1.6 Aplicação: EDP de Advecção-Difusão

Em construção

Consideramos a equação de advecção-Difusão

no domínio $x\in [\mathrm{0,1}]$, com $c\ne 0$, $ϵ>0$ e condições de contorno de Dirichlet⁹⁹endnote: ⁹Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 - 1859, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. homogêneas.

A formulação padrão de elementos finitos de Galerkin consiste em: encontrar $u_h\in V_h$ tal que

para todo $v_h\in V_h$. Aqui, vamos assumir que o espaço de elementos finitos $V_h$ da funções $v_h$ lineares por partes com $v(0)=v(1)=0$. No caso de (1.174), temos a forma bilinear

e a forma linear

Para problema dominados pela advecção/convecção ($ϵ⋘1$), soluções da formulação padrão de elementos finitos tem grande dificuldade de tratar as camadas (regiões de rápida variação) que tipicamente fazem parte da solução do problema de advecção-difusão. A alternativa é usar os chamados métodos de elementos finitos estabilizados.

O método SUPG (streamline upwind Petrov-Galerkin) é uma formulação de estabilização para elementos finitos. A formulação de elementos finitos estabilizada é construída com a função teste $v_h+\tau c{v}_h^{\prime }\in V_h$, $\tau >0$, o que fornece

Que por intergração por partes e das condições de contorno fornece

Observando que para elementos lineares $v_h^{\prime \prime }=0$, temos a formulação de elementos finitos com SUPG: encontrar $u_h\in V_h$ tal que

para todo $v_h\in V_h$, sendo a forma bilinear

Uma escolha rasoável é $\tau =h/2$ de forma que $\tau \to 0$ quando $h\to 0$.