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Cálculo I

4 Integração 4.3 Regras Básicas de Integração 4.5 Integração por partes

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4.4 Integração por substituição

Seja $u=u(x)$ . A regra de integração por substituição é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int f(u(x))u^% {\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du}.

(4.218)

De fato, se

\int f(u)\,du=F(u)+C,

(4.219)

então, da regra da cadeira³⁸³⁸endnote: ³⁸Consulte a Seção 2.7 para mais informações sobre a regra da cadeia., temos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}F(u(x))$	$\displaystyle=F^{\prime}(u(x))u^{\prime}(x)$		(4.220)
		$\displaystyle=f(u(x))u^{\prime}(x),$		(4.221)

i.e. $F(u(x))$ é primitiva de $f(u(x))u^{\prime}(x)$ .

Exemplo 4.4.1.

Vamos aplicar integração por substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$ .

Escolhemos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u=x+1}$ (4.222)

donde

$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$ (4.223)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du=dx}$ (4.224)

Fazendo a substituição na integral, obtemos

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$ $\displaystyle=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$

$\displaystyle=\frac{u^{3}}{3}+C$

Agora, substituindo de volta $u=x+1$ , concluímos que

$\int(x+1)^{2}\,dx=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C$ (4.225)
b)

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$ Escolhemos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u=2x+1}$ (4.226)

e calculamos

$\displaystyle\frac{du}{dx}=2x$ (4.227)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du=2\,dx}$ (4.228)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$ $\displaystyle=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$

$\displaystyle=\int\sqrt{u}\,du$

$\displaystyle=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$

$\displaystyle=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

$\displaystyle=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$
c)

$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx$ .

Escolhemos

$u=\pi x$ (4.229)

e calculamos

$du=\pi\,dx$ (4.230)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx$ $\displaystyle=\int\operatorname{sen}(u)\,du$ (4.231)

$\displaystyle=-\cos(u)+C$ (4.232)

$\displaystyle=-\cos(\pi x)+C.$ (4.233)

Observe que ao escolhermos $u=u(x)$ , sua derivada $u^{\prime}(x)$ também precisa estar no integrando. Uma exceção é o caso em que $u^{\prime}(x)\equiv k$ é constante. Neste, podemos multiplicar o integrando por $k/k$ e usar a regra da multiplicação por escalar.

Exemplo 4.4.2.

Vamos calcular

\int(2x+1)^{2}\,dx.

(4.234)

Substituindo

u=2x+1

(4.235)

temos

du=2\,dx

(4.236)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx$	$\displaystyle=\int(2x+1)^{2}\cdot\frac{2}{2}\,dx$	(4.237)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int(2x+1)^{2}\cdot 2\,dx$	(4.238)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$	(4.239)
	$\displaystyle=\frac{u^{3}}{6}+C$	(4.240)
	$\displaystyle=\frac{1}{6}(2x+1)^{3}+C.$	(4.241)

Outra forma equivalente de calcularmos, é observarmos que

	$\displaystyle du=2\,dx$		(4.242)
	$\displaystyle\Rightarrow{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}dx% =\frac{du}{2}}$		(4.243)

Então, ao fazermos a substituição $u=2x+1$ na integral original, obtemos

$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx$	$\displaystyle=\int u^{2}\,\frac{du}{2}$	(4.244)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$	(4.245)
	$\displaystyle=\frac{u^{3}}{6}+C$	(4.246)
	$\displaystyle=\frac{(2x+1)^{3}}{6}+C$	(4.247)

4.4.1 Integral de função exponencial

Na Subseção 4.3.5, vimos que

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

(4.248)

Agora, com a regra da substituição, temos

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx$	$\displaystyle=\int e^{\ln a^{x}}\,dx$		(4.249)
		$\displaystyle=\int e^{x\ln a}\,dx,$		(4.250)

com $a>0$ e $a\neq 1$ . Tomando

	$\displaystyle u=x\ln a$		(4.251)
	$\displaystyle\Rightarrow du=\ln(a)dx.$		(4.252)

Segue que

$\displaystyle\int a^{x}\,dx$	$\displaystyle=\int e^{u}\,\frac{du}{\ln a}$	(4.253)
	$\displaystyle=\frac{1}{\ln a}\int e^{u}\,du$	(4.254)
	$\displaystyle=\frac{e^{u}}{\ln a}+C$	(4.255)
	$\displaystyle=\frac{e^{x\ln a}}{\ln a}+C$	(4.256)
	$\displaystyle=\frac{e^{\ln a^{x}}}{\ln a}+C$	(4.257)
	$\displaystyle=\frac{a^{x}}{\ln a}+C.$	(4.258)

Ou seja, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int a^{x}\,dx% =\frac{a^{x}}{\ln a}+C}.

