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5 Arranjos e Matrizes 5.2 Vetores 5.4 Matrizes

5.3 Arranjos Multidimensionais

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Um arranjo numpy.array é um tabelamento de elementos de um mesmo tipo. Os elementos são organizados por eixos indexados (em inglês, axes). Enquanto que nas seções anteriores nos restringimos a arrays unidimensionais (de apenas um eixo), aqui, vamos estudar a alocação e manipulação de arranjos de vários eixos.

5.3.1 Alocação, Indexação e Fatiamento

A alocação de um numpy.array com mais de um eixo pode ser feita usando-se de listas encadeadas. Por exemplo,

⬇

1>>> import numpy as np

2>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])

3>>> a

4array([[1, 2, 3],

5 [4, 5, 6]])

cria o arranjo a de dois eixos, enquanto

⬇

1>>> b = np.array([[[1,2],[3,4]],[[-1,-2],[-3,-4]]])

2>>> b

3array([[[ 1, 2],

4 [ 3, 4]],

6 [[-1, -2],

7 [-3, -4]]])

cria o arranjo b de três eixos. Para fazer um paralelo com a matemática, o arranjo a é similar (mas, não equivalente) a matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{2,3}$

A=\begin{bmatrix}1&2&3\\ 4&5&6\end{bmatrix},

(5.32)

e o arranjo b é similar (mas, não equivalente) ao tensor $B=[b_{i,j,k}]_{i,j,k=1}^{2,2,2}$ .

A propriedade .shape é um tuple contendo o tamanho de cada eixo. Por exemplo,

⬇

1>>> a.shape

2(2, 3)

3>>> a.shape[0]

5>>> a.shape[1]

informa que a tem dois eixos, o primeiro com tamanho $2$ e o segundo com tamanho $3$ . Um paralelo com matrizes, dizemos que a tem duas linhas e três colunas. No caso do arranjo b, temos

⬇

1>>> b.shape

2(2, 2, 2)

3>>> b.shape[2]

o que nos informa tratar-se de um array de três eixos, cada um com tamanho $2$ .

O número total de elementos de um array pode ser obtido do atributo numpy.ndarray.size. Por exemplo,

⬇

1a.size, b.size

(6, 8)

Os elementos em um arranjo são indexados por eixos e o fatiamento também pode ser feito por eixos. Por exemplo,

⬇

1>>> a

2array([[1, 2, 3],

3 [4, 5, 6]])

4>>> a[1,0]

6>>> a[0]

7array([1, 2, 3])

8>>> a[:,1]

9array([2, 5])

10>>> a[:,2:]

11array([[3],

12 [6]])

13>>> a[1,::-1]

14array([6, 5, 4])

No caso do arranjo b de três eixos, temos

⬇

1>>> b

2array([[[ 1, 2],

3 [ 3, 4]],

5 [[-1, -2],

6 [-3, -4]]])

7>>> b[1,1,0]

8-3

9>>> b[0,1]

10array([3, 4])

11>>> b[1,0,::-1]

12array([-2, -1])

5.3.2 Inicialização

O NumPy conta com várias funções para a inicialização de arrays, algumas das mais usadas são:

•

numpy.zeros inicialização com zeros

⬇

1>>> np.zeros((2,3))

2array([[0., 0., 0.],

3 [0., 0., 0.]])
•

numpy.ones inicialização com uns

⬇

1>>> np.ones((2,3,2))

2array([[[1., 1.],

3        [1., 1.],

4        [1., 1.]],

5

6       [[1., 1.],

7        [1., 1.],

8        [1., 1.]]])
•

numpy.empty inicialização com valor da memória

⬇

1>>> np.empty((2,1))

2array([[5.73021895e-300],

3 [6.95260453e-310]])

Observamos que o tamanho dos eixos é passado por um tuple.

