Pré-Cálculo

3 Funções 3.6 Funções trigonométricas 3.8 Propriedades de funções

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3.7 Operações com funções

3.7.1 Adição, subtração, multiplicação e divisão

Sejam dadas as funções $f$ e $g$ com domínio em comum $D$ . Então, definimos as funções

•

$(f\pm g)(x):=f(x)\pm g(x)$ para todo $x\in D$ ;
•

$(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)$ para todo $x\in D$ ;
•

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x):=\frac{f(x)}{g(x)}$ para todo $x\in D$ tal que $g(x)\neq 0$ .

Exemplo 3.7.1.

Sejam $f(x)=x^{2}$ e $g(x)=x$ . Temos:

a)

$(f+g)(x)=x^{2}+x$ e está definida em toda parte.
b)

$(g-f)(x)=x-x^{2}$ e está definida em toda parte.
c)

$(f\cdot g)(x)=x^{3}$ e está definida em toda parte.
d)

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^{2}}{x}$ e tem domínio $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ¹⁰¹⁰10Observemos que não podemos simplificar o $x$ , pois a função $y=x$ é diferente da função $y=x^{2}/x$ ..

3.7.2 Composição de funções

Sejam dadas as funções $f$ e $g$ . Definimos a função composta de $f$ com $g$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(f\circ g)(x):% =f\left(g(x)\right).

(3.146)

Seu domínio consiste dos valores de $x$ que pertençam ao domínio da $g$ e tal que $g(x)$ pertença ao domínio da $f$ (consultemos a Figura 3.32). Em notação matemática

D_{f\circ g}=\{x\in D_{g}:\leavevmode\nobreak\ g(x)\in D_{f}\}

(3.147)

Figura 3.32: Diagrama ilustrando a composição de funções.

Exemplo 3.7.2.

Sejam $f(x)=x^{2}$ e $g(x)=x+1$ . A função composta de $f$ com $g$ é

	$\displaystyle(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$		(3.148)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x+1)=(x+1)^{2}$		(3.149)

Por outra sorte, a função composta de $g$ com $f$ é

	$\displaystyle(g\circ f)(x)=g\left(f(x)\right)$		(3.150)
	$\displaystyle\text{}\quad=g(x^{2})=x^{2}+1$		(3.151)

3.7.3 Translação, contração, dilatação e reflexão de gráficos

Algumas operações com funções produzem resultados bastante característicos no gráfico de funções. Com isso, podemos usar estas operações para construir gráficos de funções mais complicadas a partir de funções básicas.

3.7.4 Translação

Dada uma função $f$ e uma constante $k\neq 0$ , temos que a o gráfico de $y=f(x)+k$ é uma translação vertical do gráfico de $f$ . Se $k>0$ , observamos uma translação vertical para cima. Se $k<0$ , observamos uma translação vertical para baixo.

Exemplo 3.7.3.

Seja $f(x)=x^{2}$ . A Figura 3.33, contém os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(x)+k=x^{2}+k$ para $k=1$ .

Figura 3.33: Esboço do gráfico de $f(x)=x^{2}$ e $y=f(x)+k$ com $k=1$ .

O seguinte código Python, faz os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(x)+k$ :

⬇

1 import matplotlib.pyplot as plt

2 from sympy import *

3 plt.style.use('bmh')

4 x = Symbol('x')

5 k = 1

6 f = Lambda(x, x**2)

7 p = plot(f(x),(x,-2,2),line_color="gray",show=False)

8 q = plot(f(x)+k,(x,-2,2),line_color="blue",show=False)

9 p.extend(q)

10 p.title = (f"$k = {k}$")

11 p.xlabel = '$x$'

12 p.ylabel = '$y$'

13 p[0].label = "$f(x) = x^2$"

14 p[1].label = "$f(x)+k$"

15 p.legend = True

16 p.show()

Alterare o valor de k e a função f para analisar outros casos!

Translações horizontais de gráficos podem ser produzidas pela soma de uma constante não nula ao argumento da função. Mais precisamente, dada uma função $f$ e uma constante $k\neq 0$ , temos que o gráfico de $y=f(x+k)$ é uma translação horizontal do gráfico de $f$ em $k$ unidades. Se $k>0$ , observamos uma translação horizontal para a esquerda. Se $k<0$ , observamos uma translação horizontal para a direita.