(4.259)

Exemplo 4.4.3.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int 2^{x}\,dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ (4.260)
b)

$\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (4.261)

Escolhendo

$\displaystyle u=\frac{x}{2}$ (4.262)

$\displaystyle\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$ (4.263)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx$ $\displaystyle=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (4.264)

$\displaystyle=\int 2^{u}\,\frac{du}{2}$ (4.265)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du$ (4.266)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$ (4.267)

$\displaystyle=\frac{\sqrt{2^{x}}}{2\ln 2}+C$ (4.268)
c)

$\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx.$ (4.269)

Por substituição, tomamos

$\displaystyle u=x^{2}$ (4.270)

$\displaystyle\Rightarrow du=2x\,dx,$ (4.271)

segue

$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx$ $\displaystyle=\int\cdot 2^{u}\frac{du}{2}$ (4.272)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$ (4.273)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$ (4.274)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$ (4.275)

Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, concluímos que

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx$ $\displaystyle=\left.\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}\right|_{1}^{\sqrt{2}}$ (4.276)

$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$ (4.277)

$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$ (4.278)

$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$ (4.279)

$\displaystyle=\frac{1}{\ln 2}$ (4.280)

Verifique computando as integrais com o Python+SymPy!

4.4.2 Integral de funções trigonométricas

Na Seção 4.3.6, vimos que

	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C\quad\text{e}$		(4.281)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C.$		(4.282)

Exemplo 4.4.4.

Vamos calcular

\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx.

(4.283)

Usando a identidade trigonométrica

\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2},

(4.284)

temos

	$\displaystyle\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1-x\cos(2x)}{2}\,dx$		(4.285)
		$\displaystyle=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx.$		(4.286)

Agora, tomando $u=2x$ , temos $du=2\,dx$ , donde

$\displaystyle\int\cos(2x)\,dx$	$\displaystyle=\int\cos(u)\frac{du}{2}$	(4.287)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(u)+C$	(4.288)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)+C.$	(4.289)

Retornando a 4.286, obtemos

\displaystyle\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx

\displaystyle=\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}+C.

(4.290)

Agora, afirmamos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int% \operatorname{tg}(x)\,dx=\ln|\sec(x)|+C}.

(4.291)

De fato, no que observamos que

\int\operatorname{tg}(x)\,dx=\int\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,dx,

(4.292)

escolhemos

	$\displaystyle u=\cos(x)$		(4.293)
	$\displaystyle\Rightarrow du=-\operatorname{sen}(x)\,dx.$		(4.294)

Então, por substituição, calculamos

$\displaystyle\int\operatorname{tg}(x)\,dx$	$\displaystyle=-\int\frac{1}{u}\,du$	(4.295)
	$\displaystyle=-\ln\|u\|+C$	(4.296)
	$\displaystyle=-\ln\|\cos(x)\|+C$	(4.297)
	$\displaystyle=\ln\left\|\frac{1}{\cos(x)}\right\|+C$	(4.298)
	$\displaystyle=\ln\|\sec(x)\|+C.$	(4.299)

Exemplo 4.4.5.

Vamos calcular

\int x\operatorname{tg}(x^{2})\,dx.

(4.300)

Usando a regra de substituição, escolhemos

	$\displaystyle u=x^{2}$		(4.301)
	$\displaystyle\Rightarrow du=2x\,du.$		(4.302)

Fazendo a substituição e calculando, obtemos

$\displaystyle\int x\operatorname{tg}(x^{2})\,dx$	$\displaystyle=\int\operatorname{tg}(u)\,\frac{du}{2}$	(4.303)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\operatorname{tg}(u)\,du$	(4.304)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\ln\|\sec(u)\|+C$	(4.305)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\ln\|\sec(x^{2})\|+C.$	(4.306)

Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função tangente, obtemos³⁹³⁹endnote: ³⁹Veja o Exercício 4.4.15.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int% \operatorname{cotg}(x)\,dx=\ln|\operatorname{sen}(x)|+C}.

(4.307)

Agora, vamos mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int\sec(x)\,% dx=\ln|\sec(x)+\operatorname{tg}(x)|+C}.