5.3.3 Manipulação

O NumPy contém várias funções para a manipulação de arrays. Algumas das mais usadas são:

•

numpy.reshape reformatação de um arranjo.

⬇

1>>> a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])

2>>> a.reshape(3,2)

3array([[1, 2],

4 [3, 4],

5 [5, 6]])

6>>> a.reshape(-1)

7array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
•

numpy.concatenate concatena um tuple de arranjos.

⬇

1>>> a = np.array([1,2,3])

2>>> b = np.array([4,5,6])

3>>> np.concatenate((a,b))

4array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

5>>> a = a.reshape(1,-1)

6>>> b = b.reshape(1,-1)

7>>> np.concatenate((a,b))

8array([[1, 2, 3],

9 [4, 5, 6]])

10>>> np.concatenate((a,b), axis=1)

11array([[1, 2, 3, 4, 5, 6]])

5.3.4 Operações e Funções Elementares

De forma análoga a arranjos unidimensionais, as operações aritméticas e funções elementares são aplicadas elemento-a-elementos em um arranjo. Por exemplo,

⬇

1>>> a = np.array([[0.,1/6],[1/4,1/3]])

2>>> b = np.array([[0.,6],[4,3]])

3>>> np.sin(np.pi*a*b)

4array([[0.0000000e+00, 1.2246468e-16],

5 [1.2246468e-16, 1.2246468e-16]])

Multiplicação Matriz-Vetor

Dada uma matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,m}$ e um vetor $\boldsymbol{x}=(x_{i})_{i=1}^{m}$ , a multiplicação matriz-vetor $A\boldsymbol{x}$ é definida por

	$\displaystyle A\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{m}\end{bmatrix}$		(5.33i)
		$\displaystyle=\begin{bmatrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots+a_{1,m}x_{m}\\ a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots+a_{2,m}x_{m}\\ \cdots\\ a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots+a_{n,m}x_{m}\end{bmatrix}$		(5.33n)

Exemplo 5.3.1.

Considere a matriz

A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ 2&1&3\\ 0&2&1\end{bmatrix}

(5.34)

e o vetor $\boldsymbol{x}=(-1,2,1)$ . A multiplicação matriz-vetor é

	$\displaystyle A\boldsymbol{x}$	$\displaystyle=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ 2&1&3\\ 0&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\ 2\\ 1\end{bmatrix}$		(5.35g)
		$\displaystyle=(-1,3,5)$		(5.35h)

⬇

1import numpy as np

3def MatrizVetor(A, x):

4 n,m = A.shape

5 y = np.empty(n)

6 for i in range(n):

7 y[i] = 0.

8 for j in range(m):

9 y[i] += A[i,j]*x[j]

10 return y

12A = np.array([[1, -1, 2],

13 [2, 1, 3],

14 [0, 2, 1]])

15x = np.array([-1, 2, 1])

16print(MatrizVetor(A,x))

Multiplicação Matriz-Matriz

Dadas matrizes $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,p}$ e $B=[b_{i,j}]_{i,j=1}^{p,m}$ , a multiplicação matriz-matriz $A B$ é a matriz $AB=C=[c_{i,j}]_{i,j=1}^{n,m}$ de elementos

c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,k}\cdot b_{k,j}.

(5.36)

Exemplo 5.3.2.

Consideramos as matrizes

A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ 2&1&3\\ 0&2&1\end{bmatrix}

(5.37)

B=\begin{bmatrix}2&0\\ 1&2\\ 0&2\end{bmatrix}

(5.38)

A multiplicação matriz-matriz $A B$ é

\displaystyle AB

\displaystyle=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}2&\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{% 0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}1&\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}3\\ 0&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}0\\ 1&\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}2\\ 0&\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}2\end{bmatrix}

\displaystyle=\begin{bmatrix}1&2\\ 5&\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}8\\ 2&6\end{bmatrix}

(5.39j)

⬇

1def MatrizMatriz(A, B):

2 n,p = A.shape

3 m = B.shape[1]

