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4.1 Método da Potência
O método da potência é uma técnica iterativa para computar o autovalor dominante de uma matriz e um autovetor associado. Modificações do método, tornam possível sua aplicação para a determinação de outros autovalores próximos a um número dado. Desta forma, pode ser utilizá-lo em conjunto com outra técnica de aproximação de autovalores e autovetores.
4.1.1 Aproximação do autovalor dominante
Vamos denotar o espectro de uma dada matriz por
(4.1)
sendo o -ésimo autovalor de uma matriz diagonalizável6161endnote: 61Uma matriz é diagonalizável, quando tem autovetores linearmente independentes. , i.e. existe um vetor tal que
(4.2)
sendo chamado de autovetor associado a . No desenvolvimento do método da potência, vamos assumir que os autovalores podem ser ordenados da seguinte forma
(4.3)
em que o é chamado de autovalor dominante. Na sequência, vamos denotar por a transposta conjugada de , i.e. .
A iteração do método da potência consiste em
(4.4)
(4.5)
(4.6)
com dada aproximação inicial para um autovetor associado a . Quando o método é bem sucedido, tem-se que tende para um autovetor associado a . Logo, neste caso, a sequência de quocientes de Rayleigh6262endnote: 62John William Strutt, 3º Barão Rayleigh, 1842 - 1919, físico e matemático britânico. Fonte: Wikipédia: John William Strutt.
(4.7)
quando .
Convergência
Para mostrar a convergência do método, basta mostrar que converge para um autovetor associado a . Primeiramente, notamos que6363endnote: 63A afirmação segue por indução matemática.
(4.8)
Para matriz diagonalizável, temos que existe uma base de formada apenas de autovetores de . Segue que
A convergência do método da potência está condicionada a escolha de uma aproximação inicial tal que (4.9) seja tal que . Não há como saber a priori que o escolhido satisfaz essa condição e, caso não satisfaça as iterações não são convergentes. Por outro lado, em implementações computacionais, as computações sofrem de erros de arredondamento. Com isso, mesmo que na expressão (4.9), o erro de arredondamento pode fazer com que a componente na direção de não seja exatamente nula. Assim, na prática, o método da potência tende a convergir para qualquer escolha de .
Nos casos de dois autovalores dominantes, i.e.
(4.18)
temos três possibilidades:
•
se , então o método converge para qualquer autovetor no subespaço , (verifique);
•
se , então o método não converge, mas quando aplicado à matriz converge para (verifique);
Esta variação do método da potência nos permite computar o autovalor mais próximo de um número dado, . A ideia é aplicar o método para a matriz
(4.19)
Neste contexto, é chamado de deslocamento (em inglês, shift).
Notamos que se é um autopar de , então é autovalor de associado ao autovetor . De fato,
(4.20)
(4.21)
(4.22)
Isso também mostra que e têm os mesmos autovetores.
Agora, se for suficientemente próximo de , autovalor simples de , então
(4.23)
Com isso, é o autovalor dominante de e, portanto, a iteração do método da potência aplicada a fornece este autovalor. Mais especificamente, como e tem os mesmos autovetores, a iteração do método da potência inversa é dada como segue
(4.24)
(4.25)
(4.26)
onde é uma aproximação inicial para o autovetor associado ao autovalor , quando .
4.1.3 Exercícios
Em construção
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