(4.308)

Observamos que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx$	$\displaystyle=\int\sec(x)\cdot\frac{\sec(x)+\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)}\,dx$		(4.309)
		$\displaystyle=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)}\,dx.$		(4.310)

Então, escolhendo

u=\sec(x)+\operatorname{tg}(x)\\ \Rightarrow du=\sec(x)\operatorname{tg}(x)+\sec^{2}(x),

(4.311)

temos, por substituição, que

$\displaystyle\int\sec(x)\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)}\,dx$	(4.312)
	$\displaystyle=\int\frac{1}{u}\,du$	(4.313)
	$\displaystyle=\ln\|u\|+C$	(4.314)
	$\displaystyle=\ln\|\sec(x)+\operatorname{tg}(x)\|+C.$	(4.315)

Exemplo 4.4.6.

Vamos calcular

\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du.

(4.316)

Fazendo a substituição

v=\frac{u}{2}\\ \Rightarrow dv=\frac{du}{2},

(4.317)

segue

$\displaystyle\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du$	$\displaystyle=\int\sec(v)\cdot 2\,dv$	(4.318)
	$\displaystyle=2\int\sec(v)\,dv$	(4.319)
	$\displaystyle=2\ln\|\sec(v)+\operatorname{tg}(v)\|+C$	(4.320)
	$\displaystyle=2\ln\left\|\sec\left(\frac{u}{2}\right)+\operatorname{tg}\left(% \frac{u}{2}\right)\right\|+C.$	(4.321)

Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função secante, obtemos⁴⁰⁴⁰endnote: ⁴⁰Veja o Exercício 4.4.17.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int% \operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{cotg}% (x)|+C}.

(4.322)

4.4.3 Integrais definidas

A regra de substituição para integrais definidas é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}f(% u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du}.

(4.323)

Exemplo 4.4.7.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx.

(4.324)

Por substituição, escolhemos

u=-2x\\ \Rightarrow du=-2dx.

(4.325)

Logo,

$\displaystyle\int 0^{1}e^{-2x}\,dx$	$\displaystyle=\int_{u(0)}^{u(1)}e^{u}\frac{du}{-2}$	(4.326)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int_{0}^{-2}e^{u}du$	(4.327)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{0}^{-2}$	(4.328)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\left(e^{-2}-e^{0}\right)$	(4.329)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2}.$	(4.330)

Alternativamente, podemos calcular a integral indefinida primeiramente e, então, usar o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva obtida. Ou seja, temos

$\displaystyle\int e^{-2x}\,dx$	$\displaystyle=\int e^{u}\frac{du}{-2}$	(4.331)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int e^{u}\,du$	(4.332)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}e^{u}+C$	(4.333)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C.$	(4.334)

Então, do Teorema Fundamental do Cálculo, temos

$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx$	$\displaystyle=\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{1}$	(4.335)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}e^{-2}+\frac{1}{2}e^{0}$	(4.336)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2},$	(4.337)

como esperado.

4.4.4 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(4.338)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,dx$		(4.339)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,\quad r\neq-1$		(4.340)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln u+C$		(4.341)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(4.342)
	$\displaystyle\int a^{u}\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(4.343)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$		(4.344)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,dx=\operatorname{sen}(u)+C$		(4.345)
	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(u)\,dx=\ln\|\sec(u)\|+C$		(4.346)
	$\displaystyle\int\operatorname{cotg}(u)\,dx=\ln\|\operatorname{sen}(u)\|+C$		(4.347)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,dx=\ln\|\sec(u)+\operatorname{tg}(u)\|+C$		(4.348)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,dx=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \operatorname{cotg}(u)\|+C$		(4.349)

4.4.5 Exercícios resolvidos

ER 4.4.1.

Calcule

\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.

(4.350)

Solução.

Usamos a regra de integração por substituição

\int f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du.

(4.351)

Escolhemos

u=x-1,

(4.352)

e calculamos

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(4.353)
	$\displaystyle\Rightarrow du=dx.$		(4.354)

Então, da fórmula, obtemos

$\displaystyle\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{7}{u^{2}}\,du$	(4.355)
	$\displaystyle=7\int u^{-2}\,du$	(4.356)
	$\displaystyle=7\frac{u^{-2+1}}{-2+1}$	(4.357)
	$\displaystyle=-\frac{7}{u}$	(4.358)
	$\displaystyle=\frac{7}{1-x}+C.$	(4.359)

ER 4.4.2.

