Método dos Elementos Finitos

1 Problemas unidimensionais 1.3 Condições de contorno 1.5 Aplicação: EDP evolutiva

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1.4 Aplicação: EDP não-linear

Em construção

Como um exemplo de aplicação do método de elementos finitos na solução de equações diferenciais parciais não-lineares, consideramos o problema de Troesch

	$\displaystyle u^{\prime\prime}=\mu\sinh(\mu u),\quad x\in(0,1),$		(1.186)
	$\displaystyle u(0)=0,\leavevmode\nobreak\ u(1)=1,$		(1.187)

onde $\mu>0$ é um parâmetro.

A formulação fraca deste problema consiste em: encontrar $u\in V:=\{v\in H^{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v(0)=0,\leavevmode\nobreak\ v(1)=1\}$ tal que

a(u,v)=L(v),\leavevmode\nobreak\ \forall v\in V_{0},

(1.188)

onde, $V_{0}=\{v\in H^{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v(0)=0,\leavevmode\nobreak\ v(1)=0\}$ e as formas bilinear $a(\cdot,\cdot)$ e linear $L(\cdot)$ são dadas por

	$\displaystyle a(u,v):=\int_{0}^{1}u^{\prime}v^{\prime}\,dx,$		(1.189)
	$\displaystyle L(v):=-\int_{0}^{1}\mu\sinh(\mu u)v\,dx.$		(1.190)

A formulação de elementos finitos deste problema consiste em: encontrar $u_{h}\in V_{h}:=\{v_{h}\in P_{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(0)=0,% \leavevmode\nobreak\ v_{h}(1)=1\}$ tal que

a(u_{h},v_{h})=-L(v_{h}),\leavevmode\nobreak\ \forall v_{h}\in V_{h,0},

(1.191)

onde $V_{h,0}=\{v_{h}\in P_{1}(I);\leavevmode\nobreak\ v_{h}(0)=0,\leavevmode% \nobreak\ v_{h}(1)=0\}$ .

Código 10: ex_mef1d_nlinear.py

⬇

1from mpi4py import MPI

3# malha

4from dolfinx import mesh

5domain = mesh.create_unit_interval(MPI.COMM_WORLD,

6 nx = 10)

7# espaço

8from dolfinx import fem

9V = fem.functionspace(domain, ('P', 1))

11# condição de contorno

12import numpy as np

13uD = fem.Function(V)

14# uD(0) = 0, uD(1) = 1

15def dirichlet_bc(x):

16 y = np.full(x.shape[1], 1.0)

17 y[np.isclose(x[0], 0.)] = 0.0

18 return y

19uD.interpolate(dirichlet_bc)

21tdim = domain.topology.dim

22fdim = tdim - 1

23domain.topology.create_connectivity(fdim, tdim)

24boundary_facets = mesh.exterior_facet_indices(domain.topology)

25boundary_dofs = fem.locate_dofs_topological(V, fdim,

26 boundary_facets)

27bc = fem.dirichletbc(uD, boundary_dofs)

29# problema mef

30import ufl

31from dolfinx import default_scalar_type

32from dolfinx.fem.petsc import NonlinearProblem

33from dolfinx.nls.petsc import NewtonSolver

35# unknown / test functions

36uh = fem.Function(V)

37v = ufl.TestFunction(V)

39# parameter

40mu = fem.Constant(domain, default_scalar_type(5))

42F = ufl.dot(ufl.grad(uh), ufl.grad(v)) * ufl.dx + (mu * ufl.sinh(mu * uh)) * v * ufl.dx

44petsc_options = {

45 "snes_type": "newtonls",

46 "snes_linesearch_type": "none",

47 "snes_atol": 1e-6,

48 "snes_rtol": 1e-6,

49 "snes_monitor": None,

50 "ksp_error_if_not_converged": True,

51 "ksp_type": "gmres",

52 "ksp_rtol": 1e-8,

53 "ksp_monitor": None,

54}

56problem = NonlinearProblem(

57 F,

58 uh,

59 bcs=[bc],

60 petsc_options=petsc_options,

61 petsc_options_prefix="nonlinpoisson",

62)

64problem.solve()

65converged = problem.solver.getConvergedReason()

66num_iter = problem.solver.getIterationNumber()

67assert converged > 0, f"Solver did not converge, got {converged}."

68print(

69 f"Solver converged after {num_iter} iterations with converged reason {converged}."

70)

1.4.1 Exercícios

Em construção

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