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2.2 Função derivada
A derivada de uma função em relação à variável é a função cujo valor em é
(2.73)
quando este limite existe. Dizemos que é derivável (ou diferenciável) em um ponto de seu domínio, quando o limite dado em (2.73) existe. Se isso ocorre para todo número real , dizemos que é derivável em toda parte.
Exemplo 2.2.1.
A derivada de é
(2.74)
(2.75)
(2.76)
(2.77)
Observamos que este é o caso de uma função derivável em toda parte.A Figura 2.4.
Figura 2.4: Esboços dos gráficos da função e de sua derivada .
Com o SymPy, podemos usar os seguintes comandos para verificarmos este resultado:
Uma função derivável em é contínua neste ponto. De fato, lembramos que é contínua em quando é um ponto de seu domínio e
(2.95)
Isto é equivalente a
(2.96)
ou, ainda,
(2.97)
Vamos mostrar que este é o caso quando é derivável em . Neste caso, temos
(2.98)
(2.99)
(2.100)
(2.101)
Ou seja, de fato, se é derivável em , então é contínua em .
Observação 2.2.2.
A recíproca não é verdadeira, uma função ser contínua em um ponto não garante que ela seja derivável em . No Exemplo 2.2.3, vimos que a função valor absoluto não derivável em , enquanto esta função é contínua (veja, também, o Exemplo 1.6.2).
2.2.2 Derivadas de ordens mais altas
A derivada de uma função em relação a é a função . Quando esta é diferenciável, podemos calcular a derivada da derivada. Esta é conhecida como a segunda derivada de , denotamos
(2.102)
Exemplo 2.2.4.
Seja . Então, a primeira derivada de é
(2.103)
(2.104)
(2.105)
(2.106)
De posse da primeira derivada , podemos calcular a segunda derivada de , como segue:
(2.107)
(2.108)
(2.109)
(2.110)
(2.111)
i.e. .
No SymPy, podemos computar a segunda derivada da função com o comando:
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2.2 Função derivada
A derivada de uma função em relação à variável é a função cujo valor em é
(2.73)
quando este limite existe. Dizemos que é derivável (ou diferenciável) em um ponto de seu domínio, quando o limite dado em (2.73) existe. Se isso ocorre para todo número real , dizemos que é derivável em toda parte.
Exemplo 2.2.1.
A derivada de é
(2.74)
(2.75)
(2.76)
(2.77)
Observamos que este é o caso de uma função derivável em toda parte.A Figura 2.4.
Figura 2.4: Esboços dos gráficos da função e de sua derivada .
Com o SymPy, podemos usar os seguintes comandos para verificarmos este resultado:
Uma função derivável em é contínua neste ponto. De fato, lembramos que é contínua em quando é um ponto de seu domínio e
(2.95)
Isto é equivalente a
(2.96)
ou, ainda,
(2.97)
Vamos mostrar que este é o caso quando é derivável em . Neste caso, temos
(2.98)
(2.99)
(2.100)
(2.101)
Ou seja, de fato, se é derivável em , então é contínua em .
Observação 2.2.2.
A recíproca não é verdadeira, uma função ser contínua em um ponto não garante que ela seja derivável em . No Exemplo 2.2.3, vimos que a função valor absoluto não derivável em , enquanto esta função é contínua (veja, também, o Exemplo 1.6.2).
2.2.2 Derivadas de ordens mais altas
A derivada de uma função em relação a é a função . Quando esta é diferenciável, podemos calcular a derivada da derivada. Esta é conhecida como a segunda derivada de , denotamos
(2.102)
Exemplo 2.2.4.
Seja . Então, a primeira derivada de é
(2.103)
(2.104)
(2.105)
(2.106)
De posse da primeira derivada , podemos calcular a segunda derivada de , como segue:
(2.107)
(2.108)
(2.109)
(2.110)
(2.111)
i.e. .
No SymPy, podemos computar a segunda derivada da função com o comando: