Cálculo com Python¶

Nesta segunda parte do minicurso vamos estudar como calcular limites de funções de uma variável usando a biblioteca Python de matemática simbólica SymPy.

2 - Limites¶

Nesta segunda parte do minicurso vamos estudar a computar em Python:

• limites no ponto

• limites laterais

• limites no infinito

Começamos importando a biblioteca SymPy:

Agora, para fixarmos as ideias, vamos continuar nosso estudo sobre a

$f(x) = (x^3 - 3x + 2)e^{-x/4} - 1$.

Para, tanto vamos definí-la novamente:

Estamos prontos para iniciar nosso estudo sobre limites com Python.

Limites no ponto¶

Podemos usar o SymPy para calcular o limite de uma função $f(x)$ quando $x$ tende a um ponto $a$, i.e.

$\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)$.

Como exemplo, vamos calcular

$\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)$

para a função definida acima. Para tanto, podemos usar a função limit:

Note que este é o valor esperado, pois $f(x)$ é uma função contínua e já haviamos visto que $f(1) = -1$ (verifique!).

Exercício¶

Considere a seguinte a função $g(x) = 2 - \sqrt{x^2 - 1}$. Calcule

$\displaystyle \lim_{x\to -1} g(x)$.

Limites Lateriais¶

Por padrão, o comando limit computa o limite lateral pela direita. Por exemplo:

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x} = \not\exists$

mas,

$\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \frac{|x|}{x} = 1$

e, no SymPy:

Para calcularmos o limite pela esquerda, i.e.:

$\displaystyle \lim_{x\to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1$

digitamos:

Exercício:¶

Compute

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$.

Este limite existe? Caso o limite não exista, calcule os limites laterais correspondentes.

Limites no infinito¶

Também podemos usar o comando limit para computar limites no infinito. Por exemplo, vejamos o limite de:

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = -1$

Agora, vamos computar:

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x)$

(você saberia dizer quanto vale este limite?)

Opa! O

$\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = -1$

nos indica que $f(x)$, de fato, tem pelo menos mais um zero à direita de $x \approx 1,643$ (veja a discussão ao final da parte 1-funções deste minicurso). Ao plotarmos o gráfico de $f(x)$ para valor maiores de $x$, obtemos

vemos que $f(x)$ tem um zero próximo de $x = 46$. Confirmamos isso calculando:

Exercício:¶

Encontre:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$

(b) $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \left(1 + \frac{1}{2x}\right)^{x}$

Exercício:¶

Existe o $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \text{sen}~x$?

Referências¶

• [1] Python Software Fundation (US): www.python.org

• [2] Sympy - Python Library for Symbolic Mathematics: www.sympy.org

Ligações relacionadas¶

• [1] Sympy Gamma: www.sympygamma.org
• [2] Sympy Live: live.sympy.org
• [3] Jupyter: https://jupyter.org/
• [4] Binder: https://mybinder.org/

Próxima parte: 3 - Derivadas.¶

Criado em Out/2015 Última modificação: Out/2019