Matemática numérica I

5 Interpolação 5.3 Diferenças divididas de Newton 6 Aproximação por mínimos quadrados

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5.4 Spline cúbico

Dado um conjunto de pontos $\{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{n}$ , um spline cúbico é uma função duas vezes continuamente diferenciável da forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}s(x)=\left\{% \begin{array}[]{ll}s_{1}(x)&,\leavevmode\nobreak\ x_{1}\leq x<x_{2},\\ s_{2}(x)&,\leavevmode\nobreak\ x_{2}\leq x<x_{3},\\ \text{}\leavevmode\nobreak\ \vdots&\text{}\leavevmode\nobreak\ \vdots\\ s_{n-1}(x)&,\leavevmode\nobreak\ x_{n-1}\leq x<x_{n},\end{array}\right.

(5.61)

onde as partes são polinômios cúbicos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}s_{i}(x)=s_{i% ,1}(x-x_{i})^{3}+s_{i,2}(x-x_{i})^{2}+s_{i,3}(x-x_{i})+s_{i,4},

(5.62)

que satisfazem as seguintes propriedades

a)

Interpolação

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}s(x_{i})=y_{i% },\leavevmode\nobreak\ i=1,2,\dotsc,n,$ (5.63)
b)

Continuidade

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}s_{i}(x_{i})=% s_{i+1}(x_{i}),\leavevmode\nobreak\ i=1,2,\dotsc,n-2,$ (5.64)
c)

Continuidade da derivada

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}s_{i}^{\prime% }(x_{i})=s_{i+1}^{\prime}(x_{i}),\leavevmode\nobreak\ i=1,2,\dotsc,n-2,$ (5.65)
d)

Continuidade da segunda derivada

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}s_{i}^{\prime% \prime}(x_{i})=s_{i+1}^{\prime\prime}(x_{i}),\leavevmode\nobreak\ i=1,2,\dotsc% ,n-2.$ (5.66)

Observamos que o spline tem $4(n-1)$ coeficientes a determinar, enquanto que as condições acima nos fornecem $4n-6$ equações. Assim sendo, a determinação de um spline requer ainda duas condições de fechamento. Conforme a escolha destas condições, diferentes splines cúbicos são computados.

5.4.1 Spline not-a-knot

A condição not-a-knot exige que o spline cúbico tenha derivada terceira contínua nos pontos $x_{2}$ e $x_{n-1}$ , i.e.

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% s_{1}^{\prime\prime\prime}(x_{2})=s_{2}^{\prime\prime\prime}(x_{2}),$		(5.67)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% s_{n-2}^{\prime\prime\prime}(x_{n-1})=s_{n-1}^{\prime\prime\prime}(x_{n-1}).$		(5.68)

Exemplo 5.4.1.

Consideremos o problema de aproximar a função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ pelo spline cúbico not-a-knot com pontos $x_{1}=0$ , $x_{2}=\pi/6$ , $x_{3}=\pi/3$ e $x_{4}=\pi/2$ . Na Figura 5.3 temos os esboços de $f$ e do spline cúbico computado. O spline computado é aproximadamente

s(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}s_{1}(x)&,0\leq x<\frac{\pi}{6}\\ s_{2}(x)&,\frac{\pi}{6}\leq x<\frac{\pi}{3},\\ s_{3}(x)&,\frac{\pi}{3}\leq x<\frac{\pi}{2}\end{array}\right.

(5.69)

sendo suas partes

	$\displaystyle s_{1}(x)=-0.11x^{3}-0.11x^{2}-0.11x,$		(5.70)
	$\displaystyle s_{2}(x)=-0.07(x-\frac{\pi}{6})^{3}-0.24(x-\frac{\pi}{6})^{2}-0.% 42(x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2},$		(5.71)
	$\displaystyle s_{3}(x)=1.02(x-\frac{\pi}{3})^{3}+0.86(x-\frac{\pi}{3})^{2}+0.5% 1(x-\frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}.$		(5.72)

Refer to caption — Figura 5.3: Gráficos da função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ e do spline cúbico computado no Exemplo 5.4.1.