Calcule

\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx.

(4.360)

Solução.

Fazendo a substituição

	$\displaystyle u=e^{x}-1$		(4.361)
	$\displaystyle\Rightarrow du=e^{x}\,dx,$		(4.362)

temos

$\displaystyle\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1}{u}\,du$	(4.363)
	$\displaystyle=\ln\|u\|+C$	(4.364)
	$\displaystyle=\ln\|e^{x}-1\|+C.$	(4.365)

ER 4.4.3.

Calcule

\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(4.366)

Solução.

Vejamos as seguintes formas de calcular esta integral definida.

•

Solução 1: aplicando a regra de substituição em integrais definidas.

\int_{a}^{b}f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du.

(4.367)

Escolhendo, $u=1-x^{2}$ , temos $du=-2x\,dx$ . Daí, segue

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$	(4.368)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$	(4.369)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right\|% _{u=1}^{0}$	(4.370)
	$\displaystyle=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{u^{3}}\right\|_{u=1}^{0}$	(4.371)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}.$	(4.372)

•

Solução 2: calculando uma primitiva em função de $x$ . Para obtermos uma primitiva em função de $x$ , calculamos a integral indefinida

$\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.$ (4.373)

Como anteriormente, usamos a regra de substituição. Escolhendo $u=1-x^{2}$ , temos $du=-2x\,dx$ e, portanto

$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx$ $\displaystyle=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$ (4.374)

$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (4.375)

$\displaystyle=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$ (4.376)

$\displaystyle=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$ (4.377)

$\displaystyle=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C.$ (4.378)

Então, do teorema fundamental do cálculo, temos

$\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{(1-x^{2})^{3}}\right|_% {0}^{1}=\frac{1}{3}.$ (4.379)

4.4.6 Exercícios

E. 4.4.1.

Calcule

\int 2(2x+1)^{2}\,dx

(4.380)

a)

por integração direta.
b)

por substituição.

Resposta.

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{2}\,dx=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+2x+C$

E. 4.4.2.

Use o método da substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\sqrt{2x+1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x(x^{2}-2)\,dx$
d)

$\displaystyle\int(2x^{2}+4x-3)^{4}(x+1)\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle 4x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+2x+C$ ; b) $\displaystyle\frac{\sqrt{(2x+1)^{3}}}{3}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{3}(x^{2}-2)^{3}+C$ ; d) $\frac{1}{20}(2x^{2}+4x-3)^{5}+C$

E. 4.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{x+1}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3x-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{6x+1}{x+3x^{2}}\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle\ln|x+1|+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left|x-\frac{2}{3}\right|+C$ ; c) $\displaystyle\ln\left|x+3x^{2}\right|+C$ ;

E. 4.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 3e^{3x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int e^{2x-1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int xe^{x^{2}}\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle e^{3x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{2x-1}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

E. 4.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-3^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{x}{2^{x^{2}}}\,dx$

Resposta.

$\frac{1}{2}$

E. 4.4.9.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int\operatorname{sen}(2x)\,dx$

E. 4.4.16.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx.

(4.390)

Resposta.

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{2}+C$

E. 4.4.17.

Use o método da substituição para mostrar que

\int\operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{% cotg}(x)|+C.

(4.391)

Resposta.

Dica: Multiplique o numerador e o denominador por $\operatorname{cotg}(X)+\operatorname{cossec}(x)$ .

E. 4.4.18.

Calcule

\int\frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx

(4.392)

Dica: Complete o quadrado no denominador e então faça a substituição adequada.

Resposta.

$\frac{1}{2}\ln|(x-2)^{2}+4|+\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x-2% }{2}\right)+C$

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Cálculo I

4 Integração 4.3 Regras Básicas de Integração 4.5 Integração por partes

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4.4 Integração por substituição

Seja $u=u(x)$ . A regra de integração por substituição é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int f(u(x))u^% {\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du}.

(4.218)

De fato, se

\int f(u)\,du=F(u)+C,

(4.219)

então, da regra da cadeira³⁸³⁸endnote: ³⁸Consulte a Seção 2.7 para mais informações sobre a regra da cadeia., temos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}F(u(x))$	$\displaystyle=F^{\prime}(u(x))u^{\prime}(x)$		(4.220)
		$\displaystyle=f(u(x))u^{\prime}(x),$		(4.221)

i.e. $F(u(x))$ é primitiva de $f(u(x))u^{\prime}(x)$ .

