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2.5 Regas Básicas de Derivação
2.5.1 Regras da multiplicação por constante e da soma
Sejam um número real, e funções deriváveis. Temos as seguintes regras básicas de derivação:
•
De fato, pela definição da derivada temos
(2.239)
(2.240)
(2.241)
(2.242)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos esta regra de derivação:
1 from sympy import *
2 k = Symbol ( 'k' , real = True )
3 u = Function ( 'u' , real = True )
4 diff ( k * u ( x ), x )
•
De fato, temos
(2.243)
(2.244)
(2.245)
(2.246)
(2.247)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos a regra de derivação para soma:
1 from sympy import *
2 u = Function ( 'u' , real = True )
3 v = Function ( 'v' , real = True )
4 diff ( u ( x )+ v ( x ), x )
Exemplo 2.5.1.
Vejamos os seguintes casos:
a)
Para calcularmos , podemos identificar , com e . Então, usando a regra da multiplicação por constante , temos
No SymPy , podemos computar esta derivada com o comando:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 diff (2* x , x )
b)
Observamos que , com e . Então, da regra da soma , temos
No SymPy , podemos computar esta derivada com o comando:
1 from sympy import *
2 x = Symbols ( 'x' )
3 diff (2* x +3, x )
c)
Observamos que , com e . Usando a regra da subtração temos
No SymPy , podemos computar esta derivada com o comando:
1 from sympy import *
2 x = Symbols ( 'x' )
3 diff ( exp ( x )- x **2, x )
2.5.2 Regras do produto e do quociente
Sejam e funções deriváveis. Então:
•
De fato, da definição da derivada temos
(2.252)
(2.253)
(2.254)
(2.255)
(2.256)
(2.257)
(2.258)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos tal regra de derivação:
1 u = Function ( 'u' , real = True )
2 v = Function ( 'v' , real = True )
3 diff ( u ( x )* v ( x ), x )
•
De fato, da definição de derivada temos
(2.259)
(2.260)
(2.261)
(2.262)
(2.263)
(2.264)
(2.265)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos tal regra de derivação:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 u = Function ( 'u' , real = True )
4 v = Function ( 'v' , real = True )
5 simplify ( diff ( u ( x )/ v ( x ), x ))
Exemplo 2.5.2.
Vamos calcular a derivada em relação a da função de duas formas.
1.
Por expansão da expressão e utilização da regra da subtração.
(2.266)
(2.267)
(2.268)
(2.269)
2.
Utilizando a regra do produto.
Observamos que , com e . Então, da regra do produto , com e , temos
(2.270)
(2.271)
(2.272)
(2.273)
Exemplo 2.5.3.
Vamos calcular a derivada em relação a de para . Observamos que com e . Tendo em vista que e , temos da regra do quociente que
(2.274)
(2.275)
(2.276)
(2.277)
Observação 2.5.1.
Com abuso de linguagem, temos
com inteiro. No caso de , temos . No caso de , devemos ter 17 17 endnote: 17 Devido a indeterminação de e a inexistência de com negativo . Mais ainda, a regra também vale para , veja o Exemplo 2.2.2 .
Exemplo 2.5.4.
Voltando ao exemplo anterior (Exemplo 2.5.3 ), temos
Exemplo 2.5.5.
Vamos calcular a derivada em relação a de . Usando a regra do produto com e , temos
2.5.3 Lista de derivadas
(2.283)
(2.284)
(2.285)
(2.286)
(2.287)
(2.288)
(2.289)
(2.290)
(2.291)
(2.292)
(2.293)
2.5.4 Exercícios resolvidos
ER 2.5.1.
Calcule a derivada em relação a da função
Solução 0.
(2.295)
(2.296)
(2.297)
(2.298)
(2.299)
(2.300)
Com o SymPy , podemos computar esta derivada com os seguintes comandos:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 d = diff (( x **2+ x )*(1+ x **3)-2 x ^2, x )
4 simplify ( d )
Solução 0.
Da regra de derivação do quociente, temos
(2.302)
(2.303)
(2.304)
(2.305)
Com o SymPy , podemos computar esta derivada com os seguintes comandos:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 d = diff (( x **2+ x )/(1- x **3), x )
4 simplify ( d )
ER 2.5.3.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Solução 0.
A equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto é
No caso, temos e . Calculamos
(2.307)
(2.308)
(2.309)
(2.310)
(2.311)
Logo, a equação da reta tangente é
Na Figura 2.7 , temos os esboços dos gráfico da função e sua reta tangente no ponto .
Figura 2.7 : Esboço da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Com o SymPy , podemos computar a expressão desta reta tangente com os seguintes comandos:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 f = x * exp (- x )
4 x0 = 1
5 fl = diff ( f , x )
6
7 fl . subs ( x ,1)*( x -1)+ f . subs ( x ,1)
2.5.5 Exercícios
E. 2.5.1.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
Resposta
E. 2.5.2.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
Resposta
E. 2.5.3.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
Resposta
E. 2.5.4.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
Resposta
E. 2.5.5.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
Resposta
E. 2.5.6.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
Resposta
E. 2.5.7.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
Resposta
Envie seu comentárioAproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional . Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.