4 C = np.empty((n,m))

5 for i in range(n):

6 for j in range(m):

7 C[i,j] = 0.

8 for k in range(p):

9 C[i,j] += A[i,k]*B[k,j]

10 return C

12A = np.array([[1, -1, 2],

13 [2, 1, 3],

14 [0, 2, 1]])

15B = np.array([[2, 0],

16 [1, 2],

17 [0, 2]])

18print(MatrizMatriz(A,B))

5.3.5 Exercícios

E. 5.3.1.

Aloque o arranjo que corresponde a matriz

A=\begin{bmatrix}-2&1&-4\\ 0&-3&2\\ -1&5&-7\\ 2&3&6\end{bmatrix}

(5.40)

Sem implementar, forneça a saída das seguintes instruções:

a)

A[2,1]
b)

A[0,2]
c)

A[-2,-2]
d)

A[3]
e)

A[3:,:]
f)

A[:,2]
g)

A[:,1:2]

Resposta.

Dica: aloque o arranjo e implemente as instruções.

E. 5.3.2.

Considere o arranjo

⬇

1A = np.array([[[-1,2,0],

2 [3,-2,1],

3 [1,-4,2]],

4 [[2,-1,0],

5 [5,-2,0],

6 [2,6,3]],

7 [[1,-1,0],

8 [7,-2,4],

9 [2,-2,1]]])

Sem implementar, forneça a saída das seguintes instruções:

a)

A[2,0,1]
b)

A[1,1,0]
c)

A[2]
d)

A[1,2]
e)

A[1:,:2,2]

Resposta.

Dica: aloque o arranjo e implemente as instruções.

E. 5.3.3.

Considere o arranjo

⬇

1>>> a = np.array([[1,2],[5,8],[2,6]])

2>>> a

3array([[1, 2],

4 [5, 8],

5 [2, 6]])

Sem implementar, escreva os seguintes arranjos derivados:

a)

a.reshape(6)
b)

a.reshape(2,3)
c)

a.reshape(-1)
d)

a.reshape(-1,3)
e)

a.reshape(3,-1)
f)

a.reshape(4,-1)

Resposta.

Dica: aloque o arranjo e implemente as instruções.

E. 5.3.4.

Considere os arranjos

⬇

1>>> a = np.array([1,2,3]).reshape(1,-1)

2>>> b = np.array([4,5,6]).reshape(-1,1)

Sem implementar, escreva os seguintes arranjos derivados:

a)

np.concatenate((a,b.reshape(1,-1)))
b)

np.concatenate((a.reshape(-1,1),b))
c)

np.concatenate((a,b.reshape(1,-1)), axis=1)
d)

np.concatenate((a.reshape(-1,1),b), axis=1)

Resposta.

Dica: aloque o arranjo e implemente as instruções.

E. 5.3.5.

Implemente uma função que recebe uma matriz (representada por um array) e retorna a sua transposta. Teste seu código para diversas matrizes com diversos formatos.

Resposta.

⬇

1import numpy as np

3def Transposta(A):

4 n,m = A.shape

5 B = np.empty((m,n))

6 for i in range(n):

7 for j in range(m):

8 B[j,i] = A[i,j]

9 return B

E. 5.3.6.

Implemente uma função que compute a multiplicação vetor-matriz

	$\displaystyle\boldsymbol{y}$	$\displaystyle=\boldsymbol{x}A$		(5.41a)
		$\displaystyle:=\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots&x_{n}\end{bmatrix}\begin{% bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix}$		(5.41g)

onde, por definição, $\boldsymbol{y}=[y_{j}]_{j=1}^{m}$ , com elementos

y_{j}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cdot a_{k,j}.

(5.42)

Resposta.

Dica: a função numpy.dot também computa a multiplicação vetor-matriz. Teste sua implementação para diferentes matriz e vetores de diferentes tamanhos.

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