Matemática numérica I

2 Equação com uma incógnita 2.2 Método da falsa posição 2.4 Método de Steffensen

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2.3 Iteração de ponto fixo

Um ponto fixo de uma função $g$ é um ponto $x$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}g(x)=x.

(2.48)

Geometricamente, pontos fixos são interseções do gráfico da $g$ com a reta $y=x$ . Consultemos a Figura 2.4.

Refer to caption — Figura 2.4: Exemplos de pontos fixos.

Observamos que toda equação de uma incógnita pode ser reescrita de forma equivalente como um problema de ponto fixo.

Exemplo 2.3.1.

Consideremos o problema de resolver

	$\displaystyle\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=x^{3}-\frac{% \pi}{4}x^{2}$		(2.49)
	$\displaystyle\text{}\qquad-\frac{5\pi^{2}}{16}x-\frac{3\pi^{3}}{64}.$		(2.50)

Podemos reescrevê-la como o problema de se obter os zeros da seguinte função

	$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.51)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^% {3}}{64}.$		(2.52)

Por sua vez, este problema é equivalente aos seguintes problemas de ponto fixo (entre outros):

a)

$\displaystyle g_{1}(x)=\frac{16}{5\pi^{2}}\left[-\operatorname{sen}^{2}\left(x% +\frac{\pi}{4}\right)+x^{3}\right.$ (2.53)

$\displaystyle\text{}\qquad\left.-\frac{\pi}{4}x^{2}-\frac{3\pi^{3}}{64}\right]% =x.$ (2.54)
b)

$\displaystyle g_{2}(x)=\left[\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right% )+\frac{\pi}{4}x^{2}\right.$ (2.55)

$\displaystyle\text{}\qquad\left.+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^{3}}{64}% \right]^{\frac{1}{3}}=x$ (2.56)

Na Figura 2.5 podemos observar que os zeros da $f$ (a saber, $x_{1}=3\pi/4\approx 2.3562$ e $x_{2}=x_{3}=-\pi/4\approx-0.78540$ ) coincidem com os pontos fixos das funções $g_{1}$ e $g_{2}$ .

Em muitos casos, é possível obter aproximações de um ponto fixo de uma dada função $g$ pela chamada iteração de ponto fixo:

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% x^{(0)}=\text{aprox. inicial},$		(2.57)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% x^{(k+1)}=g(x^{(k)}),$		(2.58)

com $k=0,1,2,\ldots$ .

Exemplo 2.3.2.

Vamos estudar as seguintes iterações de ponto fixo com as funções $g1$ e $g_{2}$ consideradas no Exemplo 2.3.1.

Função $g_{1}$ com $x^{(0)}=0.7$ .

	$\displaystyle x^{(0)}=-0.70000,$		(2.59)
	$\displaystyle x^{(1)}=g_{1}\left(x^{(0)}\right)$		(2.60)
	$\displaystyle\text{}\quad=-0.70959,$		(2.61)
	$\displaystyle x^{(2)}=g_{1}\left(x^{(1)}\right)$		(2.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=-0.71716,$		(2.63)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle x^{(99)}=g_{1}\left(x^{(98)}\right)$		(2.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=-0.77862,$		(2.65)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle x^{(999)}=g_{1}\left(x^{(998)}\right)$		(2.66)
	$\displaystyle\text{}\quad=-0.78466,$		(2.67)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle x^{(19999)}=g_{1}\left(x^{(19998)}\right)$		(2.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=-0.78536.$		(2.69)

Neste caso as iterações de ponto fixo convergem (lentamente) para o ponto fixo $x=-\pi/4\approx-0.78540$ .

b)

Função $g1$ com $x^{(0)}=2.5$ .

Este valor inicial está próximo do ponto fixo $x=3\pi/4\approx 2.3562$ , entretanto as iterações de ponto fixo divergem:

$\displaystyle x^{(0)}=2.50000,$ (2.70)

$\displaystyle x^{(1)}=g_{1}\left(x^{(0)}\right)$ (2.71)

$\displaystyle\text{}\quad=2.9966,$ (2.72)

$\displaystyle x^{(2)}=5.8509,$ (2.73)

$\displaystyle\text{}\quad\vdots$

$\displaystyle x^{(7)}=4.8921\times 10^{121}.$ (2.74)
c)

Função $g_{2}$ com $x^{(0)}=2.5$ . Neste caso, as iterações de ponto fixo convergem (rapidamente) para o ponto fixo próximo:

$\displaystyle x^{(0)}=2.50000,$ (2.75)

$\displaystyle x^{(1)}=g_{2}\left(x^{(0)}\right)$ (2.76)

$\displaystyle\text{}\quad=2.4155,$ (2.77)

$\displaystyle x^{(2)}=2.3805,$ (2.78)

$\displaystyle\text{}\quad\vdots$ (2.79)

$\displaystyle x^{(9)}=2.3562.$ (2.80)

Este último exemplo mostra que a iteração do ponto fixo nem sempre é convergente. Antes de vermos condições suficientes para a convergência, vejamos sua interpretação geométrica.

