $\overrightarrow{AB}$ é a resultante das coordenadas do ponto final menos as coordenadas do ponto de partida. Veja a figura abaixo.

Exemplo 1.1.1.

Dados os pontos $A=(-1,1,2)$ e $B=(3,-1,0)$ , temos que o vetor $\overrightarrow{AB}$ tem coordenadas:

\overrightarrow{AB}=(3-(-1),-1-1,0-2)=(4,-2,-2).

(1.5)

1.1.2 Ponto Médio de um Segmento

Dados os pontos $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ e $B=(x_{B},y_{B},z_{B})$ , podemos calcular as coordenadas do ponto médio $M=(x_{M},y_{M},z_{M})$ do segmento $A B$ . Veja a figura abaixo.

Do fato de que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ , temos

(x_{M}-x_{A},y_{M}-y_{A},z_{M}-z_{A})=(x_{B}-x_{M},y_{B}-y_{M},z_{B}-z_{M}),

(1.6)

Logo, segue que

$\displaystyle x_{M}-x_{A}$	$\displaystyle=x_{B}-x_{M}$	(1.7)
$\displaystyle y_{M}-y_{A}$	$\displaystyle=y_{B}-y_{M}$	(1.8)
$\displaystyle z_{M}-z_{A}$	$\displaystyle=z_{B}-z_{M}$	(1.9)

ou, equivalentemente,

$\displaystyle 2x_{M}$	$\displaystyle=x_{A}+x_{B}$	(1.10)
$\displaystyle 2y_{M}$	$\displaystyle=y_{A}+y_{B}$	(1.11)
$\displaystyle 2z_{M}$	$\displaystyle=z_{A}+z_{B}$	(1.12)

Portanto, concluímos que

$\displaystyle x_{M}$	$\displaystyle=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}$	(1.13)
$\displaystyle y_{M}$	$\displaystyle=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$	(1.14)
$\displaystyle z_{M}$	$\displaystyle=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}$	(1.15)

Logo, temos

M=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\frac{y_{A}+y_{B}}{2},\frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)

(1.16)

Exemplo 1.1.2.

Dados os pontos $A=(-1,1,2)$ e $B=(3,-1,0)$ , temos que o ponto médio do segmento $A B$ tem coordenadas:

	$\displaystyle M$	$\displaystyle=\left(\frac{-1+3}{2},\frac{1+(-1)}{2},\frac{2+0}{2}\right)$		(1.17)
		$\displaystyle=(1,0,1).$		(1.18)

Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Sejam $A=(-1,2,1)$ , $B=(1,-2,0)$ e $C=(x,2,2)$ vértices consecutivos de um triângulo isósceles, cujos lados $A C$ e $B C$ são congruentes. Determine o valor de $x$ .

Solução.

Sendo os lados $A C$ e $B C$ congruentes, temos $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BC}|$ . As coordenadas de $\overrightarrow{AC}$ são

\overrightarrow{AC}=(x-(-1),2-2,2-1)=(x+1,0,1)

(1.19)

e as coordenadas de $\overrightarrow{BC}$ são

\overrightarrow{BC}=(x-1,2-(-2),2-0)=(x-1,4,2).

(1.20)

Então, temos

$\displaystyle\|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{BC}\|$	$\displaystyle\Rightarrow\sqrt{(x+1)^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{(x-1)^{2}+4^{2}+2^{% 2}}$	(1.21)
	$\displaystyle\Rightarrow(x+1)^{2}+0^{2}+1^{2}=(x-1)^{2}+4^{2}+2^{2}$	(1.22)
	$\displaystyle\Rightarrow x^{2}+2x+1+1=x^{2}-2x+1+16+4$	(1.23)
	$\displaystyle\Rightarrow 4x=19$	(1.24)
	$\displaystyle\Rightarrow x=\frac{19}{4}.$	(1.25)

ER 1.1.2.

Sejam $A=(-1,2,1)$ , $B=(1,-2,0)$ e $M$ o ponto médio do intervalo $A B$ . Determine as coordenadas do ponto $P$ de forma que $2AP=AM$ .

Solução.

As coordenadas do ponto médio são

M=\left(\frac{-1+1}{2},\frac{2+(-2)}{2},\frac{1+0}{2}\right)=\left(0,0,\frac{1% }{2}\right).

(1.26)

Agora, denotando $P=(x_{P},y_{P},z_{P})$ , temos

	$\displaystyle 2AP=AM$	$\displaystyle\Rightarrow 2(x_{P}-(-1),y_{P}-2,z_{P}-1)=\left(0-(-1),0-2,\frac{% 1}{2}-1\right)$		(1.27)
		$\displaystyle\Rightarrow(2x_{p}+2,2y_{P}-4,2z_{P}-2)=\left(1,-2,-\frac{1}{2}% \right).$		(1.28)

Portanto

	$\displaystyle 2x_{P}+2=1\Rightarrow x_{P}=-\frac{1}{2}$		(1.29)
	$\displaystyle 2y_{P}-4=-2\Rightarrow y_{P}=1$		(1.30)
	$\displaystyle 2z_{P}-2=-\frac{1}{2}\Rightarrow z_{P}=\frac{3}{4}.$		(1.31)

Logo, $P=(-1/2,1,3/4)$ .

Exercícios

E. 1.1.1.

Sejam dados os pontos $A=(1,-1,2)$ e $B=(0,1,-2)$ . Determine as coordenadas do vetor $\vec{v}=\overrightarrow{BA}$ .

Resposta.

$\vec{v}=(1,-2,4)$

E. 1.1.2.

Sejam dados os pontos $E=(-1,2,0)$ e $F=(2,-1,1)$ . Calcule o ponto médio do segmento $E F$ .

Resposta.

$\displaystyle M=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

E. 1.1.3.

Sejam dados os pontos $A=(-1,1,-1)$ e $M=(0,1,3)$ . Determine o ponto $B$ tal que $M$ seja o ponto médio do segmento $A B$ .

Resposta.

$B=(1,1,7)$

E. 1.1.4.

Sejam dados os pontos $A=(1,-1,1)$ , $B=(2,1,0)$ e $C=(x,2,1)$ . Determine $x$ tal que $A B C$ forme um triângulo retângulo com hipotenusa $B C$ .

Resposta.

$x=-5$

E. 1.1.5.

Determine a distância entre os pontos $C=(2,-1,0)$ e $D=(1,1,1)$ .

Resposta.

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Pedro H A Konzen

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