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2 Linguagem de Programação 2.4 Dados Numéricos e Operações 2.6 Sequência de Caracteres

2.5 Dados Booleanos

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Em Python, os valores lógicos são o True (verdadeiro) e o False (falso). Pertencem a uma subclasse dos números inteiros, com 1 correspondendo a True e 0 a False. Em referência ao matemático George Boole¹⁶¹⁶endnote: ¹⁶George Boole, 1815 - 1864, matemático britânico. Fonte: Wikipédia: George Boole., estes dados são chamados de booleanos.

Normalmente, eles aparecem como resultado de expressões lógicas. Por exemplo:

⬇

12/3 < 3/4

True

⬇

17/5 > 13/9

False

2.5.1 Operadores de Comparação

Python possui operadores de comparação que retornam valores lógicos, são eles:

•

< menor que

⬇

12 < 3
```
True
```
•

<= menor ou igual que

⬇

14 <= 2**2
```
True
```
•

> maior que

⬇

15 > 7
```
False
```
•

>= maior ou igual que

⬇

12*5 >= 10
```
True
```
•

== igual a

⬇

19**2 == 81
```
True
```
•

!= diferente de

⬇

181 != 9**2
```
False
```

Observação 2.5.1.

(Precedência de operações.) Os operadores de comparação <, <=, >, >=, ==, != tem a mesma ordem de precedência e estão abaixo da precedência dos operadores numéricos básicos.

Exemplo 2.5.1.

A equação da circunferência de centro no ponto $(a,b)$ e raio $r$ é

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

(2.37)

Um ponto $(x,y)$ está no disco determinado pela circunferência, quando

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq r^{2}

(2.38)

e está fora do disco, noutro caso.

O seguinte código verifica se o ponto dado $(x,y)=(1,1)$ está no disco determinado pela circunferência de centro $(a,b)=(0,0)$ e raio $r=1$ .

⬇

1# ponto

2x = 1

3y = 1

5# centro circunferência

6a = 0

7b = 0

8# raio circunferência

9raio = 1

11# verifica se está no disco

12v = (x-a)**2 + (y-b)**2 <= raio**2

14# imprime resposta

15print('O ponto está no disco?', v)

Comparação entre Pontos Flutuantes

Números decimais são arredondados para o número float(ponto flutuante) mais próximo na máquina¹⁷¹⁷endnote: ¹⁷Consulte a Subseção 2.4.2 para mais informações.. Com isso, a comparação direta entre pontos flutuantes não é recomendada, em geral. Por exemplo,

⬇

10.1 + 0.2 == 0.3

False

Inesperadamente, este resultado é esperado na aritmética de ponto flutuante! :)

O que ocorre acima, é que ao menos um dos números (na verdade todos) não tem representação exata como ponto flutuante. Isso faz com que a soma 0.1 + 0.2 não seja exatamente computada igual a 0.3.

O erro de arredondamento é de aproximadamente¹⁸¹⁸endnote: ¹⁸Épsilon de máquina $\varepsilon\approx 2,22\times 10^{-16}$ . $10^{-16}$ para cada entrada. Conforme operamos sobre pontos flutuantes este erro pode crescer. Desta forma, o mais apropriado para comparar se dois pontos flutuantes são iguais (dentro do erro de arrendamento de máquina) é verificando se a distância entre eles é menor que uma precisão desejada, por exemplo, $10^{-15}$ . No caso acima, podemos usar o método abs:

⬇

1abs(x - 0.3) <= 1e-15

True

2.5.2 Operadores Lógicos

Python tem os operadores lógicos (ou operadores booleanos):

•

and e lógico

⬇

13 > 4 and 3 <= 4
```
False
```
Tabela 2.1: Tabela verdade do and.

A B A and B

True True True

True False False

False True False

False False False
•

or ou lógico

⬇

13 > 4 or 3 <= 4
```
True
```
Tabela 2.2: Tabela verdade do or.

A B A or B

True True True

True False True

False True True

False False False
•

not negação lógica

⬇

1not(3 < 2)
```
True
```
Tabela 2.3: Tabela verdade do not.

A not A

True False

False True

A	B	A and B
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	False

A	B	A or B
True	True	True
True	False	True
False	True	True
False	False	False

A	not A
True	False
False	True

Observação 2.5.2.

(Precedência de operações.) Os operadores booleanos tem a seguinte ordem de precedência:

1.

not
2.

and
3.

or

São executados em ordem de precedência menor que os operadores de comparação.

Exemplo 2.5.2.

Sejam os discos determinados pelas circunferências

	$\displaystyle c_{1}$	$\displaystyle:(x-a_{1})^{2}+(y+b_{1})^{2}=r_{1}^{2},$		(2.39)
	$\displaystyle c_{2}$	$\displaystyle:(x-a_{2})^{2}+(y+b_{2})^{2}=r_{2}^{2},$		(2.40)

onde $(a_{1},b_{1})$ e $(a_{2},b_{2})$ são seus centros e $r_{1}$ e $r_{2}$ seus raios, respectivamente.