2.3.1 Interpretação geométrica

A Figura 2.6 apresenta o caso de uma iteração de ponto fixo convergente. As iterações iniciam-se no ponto $x^{(0)}$ e seguem para $x^{(1)}=g(x^{(0)})$ e $x^{(2)}=g(x^{(1)})$ .

2.3.2 Análise numérica

O seguinte teorema nos fornece condições suficientes para a convergência das iterações de ponto fixo.

Teorema 2.3.1.(Teorema do ponto fixo)

Consideremos uma função $g$ continuamente diferenciável que satisfaz ambas as seguintes condições

a)

$g\left([a,b]\right)\subset[a,b]$ ,
b)

$|g^{\prime}(x)|\leq K<1$ para todo $x\in[a,b]$ .

Então, $g$ tem um único ponto fixo $x^{*}\in[a,b]$ e as iterações

x^{(k+1)}=g\left(x^{(k)}\right),k=0,1,2,\ldots,

(2.81)

convergem para $x^{*}$ , para qualquer escolha de $x^{(0)}\in[a,b]$ .

Demonstração.

Da hipótese b), temos que $g$ é uma contração com

\left|g(x)-g(y)\right|\leq K\cdot|x-y|,

(2.82)

para quaisquer $x,y\in[a,b]$ . Com isso, da hipótese a) e tomando $x^{(0)}\in[a,b]$ , temos

	$\displaystyle\left\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right\|=\left\|g(x^{(k)})-g(x^{(k-1)})\right\|$		(2.83)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq K\left\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right\|$		(2.84)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle\text{}\quad\leq K^{k-1}\left\|x^{(2)}-x^{(1)}\right\|,$		(2.85)

para $k=1,2,\ldots$ . Como $K<1$ , temos $\left|x^{(k+1)}-x^{(k)}\right|\to 0$ quando $k\to\infty$ e, portanto, $x^{(k)}$ converge para algum $x^{*}\in[a,b]$ .

De fato, $x^{*}$ é ponto fixo de $g$ , pois da continuidade da $g$ , temos

	$\displaystyle x^{*}=\lim_{k\to\infty}x^{(k+1)}$		(2.86)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{k\to\infty}g(x^{(k)})=g(x^{*}).$		(2.87)

Por fim, $x^{*}$ é único, pois assumindo a existência de outro ponto fixo $x^{**}\neq x^{*}$ teríamos

	$\displaystyle\|x^{}-x^{}\|=\|g(x^{})-g(x^{**})\|$		(2.88)
	$\displaystyle\text{}\quad\leq K\|x^{}-x^{*}\|$		(2.89)
	$\displaystyle\text{}\quad<\|x^{}-x^{*}\|.$		(2.90)

∎

Observação 2.3.1.(Ordem de convergência)

A iteração de ponto fixo tem ordem de convergência linear

|x^{(k+1)}-x^{(k)}|<K|x^{(k)}-x^{(k-1)}|^{\bm{1}},

(2.91)

onde $0<K<1$ é a constante dada na hipótese $b)$ do Teorema do Ponto Fixo. Além disso, isso mostra que quanto menor o valor da constante $K$ , mais rápida é a convergência das iterações de ponto fixo.

2.3.3 Zero de funções

Dado um problema de encontrar um zero de uma função $f$ (i.e., resolver $f(x)=0$ ), podemos construir uma função $g$ com ponto fixo no zero de $f$ e aplicarmos a iteração de ponto fixo para computá-lo. Para tanto, observamos que

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }f(x)=0}$		(2.92)
	$\displaystyle\underbrace{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}x-\alpha f(x)}}_{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}=:g(x)}=x,$		(2.93)

com $\alpha\in\mathbb{R}$ escolhido de forma a satisfazer as hipóteses do teorema do ponto fixo (Teorema 2.3.1).

Exemplo 2.3.3.

Retornamos ao problema de encontrar o zero da função

	$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.94)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^% {3}}{64}.$		(2.95)

no intervalo $[2,3]$ . Para construir uma função $g$ para a iteração de ponto fixo neste intervalo, podemos tomar

g(x)=x-\alpha f(x),

(2.96)

com $\alpha=-0.1$ . A Figura 2.7 mostra esboços dos gráficos de $g$ e $|g^{\prime}|$ no intervalos $[2,3]$ e podemos observar que esta escolha de $\alpha$ faz com que a $g$ satisfaça o Teorema do Ponto Fixo.

Então, fazendo as iterações de ponto fixo com aproximação inicial $x^{(0)}=2.6$ , obtemos os resultados apresentados na Tabela 2.6.

Tabela 2.6: Resultados referentes ao Exemplo 2.3.3.

