3.5 Aplicação: Equação do calor

Em revisão

Nesta seção, vamos construir um código MPI para a resolução da equação do calor pelo método das diferenças finitas. Como um caso teste, vamos considerar a equação do calor

com condições de contorno

e condições iniciais

onde, $u=u(t,x)$.

Seguindo o método de Rothe³³endnote: ³Erich Hans Rothe, 1895 - 1988, matemático alemão. Fonte: Wikipédia.⁴⁴endnote: ⁴Também chamado de método das linhas., vamos começar pela discretização no tempo. Para tanto, vamos usar a notação $t_m=m\cdot h_t$, $m=\mathrm{0,1,2},\mathrm{\dots },M$, onde $h_t$ é o passo no tempo e $M$ o número total de iterações no tempo. Usando o método de Euler⁵⁵endnote: ⁵Leonhard Paul Euler, 1707 - 1783, matemático suíço. Fonte: Wikipédia., a equação (3.15) é aproximada por

onde $u(t_0,x)=u(0,x)$, dada pela condição inicial (3.17).

Agora, vamos denotar $x_i=i{h}_x$, $i=\mathrm{0,1,2},\mathrm{\dots },I$, onde $h_x=1/I$ é o tamanho da malha (passo espacial). Então, usando a aproximação por diferenças finitas centrais de ordem 2, obtemos

para $i=\mathrm{1,2},\mathrm{\dots },I-1$, observando que, das condições de contorno (3.16), temos

Em síntese, denotando $u_i^m\approx u(t_m,x_i)$, temos que uma aproximação da solução do problema de calor acima pode ser calculada pela seguinte iteração

com $u_i^0=\mathrm{sen}(\pi x_i)$ e $u_0^m=u_I^m=0$.

Para construirmos um código MPI, vamos fazer a distribuição do processamento pela malha espacial entre os $n_p$ processos disponíveis. Mais precisamente, cada processo $p=\mathrm{0,1,2},\mathrm{\dots },n_p-1$, computará a solução $u_i^m$ nos ponto de malha $i=i_p,i_p+1,\mathrm{\dots },f_p$, onde

com $f_{n_p-1}=I$. Ainda, por simplicidade e economia de memória computacional, vamos remover o superíndice, denotando por $u$ a solução na iteração corrente e por $u^0$ a solução na iteração anterior.

Neste caso, a cada iteração $m=\mathrm{0,1,2},\mathrm{\dots },M$, o processo $p=0$, irá computar

para $j=1,\mathrm{\dots },f_0$, com as condições de contorno

Ou seja, este passo requer a comunicação entre o processo 0 e o processo 1.

Os processos $p=\mathrm{1,2},\mathrm{\dots },n_p-2$ irão computar

para $j=i_p+1,\mathrm{\dots },f_p$, com as condições de contorno

Logo, este passo requer a comunicação entre os processos $p-1$, $p$ e $p+1$.

Ainda, o processo $p=n_p-1$ deve computar

para $j=i_{n_p-1}+1,\mathrm{\dots },f_{n_p-1}-1$, com as condições de contorno

O que requer a comunicação entre os processos $n_p-2$ e o $n_p-1$.

O código abaixo calor.cc é uma implementação MPI deste algoritmo. Cada processo aloca e computa a solução em apenas um pedaço da malha, conforme descrito acima. As comunicações entre os processos ocorrem apenas nas linhas 60-80. Verifique!

No código acima, as comunicações entre os processos foram implementadas de forma cíclica. A primeira a ocorrer é o envio de $u_{f_p}^0$ do processo zero (linhas 61-62) e o recebimento de $u_{i_p}^0$ pelo processo 1 (linhas 67-69). Enquanto essa comunicação não for completada, todos os processos estarão aguardando, sincronizados nas linhas 67-69 e 79-81. Ocorrida a comunicação entre os processos 0 e 1, ocorrerá a comunicação entre o 1 e o 2, entre o 2 e o 3 e assim por diante, de forma cíclica (linhas 67-71 e 79-81).

As últimas comunicações também ocorrem de forma cíclica, começando pelo envio de $u_{i_p+1}^0$ pelo processo $n_p-1$ (linhas 81-83) e o recebimento de $u_{f_p+1}^0$ pelo processo $n_p-2$ (linhas 73-75). Em sequência, ocorrem as comunicações entre o processo $n_p-2$ e o processo $n_p-3$, entre o $n_p-3$ e o $n_p-4$, até o término das comunicações entre o processo 1 (linhas 76-77) e o processo 0 (linhas 63-65).