Código 14: splineNotAKnot.py

⬇

1import numpy as np

2from scipy.interpolate import CubicSpline

4# dados

5f = lambda x: np.sin(x)

6xx = np.array([0.,

7 np.pi/6,

8 np.pi/3,

9 np.pi/2])

10yy = f(xx)

12# spline

13cs = CubicSpline(xx, yy)

15# coefs

16print(cs.c)

5.4.2 Spline fixado

Os splines cúbicos fixados são obtidos impondo os valores das derivadas na fronteira, i.e.

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% s^{\prime}(x_{1})=y_{1}^{\prime},$		(5.73)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% s^{\prime}(x_{n})=y_{n}^{\prime},$		(5.74)

onde $y_{1}^{\prime}$ e $y_{n}^{\prime}$ são escalares dados. Quando usamos splines para aproximarmos uma dada função $f$ , usualmente, escolhemos $y_{1}^{\prime}=f^{\prime}(x_{1})$ e $y_{n}^{\prime}=f^{\prime}(x_{n})$ .

Exemplo 5.4.2.

Consideremos o problema de aproximar a função $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ pelo spline cúbico fixado com pontos $x_{1}=0$ , $x_{2}=\pi/6$ , $x_{3}=\pi/3$ e $x_{4}=\pi/2$ . Na Figura 5.4 temos os esboços de $f$ e do spline cúbico computado

s(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}s_{1}(x)&,0\leq x<\frac{\pi}{6}\\ s_{2}(x)&,\frac{\pi}{6}\leq x<\frac{\pi}{3},\\ s_{3}(x)&,\frac{\pi}{3}\leq x<\frac{\pi}{2},\end{array}\right.

(5.75)

send suas partes

	$\displaystyle s_{1}(x)=-0.16x^{3}-0.12x^{2}-0.04x$		(5.76)
	$\displaystyle s_{2}(x)=-0.001(x-\frac{\pi}{6})^{3}-0.26(x-\frac{\pi}{6})^{2}-0% .44(x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2},$		(5.77)
	$\displaystyle s_{3}(x)=0.0(x-\frac{\pi}{3})^{3}+0.5(x-\frac{\pi}{3})^{2}+0.87(% x-\frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}.$		(5.78)

⬇

1import numpy as np

2from scipy.interpolate import CubicSpline

4# dados

5f = lambda x: np.sin(x)

6xx = np.array([0.,

7 np.pi/6,

8 np.pi/3,

9 np.pi/2])

10yy = f(xx)

12# spline

13cs = CubicSpline(xx, yy,

14 bc_type=((1, 1.),

15 (1, 0.)))

17# coefs

18print(cs.c)

5.4.3 Exercícios

E. 5.4.1.

Dado o conjunto de pontos $\{(-1,-1),(-0.5,1),(1,2)\}$ , obtenha o spline cúbico associado com condição de controno:

a)

Not-a-Knot.
b)

Fixado.

E. 5.4.2.

Dado o conjunto de pontos $\{(-1,-1),(0,1),(1,1/2),(2,1)\}$ , obtenha o spline cúbico associado com condição de controno:

a)

Not-a-Knot.
b)

Fixado.

E. 5.4.3.

Dado o conjunto de pontos $\{(-1,\leavevmode\nobreak\ -1),(0,1),(1,1/2),(2,1),(2.5,1)\}$ , obtenha o spline cúbico associado com condição de controno:

a)

Not-a-Knot.
b)

Fixado.

E. 5.4.4.

Aproxime a função $f(x)=e^{x}$ por um spline cúbico que passa pelos pontos $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ , $x_{3}=1.5$ e $x_{4}=2$ .

Dica: use um spline fixado.

E. 5.4.5.

Considere o problema de aproximar a função $f(x)=\cos(x)$ por um spline cúbico $s=s(x)$ no intervalo $[0,\pi]$ . Escolha os pontos e a condição de fronteira de forma a obter $s$ que aproxime $f$ com boa precisão gráfica.