Matemática numérica I

1 Aritmética de máquina 1 Aritmética de máquina 1.2 Representação de números em máquina

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1.1 Sistema de numeração posicional

Cotidianamente, usamos o sistema de numeração posicional na base decimal. Por exemplo, temos

123.5=1\times 10^{2}+2\times 10^{1}+3\times 10^{0}+5\times 10^{-1},

(1.1)

onde o algarismo/dígito 1 está na posição 2 (posição das centenas), o dígito 2 está na posição 1 (posição das dezenas) e o dígito 3 está na posição 0 (posição das unidades). Mais geralmente, temos a representação decimal

	$\displaystyle\pm d_{n}\ldots d_{2}d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots$
	$\displaystyle\text{}\quad:=\pm\left(d_{n}\times 10^{n}+\cdots+d_{2}\times 10^{% 2}+d_{1}\times 10^{1}+d_{0}\times 10^{0}\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.+d_{-1}\times 10^{-1}+d_{-2}\times 10^{-2}+d_{% -3}\times 10^{-3}+\cdots\right),$		(1.2)

cujos dígitos $d_{i}\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , $i=n,\dotsc,2,1,0,-1,-2,-3,\ldots$ . Observamos que esta representação posicional pode ser generalizada para outras bases numéricas.

Definição 1.1.1.(Representação posicional)

Dada uma base ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b}\in\mathbb% {N}$ , com $b\geq 2$ , definimos a representação

	$\displaystyle\pm(d_{n}\ldots d_{2}d_{1}d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots)_{\color% [rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b}$
	$\displaystyle\text{}\quad:=\pm\left(d_{n}\times b^{n}+\cdots+d_{2}\times b^{2}% +d_{1}\times b^{1}+d_{0}\times b^{0}\right.$
	$\displaystyle\text{}\qquad\left.+d_{-1}\times b^{-1}+d_{-2}\times b^{-2}+d_{-3% }\times b^{-3}+\cdots\right),$		(1.3)

onde os dígitos $d_{i}\in\{0,1,\dotsc,{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}b}-1\}$ ¹¹1Para bases $b\geq 11$ , usamos a representação dos dígitos maiores ou iguais a 10 por letras maiúsculas do alfabeto latino, i.e. $A=10$ , $B=11$ , $C=12$ e assim por diante., $i=n,\dotsc,2,1,0,-1,-2,-3,\ldots$ .

Exemplo 1.1.1.(Representação binária)

O número $(11010.101)_{2}$ está escrito na representação binária (base $b=2$ ). Da Definição 1.1.1, temos

	$\displaystyle(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{% \scriptstyle 3}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{0}}% \leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ % \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}}.\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad=1\times 2^{4}+1\times 2^{3}+0\times 2^{2}+1\times 2^% {1}+0\times 2^{0}$
	$\displaystyle\text{}\qquad+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}$		(1.4)
	$\displaystyle\text{}\quad=26.625.$		(1.5)

⬇

11*2**4 + 1*2**3 + 0*2**2 + 1*2**1 + 0*2**0 +

21*2**-1 + 0*2**-2 + 1*2**-3

  26.625

1.1.1 Mudança de base

Um mesmo número pode ser representado em diferentes bases. A mudança de base da representação de um dado número pode ser feita de várias formas. De forma geral, se temos um número $x$ representado na base $b_{1}$ e queremos obter sua representação na base $b_{2}$ , fazemos

1.

Calculamos a representação do número $x$ na base decimal.
2.

Da calculada representação decimal, calculamos a representação de $x$ na base $b_{2}$ .

Observamos que o passo 1. ( $b\to 10$ ) segue imediatamente da Definição 1.1.1. Agora, o passo 2. ( $10\to b$ ), podemos usar o seguinte procedimento. Suponhamos que $x$ tenha a seguinte representação decimal

d_{n}d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_{0},d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots

(1.6)

Então, separamos sua parte inteira $I=d_{n}d_{n-1}d_{n-2}\ldots d_{0}$ e sua parte fracionária $F=0,d_{-1}d_{-2}d_{-3}\ldots$ ( $x=I+F$ ). Em seguida, dividimos $I$ sucessivamente pela base $b$ desejada para obter sua representação nessa base. Analogamente, multiplicamos $F$ sucessivamente por $b$ para obter sua representação. Por fim, somamos as duas representações.

Quando a expansão da parte fracionária não termina, continuamos o processo indefinidamente; na prática, podemos interrompê-lo após obtermos a quantidade de dígitos desejada.

Exemplo 1.1.2.

Vamos obter a representação em base quaternária ( $b=4$ ) do número $(11010.101)_{2}$ .

1.