Exemplo 3.7.4.

Seja $f(x)=x^{2}$ . A Figura 3.34, contém os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(x+k)=(x+k)^{2}$ para $k=1$ .

Figura 3.34: Esboço do gráfico de $f(x)=x^{2}$ e $f(x+k)$ com $k=1$ .

O seguinte código Python, faz os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(x+k)$ :

⬇

1 import matplotlib.pyplot as plt

2 from sympy import *

3 plt.style.use('bmh')

4 x = Symbol('x')

5 k = 1

6 f = Lambda(x, x**2)

7 p = plot(f(x),(x,-3,3),line_color="gray",show=False)

8 q = plot(f(x+k),(x,-3,3),line_color="blue",show=False)

9 p.extend(q)

10 p.title = (f"$k = {k}$")

11 p.xlabel = '$x$'

12 p.ylabel = '$y$'

13 p[0].label = "$f(x) = x^2$"

14 p[1].label = "$f(x)+k$"

15 p.legend = True

16 p.show()

Altere o valor de k e a função f para analisar outros casos!

3.7.5 Dilatação e contração

Sejam dadas uma função $f$ e uma constante $\alpha$ . Então, o gráfico de:

•

$y=\alpha f(x)$ é uma dilatação vertical do gráfico de $f$ , quando $\alpha>1$ ;
•

$y=\alpha f(x)$ é uma contração vertical do gráfico de $f$ , quando $0<\alpha<1$ ;
•

$y=f(\alpha x)$ é uma contração horizontal do gráfico de $f$ , quando $\alpha>1$ ;
•

$y=f(\alpha x)$ é uma dilatação horizontal do gráfico de $f$ , quando $0<\alpha<1$ .

Exemplo 3.7.5.

Seja $f(x)=x^{2}$ . A Figura 3.35, contém os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $(\alpha\cdot f)(x)=\alpha\cdot x^{2}$ para $\alpha=2$ .

Figura 3.35: Esboço do gráfico de $f(x)=x^{2}$ e $(\alpha\cdot f)(x)$ com $\alpha=2$ .

O seguinte código Python, faz os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $(\alpha\cdot f)(x)$ :

⬇

1 import matplotlib.pyplot as plt

2 from sympy import *

3 plt.style.use('bmh')

4 x = Symbol('x')

5 alpha = 2

6 f = Lambda(x, x**2)

7 p = plot(f(x),(x,-2,2),line_color="gray",show=False)

8 q = plot(alpha * f(x),(x,-2,2),line_color="blue",show=False)

9 p.extend(q)

10 p.title = (f"$\\alpha = {alpha}$")

11 p.xlabel = '$x$'

12 p.ylabel = '$y$'

13 p[0].label = "$f(x) = x^2$"

14 p[1].label = "$(\\alpha\\cdot f)(x)$"

15 p.legend=True

16 p.show()

Alterare o valor de alpha e a função f para estudar outros casos!

Exemplo 3.7.6.

Seja $f(x)=x^{3}$ . A Figura 3.36, contém os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(\alpha\cdot x)=(\alpha\cdot x)^{3}$ para $\alpha=\frac{1}{2}$ .

Figura 3.36: Esboço do gráfico de $f(x)=x^{3}$ e $f(\alpha\cdot x)$ com $\alpha=\frac{1}{2}$ .

O seguinte código Python, faz os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(\alpha\cdot x)$ :

⬇

1 import matplotlib.pyplot as plt

2 from sympy import *

3 plt.style.use('bmh')

4 x = Symbol('x')

5 alpha = 0.5

6 f = Lambda(x, x**3)

7 p = plot(f(x),(x,-4,4),ylim=[-9,9],line_color="gray",show=False)

8 q = plot(f(alpha*x),(x,-4,4),ylim=[-9,9],line_color="blue",show=False)

9 p.extend(q)

10 p.title = (f"$\\alpha = {alpha}$")

11 p.xlabel = '$x$'

12 p.ylabel = '$y$'

13 p[0].label = "$f(x) = x^3$"

14 p[1].label = "$f(\\alpha\\cdot x)$"

15 p.legend=True

16 p.show()

Altere o valor de alpha e a função f para estudarmos outros casos!