Exemplo 4.4.1.

Vamos aplicar integração por substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$ .

Escolhemos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u=x+1}$ (4.222)

donde

$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$ (4.223)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du=dx}$ (4.224)

Fazendo a substituição na integral, obtemos

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$ $\displaystyle=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$

$\displaystyle=\frac{u^{3}}{3}+C$

Agora, substituindo de volta $u=x+1$ , concluímos que

$\int(x+1)^{2}\,dx=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C$ (4.225)
b)

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$ Escolhemos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u=2x+1}$ (4.226)

e calculamos

$\displaystyle\frac{du}{dx}=2x$ (4.227)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du=2\,dx}$ (4.228)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$ $\displaystyle=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$

$\displaystyle=\int\sqrt{u}\,du$

$\displaystyle=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$

$\displaystyle=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

$\displaystyle=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$
c)

$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx$ .

Escolhemos

$u=\pi x$ (4.229)

e calculamos

$du=\pi\,dx$ (4.230)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx$ $\displaystyle=\int\operatorname{sen}(u)\,du$ (4.231)

$\displaystyle=-\cos(u)+C$ (4.232)

$\displaystyle=-\cos(\pi x)+C.$ (4.233)

Exemplo 4.4.2.

Vamos calcular

\int(2x+1)^{2}\,dx.

(4.234)

Substituindo

u=2x+1

(4.235)

temos

du=2\,dx

(4.236)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx$	$\displaystyle=\int(2x+1)^{2}\cdot\frac{2}{2}\,dx$	(4.237)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int(2x+1)^{2}\cdot 2\,dx$	(4.238)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$	(4.239)
	$\displaystyle=\frac{u^{3}}{6}+C$	(4.240)
	$\displaystyle=\frac{1}{6}(2x+1)^{3}+C.$	(4.241)

Outra forma equivalente de calcularmos, é observarmos que

	$\displaystyle du=2\,dx$		(4.242)
	$\displaystyle\Rightarrow{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}dx% =\frac{du}{2}}$		(4.243)

Então, ao fazermos a substituição $u=2x+1$ na integral original, obtemos

$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx$	$\displaystyle=\int u^{2}\,\frac{du}{2}$	(4.244)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$	(4.245)
	$\displaystyle=\frac{u^{3}}{6}+C$	(4.246)
	$\displaystyle=\frac{(2x+1)^{3}}{6}+C$	(4.247)

4.4.1 Integral de função exponencial

Na Subseção 4.3.5, vimos que

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

(4.248)

Agora, com a regra da substituição, temos

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx$	$\displaystyle=\int e^{\ln a^{x}}\,dx$		(4.249)
		$\displaystyle=\int e^{x\ln a}\,dx,$		(4.250)

com $a>0$ e $a\neq 1$ . Tomando

	$\displaystyle u=x\ln a$		(4.251)
	$\displaystyle\Rightarrow du=\ln(a)dx.$		(4.252)

Segue que

$\displaystyle\int a^{x}\,dx$	$\displaystyle=\int e^{u}\,\frac{du}{\ln a}$	(4.253)
	$\displaystyle=\frac{1}{\ln a}\int e^{u}\,du$	(4.254)
	$\displaystyle=\frac{e^{u}}{\ln a}+C$	(4.255)
	$\displaystyle=\frac{e^{x\ln a}}{\ln a}+C$	(4.256)
	$\displaystyle=\frac{e^{\ln a^{x}}}{\ln a}+C$	(4.257)
	$\displaystyle=\frac{a^{x}}{\ln a}+C.$	(4.258)

Ou seja, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int a^{x}\,dx% =\frac{a^{x}}{\ln a}+C}.

(4.259)

Exemplo 4.4.3.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int 2^{x}\,dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ (4.260)
b)

$\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (4.261)

Escolhendo

$\displaystyle u=\frac{x}{2}$ (4.262)

$\displaystyle\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$ (4.263)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx$ $\displaystyle=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (4.264)

$\displaystyle=\int 2^{u}\,\frac{du}{2}$ (4.265)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du$ (4.266)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$ (4.267)

$\displaystyle=\frac{\sqrt{2^{x}}}{2\ln 2}+C$ (4.268)
c)

$\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx.$ (4.269)

Por substituição, tomamos

$\displaystyle u=x^{2}$ (4.270)

$\displaystyle\Rightarrow du=2x\,dx,$ (4.271)

segue

$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx$ $\displaystyle=\int\cdot 2^{u}\frac{du}{2}$ (4.272)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$ (4.273)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$ (4.274)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$ (4.275)

Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, concluímos que

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx$ $\displaystyle=\left.\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}\right|_{1}^{\sqrt{2}}$ (4.276)

$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$ (4.277)

$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$ (4.278)

$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$ (4.279)

$\displaystyle=\frac{1}{\ln 2}$ (4.280)

Verifique computando as integrais com o Python+SymPy!