Assumindo, que a circunferência $c_{1}$ tem

c_{1}:(a_{1},b_{1})=(0,0),r_{1}=1

(2.41)

e a circunferência $c_{2}$ tem

c_{2}:(a_{2},b_{2})=(1,1),r_{2}=1,

(2.42)

o seguinte código verifica se o ponto $(x,y)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ pertence a interseção dos discos determinados por $c_{1}$ e $c_{2}$ .

⬇

1# circunferência c1

2a1 = 0

3b1 = 0

4r1 = 1

6# circunferência c2

7a2 = 1

8b2 = 1

9r2 = 1

11# ponto obj

12x = 0.5

13y = 0.5

15# está em c1?

16em_c1 = (x-a1)**2 + (y-b1)**2 <= r1**2

18# está em c2?

19em_c2 = (x-a2)**2 + (y-b2)**2 <= r2**2

21# está em c1 e c2?

22resp = em_c1 and em_c2

23print('O ponto está na interseção de c1 e c2?', resp)

Observação 2.5.3.

(Ou exclusivo.) Presente em algumas linguagens, Python não tem um operador xor (ou exclusivo). A tabela verdade do ou exclusivo é

A	B	A xor B
True	True	False
True	False	True
False	True	True
False	False	False

A operação xor pode ser obtida através de expressões lógicas usando-se apenas os operadores and, or e not. Consulte o Exercício 2.5.9.

2.5.3 Exercícios

E. 2.5.1.

Considerando a linguagem Python, complete as lacunas.

a)

True é o valor lógico verdadeiro.
b)

False é o valor lógico falso.
c)

O operador de igualdade é o ==.
d)

1.275 != 1.275 retorna o valor booleano False.

Resposta.

a) True. b) falso. c) ==. d) !=.

E. 2.5.2.

Sem implementar, complete as lacunas.

a)

8 * 2 < 3 retorna o valor False.
b)

2 * 8 > 9 retorna o valor True.
c)

4 >= 3**2 retorna o valor False.
d)

16 == 16 // 8 retorna o valor False.

Resposta.

a) False. b) True. c) False. d) False.

E. 2.5.3.

Complete as lacunas.

a)

True and True retorna o valor True.
b)

False or True retorna o valor True.
c)

not (5 > 3) retorna o valor False.

Resposta.

a) True. b) True. c) False.

E. 2.5.4.

Compute as seguintes expressões:

a)

$1-6>-6$
b)

$\frac{3}{2}<\frac{4}{3}$
c)

$31,415\times 10^{-1}==3.1415$
d)

$\displaystyle 2,7128\geq 2+\frac{2}{3}$
e)

$\displaystyle\frac{3}{2}+\frac{7}{8}\leq\frac{24+14}{16}$

Resposta.

a) 1 - 6 > -6 b) 3/2 < 4/3 c) 31.415e-1 == 3.1415 d) 2.7128 >= 2 2/3+ e) 3/2 7/8 <= (24 + 14)/16+

E. 2.5.5.

Desenvolva um código que verifica se um número inteiro $x$ dado é par. Teste-o para diferentes valores de $x$ .

Resposta.

⬇

1x = 3

2print('É par?')

3print(x % 2 == 0)

E. 2.5.6.

Considere um quadrado de lado $l$ dado e uma circunferência de raio $r$ dado. Desenvolva um código que verifique se a área do quadrado é menor que a da circunferência. Teste o seu código para diferentes valores de $l$ e $r$ .

Resposta.

⬇

1# quadrado

2ladoQuad = 1

3areaQuad = ladoQuad**2

5# aprox pi

6pi = 3.14159

8# circunferência

9raioCirc = 1

10areaCirc = pi * raioCirc**2

12# verifica

13resp = areaQuad < areaCirc

14print('Área do quadrado é menor que da circunferência?')

15print(resp)

E. 2.5.7.

Considere o plano cartesiano $x-y$ . Desenvolva um código que verifique se um ponto $(x,y)$ dado está entre a curvas $y=(x-1)^{3}$ e o eixo das abscissas¹⁹¹⁹endnote: ¹⁹Eixo $x$ .. Verifique seu código para diferentes pontos $(x,y)$ .

Resposta.

⬇

1# ponto

2x = 2

3y = 0.5

5# y >= 0 e y <= f(x) ?

6resp1 = y >= 0 and y <= (x-1)**3

7# y >= f(x) e y <= 0 ?

8resp2 = y >= (x-1)**3 and y <= 0

10# conclusão

11print("O ponto está entre as curvas?")

12print(resp1 or resp2)

E. 2.5.8.

Sejam $A$ e $B$ valores booleanos. Verifique se as seguintes expressões são verdadeiras (True) ou falsas (False):

a)

A or A == A
b)

A and not(A) == True
c)

A or (A and B) == A
d)

not(A and B) == (not(A) or not(B))
e)

not(A or B) == (not(A) or not(B))

Resposta.

a) True. b) False. c) True. d) True. e) False.

E. 2.5.9.

Sejam A e B valores booleanos dados. Escreva uma expressão lógica que emule a operação xor (ou exclusivo) usando apenas os operadores and, or e not. Dica: consulte a Observação 2.5.3.

Resposta.

(A or B) and not(A and B)

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