$b=2\to 10$ . A representação de $(11010.101)_{2}$ segue diretamente da Definição 1.1.1 (como estudamos no Exemplo 1.1.1). Ou seja, temos

$\displaystyle(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{% \scriptstyle 3}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{0}}% \leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ % \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}}.\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{2}$

$\displaystyle\text{}\quad=2^{4}+2^{3}+2^{1}+2^{-1}+2^{-3}$ (1.7)

$\displaystyle\text{}\quad=26.625.$ (1.8)

⬇

12**4 + 2**3 + 2 + 2**-1 + 2**-3
```
26.625
```
2.

$b=10\to 4$ . Primeiramente, decompomos $26.625$ em sua parte inteira $I=26$ e em sua parte fracionária $F=0.625$ . Em seguida, fazemos divisões sucessivas de $I$ por $b=4$ e obtemos:

$\displaystyle I=26$ (1.9)

$\displaystyle\text{}\quad=6\times 4+2\times 4^{0}$ (1.10)

$\displaystyle\text{}\quad=(1\times 4+2)\times 4+2\times 4^{0}$ (1.11)

$\displaystyle\text{}\quad=1\times 4^{2}+2\times 4+2\times 4^{0}$ (1.12)

$\displaystyle\text{}\quad=(122)_{4}.$ (1.13)

⬇

1I = int(26.625)

2d_int = []

3while (I != 0):

4 d_int.insert(0, I % 4)

5 I //= 4

6print('(',*d_int,')_4',sep="")

Agora, para convertermos a parte fracionária, multiplicamos $F$ sucessivamente por $b=4$ e obtemos:

$\displaystyle F=0.625$ (1.14)

$\displaystyle\text{}\quad=2.5\times 4^{-1}=2\times 4^{-1}+0.5\times 4^{-1}$ (1.15)

$\displaystyle\text{}\quad=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-1}\times 4^{-1}$ (1.16)

$\displaystyle\text{}\quad=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-2}$ (1.17)

$\displaystyle\text{}\quad=(0.22)_{4}.$ (1.18)

⬇

1F = 26.625 % 1

2d_fra = []

3while (F != 0):

4 F *= 4

5 d_fra.append(int(F))

6 F %= 1

7print('(0,',*d_fra,')_4',sep="")

Por fim, dos passos 1. e 2., temos $(11010.101)_{2}=(122.22)_{4}$ .

⬇

1print('(',*d_int,',',*d_fra,')_4', sep='')

(122.22)_4

1.1.2 Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Forneça a representação decimal dos seguintes números:

a)

$(10101)_{2}$
b)

$(0.4321)_{5}$
c)

$(23.5)_{8}$
d)

$(A2A)_{11}$
e)

$(BEBE)_{16}$

Resolução.

a)

$(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 3% }}{{0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{1}}\leavevmode% \nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{0}}\stackrel{{\scriptstyle 0}}{{1}})_{2}$

⬇

10b10101
```
21
```
b)

$(\stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}},\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,4}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,3}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,2}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-4}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{5}$

⬇

14*5**-1+3*5**-2+2*5**-3+5**-4
```
0.9376000000000001
```
c)

$(\stackrel{{\scriptstyle 1}}{{2}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 0% }}{{3}},\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode\nobreak\ \,5}})_{8}$

⬇

10o235 / 8**1
```
19.625
```
d)

$(\stackrel{{\scriptstyle 2}}{{A}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1% }}{{2}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{A}})_{11}$

⬇

1int('A2A', 11)
```
1242
```
e)

$(\stackrel{{\scriptstyle 3}}{{B}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2% }}{{E}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{B}}\leavevmode% \nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{E}})_{16}$

⬇

10xBEBE
```
48830
```

ER 1.1.2.

Forneça a representação na base indicada dos seguintes números decimais:

a)

$203\to$ base 2
b)

$0.671875\to$ base 2
c)

$17.25\to$ base 8
d)

$3245.875\to$ base 16

Resolução.

a)

$203\to$ base 2 Usando o método Python bin, obtemos

⬇

1bin(203)
```
’0b11001011’
```
ou seja, $203=(11001011)_{2}$ .
b)

$0.671875\to$ base 2.

