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Matemática numérica I

4 Métodos para Sistemas Não Lineares

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4.2 Métodos quasi-Newton

Em revisão

4.2.1 Método do acorde

Em revisão

O método do acorde consiste na seguinte iteração

𝒙(1)=aprox. inicial, (4.38)
𝒙(k+1)=𝒙(k)−JF−1⁢(𝒙(1))⁢F⁢(𝒙(k)). (4.39)

Ou seja, é a iteração de Newton com jacobina constante.

Exemplo 4.2.1.

Consideremos o seguinte sistema de equações não lineares

x1⁢x22−x12⁢x2+6=0, (4.40)
x1+x12⁢x23−7=0. (4.41)

Definidas F e JF e tomando 𝒙(1)=(1.5,1.5) como aproximação inicial, computamos as iterações do método do acorde de forma a obtermos os resultados apresentados na Tabela 4.3.

k 𝒙(k) ‖𝒙(k)−𝒙∗‖
1 (−1.50,1.50) -x-
2 (−1.07,1.82) 5.3⁢e−1
3 (−1.02,1.93) 1.2⁢e−1
4 (−1.00,1.98) 5.2⁢e−2
5 (−9.98⁢e−1,2.00) 1.8⁢e−2
6 (−9.98⁢e−1,2.00) 4.7⁢e−3
7 (−9.99⁢e−1,2.00) 9.0⁢e−4
8 (−1.00,2.00) 7.4⁢e−4
9 (−1.00,2.00) 4.3⁢e−4
Tabela 4.3: Resultados referentes ao Exemplo 4.2.1.

4.2.2 Jacobiana aproximada

Em revisão

A jacobiana JF⁢(𝒙) de uma dada função F⁢(𝒙)=(f1⁢(𝒙),f2⁢(𝒙),…,fn⁢(𝒙)) é a matriz cujo elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna é

∂fi∂xj=limh→0fi⁢(𝒙+𝒆j⁢h)−fi⁢(𝒙)h, (4.42)

onde 𝒆j é o j-ésimo vetor da base canônica de ℝn, i.e. 𝒆j=(0,…⁢,0,1,0,…⁢,0) com 1 na j-ésima posição.

Com isso, podemos computar uma jacobiana aproximada tomando

∂fi∂xj≈fi⁢(𝒙+𝒆j⁢h)−fi⁢(𝒙)h, (4.43)

com h suficientemente pequeno.

Exemplo 4.2.2.

Consideremos o seguinte sistema de equações não lineares

x1⁢x22−x12⁢x2+6=0, (4.44)
x1+x12⁢x23−7=0. (4.45)

Definida F, sua jacobina aproximada J~F com h=10−7 e tomando 𝒙(1)=(1.5,1.5) como aproximação inicial, computamos as iterações do quasi-método de forma a obtermos os resultados apresentados na Tabela 4.4.

k 𝒙(k) ‖𝒙(k)−𝒙∗‖
1 (−1.50,1.50) -x-
2 (−1.07,1.82) 5.3⁢e−1
3 (−9.95⁢e−1,2.00) 2.0⁢e−1
4 (−1.00,2.00) 5.1⁢e−3
5 (−1.00,2.00) 2.6⁢e−5
Tabela 4.4: Resultados referentes ao Exemplo 4.2.2.

4.2.3 Exercícios

Em construção

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Pedro H A Konzen
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