3.7.6 Reflexão

Seja dada uma função $f$ . O gráfico da função $y=-f(x)$ é uma reflexão em torno do eixo das abscissas do gráfico da função $f$ . Já, o gráfico da função $y=f(-x)$ é uma reflexão em torno do eixo das ordenadas do gráfico da função $f$ .

Exemplo 3.7.7.

Seja $f(x)=x^{2}-2x+2$ . A Figura 3.38, contém os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $-f(x)=-x^{2}+2x-2$ .

Figura 3.37: Gráfico de $f(x)=x^{2}-2x+2$ e $-f(x)$ .

O seguinte código Python, faz os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $-f(x)$ :

⬇

1 import matplotlib.pyplot as plt

2 from sympy import *

3 plt.style.use('bmh')

4 x = Symbol('x')

5 f = Lambda(x, x**2-2*x+2)

6 p = plot(f(x),(x,-1,3),ylim=[-5,5],line_color="gray",show=False)

7 q = plot(-f(x),(x,-1,3),ylim=[-5,5],line_color="blue",show=False)

8 p.extend(q)

9 p.xlabel = '$x$'

10 p.ylabel = '$y$'

11 p[0].label = "$f(x)$"

12 p[1].label = "$-f(x)$"

13 p.legend=True

14 p.show()

Altere a função f para estudar outros casos!

Exemplo 3.7.8.

Seja $f(x)=x^{2}-2x+2$ . A Figura LABEL:fig:ex_refley, contém os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(-x)=x^{2}+2x+2$ .

Figura 3.38: Esboço do gráfico de $f(x)=x^{2}-2x+2$ e $f(-x)$ .

O seguinte código Python, faz os esboços dos gráficos de $f(x)$ e $f(-x)$ :

⬇

1 import matplotlib.pyplot as plt

2 from sympy import *

3 plt.style.use('bmh')

4 x = Symbol('x')

5 f = Lambda(x, x**2-2*x+2)

6 p = plot(f(x),(x,-1,3),line_color="gray",show=False)

7 q = plot(f(-x),(x,-3,1),line_color="blue",show=False)

8 p.extend(q)

9 q = plot(-1,(x,-3,3),line_color="",show=False)

10 p.extend(q)

11 p.xlabel = '$x$'

12 p.ylabel = '$y$'

13 p[0].label = "$f(x)$"

14 p[1].label = "$f(-x)$"

15 p.legend=True

16 p.show()

Altere a função f para estudar outros casos!

3.7.7 Exercícios resolvidos

ER 3.7.1.

Sejam

f(x)=\frac{x^{2}-\sqrt{x-1}}{x}\quad\text{e}\quad g(x)=x^{2}+1.

(3.152)

Determine a função composta $(f\circ g)$ e seu domínio.

Resolução.

Começamos determinando a função composta

	$\displaystyle(f\circ g)(x):=f(g(x))$		(3.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x^{2}+1)$		(3.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(x^{2}+1)^{2}-\sqrt{x^{2}+1-1}}{x^{2}+1}$		(3.155)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}+2x^{2}+1-\sqrt{x^{2}}}{x^{2}+1}$		(3.156)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{4}+2x^{2}+1-\|x\|}{x^{2}+1}.$		(3.157)

Agora, observamos que $g$ está definida em toda parte e tem imagem $[1,\infty)$ . Como o domínio da $f$ é $[1,\infty)$ , temos que $(f\circ g)$ está definida em toda parte.

ER 3.7.2.

Faça o esboço do gráfico de $f(x)=2(x-1)^{3}+1$ .

Resolução.

Começamos trançando o gráfico de $f_{1}(x)=x^{3}$ . Então, obtemos o gráfico de $f_{2}(x)=(x-1)^{3}$ por translação de uma unidade à direita. O gráfico de $f_{3}(x)=2(x-1)^{3}$ é obtido por dilatação vertical de 2 vezes. Por fim, o gráfico de $f_{4}(x)=2(x-1)^{3}+1$ é obtido por translação de uma unidade para cima. Veja a Figura 3.39.

Figura 3.39: Construção do esboço do gráfico de $f(x)=2(x-1)^{3}+1$ .