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2.5.1 Regras da multiplicação por constante e da soma
Sejam um número real, e funções deriváveis. Temos as seguintes regras básicas de derivação:
•
De fato, pela definição da derivada temos
(2.239)
(2.240)
(2.241)
(2.242)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos esta regra de derivação:
1 from sympy import *
2 k = Symbol ( 'k' , real = True )
3 u = Function ( 'u' , real = True )
4 diff ( k * u ( x ), x )
•
De fato, temos
(2.243)
(2.244)
(2.245)
(2.246)
(2.247)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos a regra de derivação para soma:
1 from sympy import *
2 u = Function ( 'u' , real = True )
3 v = Function ( 'v' , real = True )
4 diff ( u ( x )+ v ( x ), x )
Exemplo 2.5.1.
Vejamos os seguintes casos:
a)
Para calcularmos , podemos identificar , com e . Então, usando a regra da multiplicação por constante , temos
No SymPy , podemos computar esta derivada com o comando:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 diff (2* x , x )
b)
Observamos que , com e . Então, da regra da soma , temos
No SymPy , podemos computar esta derivada com o comando:
1 from sympy import *
2 x = Symbols ( 'x' )
3 diff (2* x +3, x )
c)
Observamos que , com e . Usando a regra da subtração temos
No SymPy , podemos computar esta derivada com o comando:
1 from sympy import *
2 x = Symbols ( 'x' )
3 diff ( exp ( x )- x **2, x )
2.5.2 Regras do produto e do quociente
Sejam e funções deriváveis. Então:
•
De fato, da definição da derivada temos
(2.252)
(2.253)
(2.254)
(2.255)
(2.256)
(2.257)
(2.258)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos tal regra de derivação:
1 u = Function ( 'u' , real = True )
2 v = Function ( 'v' , real = True )
3 diff ( u ( x )* v ( x ), x )
•
De fato, da definição de derivada temos
(2.259)
(2.260)
(2.261)
(2.262)
(2.263)
(2.264)
(2.265)
No SymPy , podemos usar os seguintes comandos para obtermos tal regra de derivação:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 u = Function ( 'u' , real = True )
4 v = Function ( 'v' , real = True )
5 simplify ( diff ( u ( x )/ v ( x ), x ))
Exemplo 2.5.2.
Vamos calcular a derivada em relação a da função de duas formas.
1.
Por expansão da expressão e utilização da regra da subtração.
(2.266)
(2.267)
(2.268)
(2.269)
2.
Utilizando a regra do produto.
Observamos que , com e . Então, da regra do produto , com e , temos
(2.270)
(2.271)
(2.272)
(2.273)
Exemplo 2.5.3.
Vamos calcular a derivada em relação a de para . Observamos que com e . Tendo em vista que e , temos da regra do quociente que
(2.274)
(2.275)
(2.276)
(2.277)
Observação 2.5.1.
Com abuso de linguagem, temos
com inteiro. No caso de , temos . No caso de , devemos ter 17 17 endnote: 17 Devido a indeterminação de e a inexistência de com negativo . Mais ainda, a regra também vale para , veja o Exemplo 2.2.2 .
Exemplo 2.5.4.
Voltando ao exemplo anterior (Exemplo 2.5.3 ), temos
Exemplo 2.5.5.
Vamos calcular a derivada em relação a de . Usando a regra do produto com e , temos
2.5.3 Lista de derivadas
(2.283)
(2.284)
(2.285)
(2.286)
(2.287)
(2.288)
(2.289)
(2.290)
(2.291)
(2.292)
(2.293)
2.5.4 Exercícios resolvidos
ER 2.5.1.
Calcule a derivada em relação a da função
Solução 0.
(2.295)
(2.296)
(2.297)
(2.298)
(2.299)
(2.300)
Com o SymPy , podemos computar esta derivada com os seguintes comandos:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 d = diff (( x **2+ x )*(1+ x **3)-2 x ^2, x )
4 simplify ( d )
Solução 0.
Da regra de derivação do quociente, temos
(2.302)
(2.303)
(2.304)
(2.305)
Com o SymPy , podemos computar esta derivada com os seguintes comandos:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 d = diff (( x **2+ x )/(1- x **3), x )
4 simplify ( d )
ER 2.5.3.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Solução 0.
A equação da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto é
No caso, temos e . Calculamos
(2.307)
(2.308)
(2.309)
(2.310)
(2.311)
Logo, a equação da reta tangente é
Na Figura 2.7 , temos os esboços dos gráfico da função e sua reta tangente no ponto .
Figura 2.7 : Esboço da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Com o SymPy , podemos computar a expressão desta reta tangente com os seguintes comandos:
1 from sympy import *
2 x = Symbol ( 'x' )
3 f = x * exp (- x )
4 x0 = 1
5 fl = diff ( f , x )
6
7 fl . subs ( x ,1)*( x -1)+ f . subs ( x ,1)
2.5.5 Exercícios
E. 2.5.1.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
Resposta
E. 2.5.2.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
Resposta
E. 2.5.3.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
Resposta
E. 2.5.4.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
c)
Resposta
E. 2.5.5.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
Resposta
E. 2.5.6.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
Resposta
E. 2.5.7.
Calcule a derivada em relação a das seguintes funções:
a)
b)
Resposta
Envie seu comentárioAproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
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