4.4.2 Integral de funções trigonométricas

Na Seção 4.3.6, vimos que

	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C\quad\text{e}$		(4.281)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C.$		(4.282)

Exemplo 4.4.4.

Vamos calcular

\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx.

(4.283)

Usando a identidade trigonométrica

\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2},

(4.284)

temos

	$\displaystyle\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1-x\cos(2x)}{2}\,dx$		(4.285)
		$\displaystyle=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx.$		(4.286)

Agora, tomando $u=2x$ , temos $du=2\,dx$ , donde

$\displaystyle\int\cos(2x)\,dx$	$\displaystyle=\int\cos(u)\frac{du}{2}$	(4.287)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(u)+C$	(4.288)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)+C.$	(4.289)

Retornando a 4.286, obtemos

\displaystyle\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx

\displaystyle=\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}+C.

(4.290)

Agora, afirmamos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int% \operatorname{tg}(x)\,dx=\ln|\sec(x)|+C}.

(4.291)

De fato, no que observamos que

\int\operatorname{tg}(x)\,dx=\int\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,dx,

(4.292)

escolhemos

	$\displaystyle u=\cos(x)$		(4.293)
	$\displaystyle\Rightarrow du=-\operatorname{sen}(x)\,dx.$		(4.294)

Então, por substituição, calculamos

$\displaystyle\int\operatorname{tg}(x)\,dx$	$\displaystyle=-\int\frac{1}{u}\,du$	(4.295)
	$\displaystyle=-\ln\|u\|+C$	(4.296)
	$\displaystyle=-\ln\|\cos(x)\|+C$	(4.297)
	$\displaystyle=\ln\left\|\frac{1}{\cos(x)}\right\|+C$	(4.298)
	$\displaystyle=\ln\|\sec(x)\|+C.$	(4.299)

Exemplo 4.4.5.

Vamos calcular

\int x\operatorname{tg}(x^{2})\,dx.

(4.300)

Usando a regra de substituição, escolhemos

	$\displaystyle u=x^{2}$		(4.301)
	$\displaystyle\Rightarrow du=2x\,du.$		(4.302)

Fazendo a substituição e calculando, obtemos

$\displaystyle\int x\operatorname{tg}(x^{2})\,dx$	$\displaystyle=\int\operatorname{tg}(u)\,\frac{du}{2}$	(4.303)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\operatorname{tg}(u)\,du$	(4.304)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\ln\|\sec(u)\|+C$	(4.305)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\ln\|\sec(x^{2})\|+C.$	(4.306)

Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função tangente, obtemos³⁹³⁹endnote: ³⁹Veja o Exercício 4.4.15.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int% \operatorname{cotg}(x)\,dx=\ln|\operatorname{sen}(x)|+C}.

(4.307)

Agora, vamos mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int\sec(x)\,% dx=\ln|\sec(x)+\operatorname{tg}(x)|+C}.

(4.308)

Observamos que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx$	$\displaystyle=\int\sec(x)\cdot\frac{\sec(x)+\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)}\,dx$		(4.309)
		$\displaystyle=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)}\,dx.$		(4.310)

Então, escolhendo

u=\sec(x)+\operatorname{tg}(x)\\ \Rightarrow du=\sec(x)\operatorname{tg}(x)+\sec^{2}(x),

(4.311)

temos, por substituição, que

$\displaystyle\int\sec(x)\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)}\,dx$	(4.312)
	$\displaystyle=\int\frac{1}{u}\,du$	(4.313)
	$\displaystyle=\ln\|u\|+C$	(4.314)
	$\displaystyle=\ln\|\sec(x)+\operatorname{tg}(x)\|+C.$	(4.315)

Exemplo 4.4.6.

Vamos calcular

\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du.

(4.316)

Fazendo a substituição

v=\frac{u}{2}\\ \Rightarrow dv=\frac{du}{2},

(4.317)

segue

$\displaystyle\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du$	$\displaystyle=\int\sec(v)\cdot 2\,dv$	(4.318)
	$\displaystyle=2\int\sec(v)\,dv$	(4.319)
	$\displaystyle=2\ln\|\sec(v)+\operatorname{tg}(v)\|+C$	(4.320)
	$\displaystyle=2\ln\left\|\sec\left(\frac{u}{2}\right)+\operatorname{tg}\left(% \frac{u}{2}\right)\right\|+C.$	(4.321)

Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função secante, obtemos⁴⁰⁴⁰endnote: ⁴⁰Veja o Exercício 4.4.17.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int% \operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{cotg}% (x)|+C}.

(4.322)

4.4.3 Integrais definidas

A regra de substituição para integrais definidas é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{a}^{b}f(% u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du}.

(4.323)

Exemplo 4.4.7.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx.

(4.324)

Por substituição, escolhemos

u=-2x\\ \Rightarrow du=-2dx.

(4.325)

Logo,

$\displaystyle\int 0^{1}e^{-2x}\,dx$	$\displaystyle=\int_{u(0)}^{u(1)}e^{u}\frac{du}{-2}$	(4.326)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int_{0}^{-2}e^{u}du$	(4.327)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{0}^{-2}$	(4.328)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\left(e^{-2}-e^{0}\right)$	(4.329)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2}.$	(4.330)

Alternativamente, podemos calcular a integral indefinida primeiramente e, então, usar o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva obtida. Ou seja, temos

$\displaystyle\int e^{-2x}\,dx$	$\displaystyle=\int e^{u}\frac{du}{-2}$	(4.331)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int e^{u}\,du$	(4.332)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}e^{u}+C$	(4.333)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C.$	(4.334)

Então, do Teorema Fundamental do Cálculo, temos

$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx$	$\displaystyle=\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{1}$	(4.335)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}e^{-2}+\frac{1}{2}e^{0}$	(4.336)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2},$	(4.337)

como esperado.

4.4.4 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(4.338)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,dx$		(4.339)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,\quad r\neq-1$		(4.340)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln u+C$		(4.341)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(4.342)
	$\displaystyle\int a^{u}\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(4.343)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$		(4.344)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,dx=\operatorname{sen}(u)+C$		(4.345)
	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(u)\,dx=\ln\|\sec(u)\|+C$		(4.346)
	$\displaystyle\int\operatorname{cotg}(u)\,dx=\ln\|\operatorname{sen}(u)\|+C$		(4.347)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,dx=\ln\|\sec(u)+\operatorname{tg}(u)\|+C$		(4.348)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,dx=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \operatorname{cotg}(u)\|+C$		(4.349)

4.4.5 Exercícios resolvidos

ER 4.4.1.

Calcule

\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.

(4.350)

Solução.

Usamos a regra de integração por substituição

\int f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du.

(4.351)

Escolhemos

u=x-1,

(4.352)

e calculamos

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(4.353)
	$\displaystyle\Rightarrow du=dx.$		(4.354)

Então, da fórmula, obtemos

$\displaystyle\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{7}{u^{2}}\,du$	(4.355)
	$\displaystyle=7\int u^{-2}\,du$	(4.356)
	$\displaystyle=7\frac{u^{-2+1}}{-2+1}$	(4.357)
	$\displaystyle=-\frac{7}{u}$	(4.358)
	$\displaystyle=\frac{7}{1-x}+C.$	(4.359)

ER 4.4.2.

Calcule

\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx.

(4.360)

Solução.

Fazendo a substituição

	$\displaystyle u=e^{x}-1$		(4.361)
	$\displaystyle\Rightarrow du=e^{x}\,dx,$		(4.362)

temos

$\displaystyle\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1}{u}\,du$	(4.363)
	$\displaystyle=\ln\|u\|+C$	(4.364)
	$\displaystyle=\ln\|e^{x}-1\|+C.$	(4.365)

ER 4.4.3.

Calcule

\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(4.366)

Solução.

Vejamos as seguintes formas de calcular esta integral definida.

•

Solução 1: aplicando a regra de substituição em integrais definidas.

\int_{a}^{b}f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du.