E. 3.7.1.

Determine o domínio e a imagem da função

f(x)=\sqrt{x^{2}-1}

(3.158)

Resolução.

A função $f$ é a composição $f=g\circ h(x)$ das funções

	$\displaystyle g(x)=\sqrt{x}$		(3.159)
	$\displaystyle h(x)=x^{2}-1$		(3.160)

A $g$ têm domínio $D(g)=(0,\infty)$ , enquanto que a $h$ está definida em toda parte. Logo, para estar no domínio da $f$ , precisamos que $h(x)\geq 0$ , i.e.

x^{2}-1\geq 0

(3.161)

Fazendo o estudo de sinal da função $h$ , concluímos que $h(x)$ é positiva no conjunto $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ . Concluímos que o domínio da função $f$ é $D(f)=\{x\in\mathbb{R}:\leavevmode\nobreak\ x\not\in(-1,1)\}$ .

3.7.8 Exercícios

E. 3.7.2.

Dadas as funções $f(x)=x^{2}+2x$ e $g(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$ . Determine as seguintes funções e forneça seus respectivos domínios.

a)

$(f+g)(x)$
b)

$(f-g)(x)$
c)

$(f\cdot g)(x)$
d)

$(f\div g)(x)$

a) $\displaystyle(f+g)(x)=\frac{x^{4}-x^{2}+2x^{3}-2x+1}{x^{2}-1}$ , $D=\mathbb{R}\setminus{-1,1}$ ; b) $\displaystyle(f+g)(x)=\frac{x^{4}-x^{2}+2x^{3}-2x-1}{x^{2}-1}$ , $D=\mathbb{R}\setminus{-1,1}$ ; c) $\displaystyle(f\cdot g)(x)=\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-1}$ , $D=\mathbb{R}\setminus{-1,1}$ ; d) $\displaystyle(f\div g)(x)=x^{4}-x^{2}+2x^{3}-2x$ , $D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ .

E. 3.7.3.

Seja $f(x)=2^{x}-\sqrt{x-1}+x^{3}$ . Escreva a regra e determine o domínio das seguintes funções:

a)

$f(x)+1$
b)

$2\cdot f(x)$
c)

$f(2x)$
d)

$f(-x)$

a) $f(x)+1=2^{x}-\sqrt{x-1}+x^{3}+1$ , $D=[1,\infty)$ ; b) $2f(x)=2^{x+1}-2\sqrt{x-1}+2x^{3}$ , $D=[1,\infty)$ ; c) $f(2x)=4^{x}-\sqrt{2x-1}+2^{3}x^{3}$ , $D=[\frac{1}{2},\infty)$ ; d) $f(-x)=2^{-x}-\sqrt{-x-1}-x^{3}$ , $D=(-\infty,-1]$

E. 3.7.4.

Sejam $f(x)=\sqrt{x}+1$ e $g(x)=x^{2}-1$ . Determine a função $(f\circ g)$ e seu domínio.

$(f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}-1}+1$ ; domínio: $(-\infty,1]\cup[1,\infty)$ .

E. 3.7.5.

Faça um esboço do gráfico de $g(x)=2x^{3}-1$ .

Dica: verifique sua resposta usando Python e SymPy.

E. 3.7.6.

Faça um esboço do gráfico de $h(x)=-1/(x^{2}+2x+1)$ .

Dica: verifique sua resposta usando Python e SymPy.

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3.7 Operações com funções

3.7.1 Adição, subtração, multiplicação e divisão

Exemplo 3.7.1.

3.7.2 Composição de funções

Exemplo 3.7.2.

3.7.3 Translação, contração, dilatação e reflexão de gráficos

3.7.4 Translação

Exemplo 3.7.3.

Exemplo 3.7.4.

3.7.5 Dilatação e contração

Exemplo 3.7.5.

Exemplo 3.7.6.

3.7.6 Reflexão

Exemplo 3.7.7.

Exemplo 3.7.8.

3.7.7 Exercícios resolvidos

ER 3.7.1.

Resolução.

ER 3.7.2.

Resolução.

E. 3.7.1.

Resolução.

3.7.8 Exercícios

E. 3.7.2.

E. 3.7.3.

E. 3.7.4.

E. 3.7.5.

E. 3.7.6.

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