$k$	$x^{(k)}$	$\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|$
0	$2.6000$	-x-
1	$2.3264$	$2.7\mathrm{e}\!-\!1$
2	$2.3553$	$2.9\mathrm{e}\!-\!2$
3	$2.3562$	$8.4\mathrm{e}\!-\!4$
4	$2.3562$	$1.1\mathrm{e}\!-\!5$

⬇

1import numpy as np

3# fun obj

4f = lambda x: np.sin(x+np.pi/4)**2 \

5 - x**3 + np.pi/4*x**2 + 5*np.pi**2/16*x \

6 + 3*np.pi**3/64

8# param

9alpha = -0.1

10# fun pto fixo

11g = lambda x: x - alpha*f(x)

13# aprox inicial

14x0 = 2.6

15print(f'\n{1}: {x0:.4f}')

16for k in range(4):

17 x = g(x0)

18 nd = np.fabs(x-x0)

19 print(f'{k+1}: {x:.4f}, {nd:.1e}')

20 x0 = x

2.3.4 Exercícios

E. 2.3.1.

Forneça o(s) ponto(s) fixo(s) de

g(x)=x^{2}e^{-x^{2}}.

(2.97)

$x=0$

E. 2.3.2.

Verifique se a iteração de ponto fixo é convergente para as seguintes funções e aproximações iniciais:

a)

$g_{1}(x)=\cos(x)$ , $x^{(1)}=0.5$
b)

$g_{2}(x)=x^{2}$ , $x^{(1)}=1.01$

Justifique sua resposta.

a) Convergente; b) Divergente.

E. 2.3.3.

Considere o problema de computar uma aproximação do zero de $f(x)=x-\cos(x)$ . Resolva-o aplicando a iteração de ponto fixo para a função auxiliar

g(x)=x-\alpha f(x),

(2.98)

restrita ao intervalo $[a,b]=[0.5,1]$ com aproximação inicial $x^{(0)}=(a+b)/2$ . Escolha o melhor valor de $\alpha$ entre os seguintes:

1.

$\alpha=1$
2.

$\alpha=0.5$
3.

$\alpha=-0.5$
4.

$\alpha=0.6$

Então, compute uma aproximação do zero de $f$ com $5$ dígitos significativos de precisão.

$\alpha=0.6$ ; $7.3909\mathrm{e}\!-\!1$

E. 2.3.4.

Seja

	$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-x^{3}$		(2.99)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\frac{\pi}{4}x^{2}+\frac{5\pi^{2}}{16}x+\frac{3\pi^% {3}}{64}.$		(2.100)

a)

Aplique a iteração de ponto fixo na função auxiliar

$g(x)=x-\alpha f(x)$ (2.101)

para algum $\alpha$ adequado, de forma que aproximação inicial $x^{(0)}=-0.5$ leve a iterações de ponto fixo que convirjam para $x^{*}=-\pi/4$ , zero de multiplicidade par de $f$ .
b)

Mostre que $g^{\prime}(x^{*})=1$ para qualquer valor de $\alpha$ . Por que isso explica a lenta convergência observada no item a)?
c)

Alternativamente, verifique que a abordagem da iteração de ponto fixo converge muito mais rápido para $x^{*}$ se aplicada à derivada de $f$ , i.e. aplicando a iteração à função auxiliar

$h(x)=x-\alpha f^{\prime}(x),$ (2.102)

para um valor de $\alpha$ adequado.

a) $\alpha=0.25$ ; b) Pois, não há $\alpha$ que satisfaz o Teorema do Ponto Fixo.; c) $\alpha=0.1$

E. 2.3.5.

Use o Método da Iteração de Ponto Fixo para aproximar um zero de

f(x)=x^{3}\operatorname{sen}(x)-\cos(x)

(2.103)

no intervalo inicial $[0.5,1]$ .

E. 2.3.6.

Use o Método da Iteração de Ponto Fixo para computar a(s) solução(ões) das seguintes equações com precisão de 8 dígitos significativos.

a)

$x=2^{-x}$ para $0\leq x\leq 2$ .
b)

$e^{-x^{2}}=3x-x^{2}$ para $-1\leq x\leq 4$ .

a) $6.4118574\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $3.3536470\mathrm{e}\!-\!1$ ; $2.9999589$

E. 2.3.7.

Use o Método de Iteração de Ponto Fixo para encontrar uma aproximação com precisão de $4$ dígitos significativos do zero de

	$\displaystyle f(x)=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$
	$\displaystyle\text{}\qquad-1.154x+0.332929$		(2.104)

no intervalo $[-1,0]$ .

$-7.861\mathrm{e}\!-\!1$

E. 2.3.8.

Use o Método de Iteração de Ponto Fixo para encontrar uma aproximação com precisão de $10^{-4}$ do zero de

	$\displaystyle f(x)=(-x^{2}+1.154x-0.332929)\cos(x)+x^{2}$
	$\displaystyle\text{}\qquad-1.154x+0.332929$		(2.105)

no intervalo $(0.55,0.65)$ . Forneça a aproximação computada com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

$5.770508\mathrm{e}\!-\!1$

E. 2.3.9.

Use o Método da Iteração de Ponto Fixo para encontrar o ponto crítico⁹⁹9Definimos que $x$ é ponto crítico de uma dada $f$ , quando $f^{\prime}(x)=0$ ou $\nexists f^{\prime}(x)$ . de

f(x)=(1-x^{2})e^{-x^{2}}

(2.106)

no intervalo $(0,2)$ . Obtenha o resultado com precisão de $5$ dígitos significativos por arredondamento.

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