(4.367)

Escolhendo, $u=1-x^{2}$ , temos $du=-2x\,dx$ . Daí, segue

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$	(4.368)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$	(4.369)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right\|% _{u=1}^{0}$	(4.370)
	$\displaystyle=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{u^{3}}\right\|_{u=1}^{0}$	(4.371)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}.$	(4.372)

•

Solução 2: calculando uma primitiva em função de $x$ . Para obtermos uma primitiva em função de $x$ , calculamos a integral indefinida

$\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.$ (4.373)

Como anteriormente, usamos a regra de substituição. Escolhendo $u=1-x^{2}$ , temos $du=-2x\,dx$ e, portanto

$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx$ $\displaystyle=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$ (4.374)

$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (4.375)

$\displaystyle=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$ (4.376)

$\displaystyle=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$ (4.377)

$\displaystyle=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C.$ (4.378)

Então, do teorema fundamental do cálculo, temos

$\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{(1-x^{2})^{3}}\right|_% {0}^{1}=\frac{1}{3}.$ (4.379)

4.4.6 Exercícios

E. 4.4.1.

Calcule

\int 2(2x+1)^{2}\,dx

(4.380)

a)

por integração direta.
b)

por substituição.

Resposta.

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{2}\,dx=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+2x+C$

E. 4.4.2.

Use o método da substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\sqrt{2x+1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x(x^{2}-2)\,dx$
d)

$\displaystyle\int(2x^{2}+4x-3)^{4}(x+1)\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle 4x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+2x+C$ ; b) $\displaystyle\frac{\sqrt{(2x+1)^{3}}}{3}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{3}(x^{2}-2)^{3}+C$ ; d) $\frac{1}{20}(2x^{2}+4x-3)^{5}+C$

E. 4.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{x+1}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3x-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{6x+1}{x+3x^{2}}\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle\ln|x+1|+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left|x-\frac{2}{3}\right|+C$ ; c) $\displaystyle\ln\left|x+3x^{2}\right|+C$ ;

E. 4.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 3e^{3x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int e^{2x-1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int xe^{x^{2}}\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle e^{3x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{2x-1}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

E. 4.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-3^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{x}{2^{x^{2}}}\,dx$

Resposta.

$\frac{1}{2}$

E. 4.4.9.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int\operatorname{sen}(2x)\,dx$

E. 4.4.16.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx.

(4.390)

Resposta.

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{2}+C$

E. 4.4.17.

Use o método da substituição para mostrar que

\int\operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{% cotg}(x)|+C.

(4.391)

Resposta.

Dica: Multiplique o numerador e o denominador por $\operatorname{cotg}(X)+\operatorname{cossec}(x)$ .

E. 4.4.18.

Calcule

\int\frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx

(4.392)

Dica: Complete o quadrado no denominador e então faça a substituição adequada.

Resposta.

$\frac{1}{2}\ln|(x-2)^{2}+4|+\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x-2% }{2}\right)+C$

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Pedro H A Konzen

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	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(4.223)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du=dx}$		(4.224)

	$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$	$\displaystyle=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$
		$\displaystyle=\frac{u^{3}}{3}+C$

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=2x$		(4.227)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du=2\,dx}$		(4.228)

	$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$	$\displaystyle=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$
		$\displaystyle=\int\sqrt{u}\,du$
		$\displaystyle=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$
		$\displaystyle=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$
		$\displaystyle=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$

$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx$	$\displaystyle=\int\operatorname{sen}(u)\,du$	(4.231)
	$\displaystyle=-\cos(u)+C$	(4.232)
	$\displaystyle=-\cos(\pi x)+C.$	(4.233)

	$\displaystyle u=\frac{x}{2}$		(4.262)
	$\displaystyle\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$		(4.263)

$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx$	$\displaystyle=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$	(4.264)
	$\displaystyle=\int 2^{u}\,\frac{du}{2}$	(4.265)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du$	(4.266)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$	(4.267)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{2^{x}}}{2\ln 2}+C$	(4.268)

	$\displaystyle u=x^{2}$		(4.270)
	$\displaystyle\Rightarrow du=2x\,dx,$		(4.271)

$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int\cdot 2^{u}\frac{du}{2}$	(4.272)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$	(4.273)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$	(4.274)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$	(4.275)

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\left.\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}\right\|_{1}^{\sqrt{2}}$	(4.276)
	$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$	(4.277)
	$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$	(4.278)
	$\displaystyle=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$	(4.279)
	$\displaystyle=\frac{1}{\ln 2}$	(4.280)

$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$	(4.374)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$	(4.375)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$	(4.376)
	$\displaystyle=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$	(4.377)
	$\displaystyle=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C.$	(4.378)