Cálculo com Python¶

Este é um minicurso sobre resolução de problemas de cálculo diferencial e integral usando Python e a biblioteca de matemática simbólica Sympy.

Não é necessário ter qualquer experiência na linguagem de programação Python para seguir este curso. Caso queira ter uma noção de Python antes de fazer o curso, recomendamos escolher um dos cursos grátis disponível no site Python Brasil - Python para quem está começando.

Neste minicurso você vai aprender a usar o Python para:

• manipular e graficar funções de uma variável;
• calcular limites;
• calcular derivadas;
• calcular integrais definidas e indefinidas.

Não é necessário instalar nenhum programa em seu computador para seguir este curso. O material do curso está disponível em formatos IPYNB (Jupyter NoteBook) e em HTML. Também, está disponível a seguinte ligação Binder:

Clicando na ligação acima, você tem acesso a um Jupyter NoteBook online com o material do minicurso.

1 - Funções de uma variável¶

Nesta primeira parte do minicurso Cálculo com Python, você aprenderá a:

• definir funções de uma variável real;
• computar valores de funções;
• plotar gráficos funções;
• computar zeros de funções.

Inportando a biblioteca Sympy¶

O seguinte comando importa a biblioteca de matemática simbólica Sympy. Em um computador, clique sobre a seguinte célula e digite SHIFT + ENTER para executá-la. No celular ou tablet, toque no símbolo de play no canto superior esquerdo da célula.

Definindo símbolos para variáveis e funções¶

Na sequência, vamos ver como podemos usar o Sympy para lidarmos com funções reais de uma variável real, por exemplo: $y = f(x)$. Neste contexto, os símbolos $x$ e $y$ denotam as variáveis independente e dependente, respectivamente. O símbolo $x$ pode ser definido com a função var:

Exercício:

Defina $y$ como variável simbólica.

Definindo funções¶

Vamos ver como definir uma função $y = f(x)$ para ser utilizada mais tarde. Ao longo minicurso, vamos considerar a função:

$f(x) = (x^3 - 3x + 2)e^{-x/4} - 1$.

No Python os operadores aritméticos básicos são:

+ adição

- subtração

* multiplicão

/ divisão

** potenciação

Também, muitas funções elementares já estão definidas por padrão no Sympy. Veja a lista aqui!

Para definirmos $f$, podemos usar a função Lambda como segue:

Com isso, para computar $f(1)$ digitamos:

Note que a saída aparece na linha abaixo da entrada $f(1)$. Isto é, $f(1) = -1$. Podemos, inclusive utilizar argumentos simbólicos, como:

Aqui, a saída significa que $f(x-2) = (-3x + (x-2)^3 + 8)e^{-\frac{x}{4} + \frac{1}{2}} - 1$, o que pode ser imediatamente verificado.

Exemplo:¶

Dada $g(x) = 2 - \sqrt{x^2 - 1}$, encontre $g(1)$, $g(0)$ e $g(2t)$.

Solução:

Note que o sympy assume o domínio e a imagem da função como sendo um subconjunto dos números complexos. Além disso, antes de calcularmos $g(2t)$ precisamos definir $t$ como uma variável simbólica. Para que $t$ seja tratado como uma variável real, usamos o seguinte comando:

Finalmente, computamos $g(2t)$ com:

$\blacktriangleleft$

Exercício:¶

Dada $h(x) = \left|\sqrt{x} - 1\right| - 2\text{sen}(x)$, encontre $h(\pi)$, e $h(2u)$.

Esboço do Gráfico¶

Para plotar o gráfico de uma função $f$ podemos usar o comando plot. Por exemplo, para a função $f$ definida anteriormente, temos:

• Observação 1: A "linha mágica" %matplotlib inline faz com que o gráfico apareça na mesma janela do ambiente. Sem esta linha, uma janela gráfica externa será aberta, quando disponível.

• Observação 2: O comando plot(f(x)) tenta advinhar uma caixa gráfica adequada. Podemos alterar a caixa, informando o intervalo dos pontos de abscissa que gostaríamos de ver. Por exemplo:

Exercício:¶

Faça o esboço do gráfico de $\displaystyle g(x) = 2\text{tg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ restrita ao intervalo $\displaystyle \left(-\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$.

Zeros de uma Função¶

O SymPy conta com a função solve para computar a solução de $f(x) = 0$. Por exemplo:

resolve $x^2 -1 = 0$. Entretanto a função solve não resolve diretamente a equação $f(x) = 0$ definida anteriormente. Veja o que ocorre:

A última linha da mensagem de erro nos diz que o solve não contém um algoritmo para resolver $f(x) = 0$, no caso da $f(x)$ dada. Alternativamente, podemos usar a função nsolve que usa um algoritmo numérico para encontrar uma solução para o problema.

Vejamos como usar esta função nsolve:

Na verdade, esta função $f(x)$ tem, ainda, um zero $x \approx 45,\!9162$. Discutiremos isso mais detalhadamente na próxima parte deste minicurso, quando estudarmos a computação de limites com o SymPy.

Exercício:¶

Determine os zeros de $g(x) = \text{sen}\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}$.

Referências¶

• [1] Python Software Fundation (US): www.python.org

• [2] Sympy - Python Library for Symbolic Mathematics: www.sympy.org

Ligações relacionadas¶

• [1] Sympy Gamma: www.sympygamma.org
• [2] Sympy Live: live.sympy.org
• [3] Jupyter: https://jupyter.org/
• [4] Binder: https://mybinder.org/

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Criado: Out/2015 Última modificação: Maio/2020