Executando o código

⬇

1F = 0.671875

2digs = []

3while (F != 0):

4 F *= 2

5 digs.append(int(F))

6 F %= 1

7print('(0,',*digs,')_2',sep="")

obtemos que $0.671875=(0.101011)_{2}$ .
c)

$17.25\to$ base 8

Temos que

$\displaystyle 17.25=17+0.25$ (1.19)

$\displaystyle\text{}\quad=16+1+\frac{2}{8}$ (1.20)

$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot 8^{1}+1\cdot 8^{0}+2\cdot 8^{-1}$ (1.21)

$\displaystyle\text{}\quad=(21.2)_{8}$ (1.22)
d)

$3245.875\to$ base 16

Executando o seguinte código

⬇

1# base

2b = 16

3# dígitos

4digs = "0123456789ABCDEF"

5

6# número

7x = 3245.875

8

9# parte inteira

10I = int(x)

11di = []

12while (I != 0):

13 di.insert(0, I % b)

14 I //= b

15

16# parte fracionária

17F = x % 1

18df = []

19while (F != 0):

20 F *= b

21 df.append(int(F))

22 F %= 1

23

24print('(',*[digs[d] for d in di],\

25 ',',*[digs[d] for d in df],f')_{b}',sep="")

obtemos $3245.875=(CAD,E)_{16}$ .

ER 1.1.3.

Na base indicada, forneça a representação dos seguintes números:

a)

$(1101)_{2}\to$ base 8
b)

$(1011.0101)_{2}\to$ base 8

Resolução.

a)

$(1101)_{2}\to$ base 8

⬇

1oct(0b1101)
```
’0o15’
```
Ou seja, $(1101)_{2}=(15)_{8}$ .
b)

$(1011.0101)_{2}\to$ base 8

Primeiro, convertemos $(1011.0101)_{2}$ para decimal (base 10).

⬇

10b10110101 / 2**4
```
11.3125
```
Logo, convertemos para a base octal (base 8) com o seguinte código:

⬇

1# base

2b = 8

3

4# número

5x = 11.3125

6

7# parte inteira

8I = int(x)

9di = []

10while (I != 0):

11 di.insert(0, I % b)

12 I //= b

13

14# parte fracionária

15F = x % 1

16df = []

17while (F != 0):

18 F *= b

19 df.append(int(F))

20 F %= 1

21

22print('(',*di,',',*df,f')_{b}',sep="")

Com este último, obtemos $(1011.0101)_{2}=11.3125=(13.24)_{8}$

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

Obtenha a representação decimal dos seguintes números:

a)

$(101101.00101)_{2}$
b)

$(23.1)_{4}$
c)

$(DAAD)_{16}$
d)

$(33.11)_{8}$
e)

$(51)_{6}$

a) $45.15625$ ; b) $11.25$ ; c) $55981$ ; d) $27.140625$ ; e) $31$

E. 1.1.2.

Obtenha a representação dos seguintes números decimais na base indicada:

a)

$10$ na base 2.
b)

$45.5$ na base 2.
c)

$41$ na base octal.
d)

$66.31640625$ na base hexadecimal.
e)

$0,\overline{3}$ na base 3.

a) $(1010)_{2}$ ; b) $(101101.1)_{2}$ ; c) $(51)_{8}$ ; d) $(42.51)_{16}$ ; e) $(0.1)_{3}$

E. 1.1.3.

Obtenha a representação dos seguintes números na base indicada:

a)

$(101101.00101)_{2}$ na base 4.
b)

$(23.1)_{4}$ na base 2.
c)

$(2001)_{16}$ na base 8.

a) $(231.022)_{4}$ ; b) $(1011.01)_{2}$ ; c) $(20001)_{8}$

E. 1.1.4.

Obtenha a representação dos seguintes números na base indicada:

a)

$(0.1)_{3}$ na base decimal.
b)

$(0,\overline{1})_{3}$ na base decimal.
c)

$0,\overline{3}$ na base octal.

a) $0,\overline{3}$ ; b) $1.5$ ; c) $(0,\overline{25})_{8}$ ;

E. 1.1.5.

Obtenha a representação dos seguintes números na base indicada:

a)

$0.3$ na base 4.
b)

$0.3$ na base 9.
c)

$(A8)_{16}$ na base 5.

a) $(0.1\overline{03})_{4}$ ; b) $(0.\overline{26})_{9}$ ; c) $(1133)_{5}$

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Matemática numérica I

1.1 Sistema de numeração posicional

Definição 1.1.1.(Representação posicional)

Exemplo 1.1.1.(Representação binária)

1.1.1 Mudança de base

Exemplo 1.1.2.

1.1.2 Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Resolução.

ER 1.1.2.

Resolução.

ER 1.1.3.

Resolução.

1.1.3 Exercícios

E. 1.1.1.

E. 1.1.2.

E. 1.1.3.

E. 1.1.4.

E. 1.1.5.

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	$\displaystyle(\stackrel{{\scriptstyle 4}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{% \scriptstyle 3}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 2}}{{0}}% \leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle 1}}{{1}}\leavevmode\nobreak\ % \stackrel{{\scriptstyle 0}}{{0}}.\stackrel{{\scriptstyle-1}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-2}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,0}}\leavevmode\nobreak\ \stackrel{{\scriptstyle-3}}{{\leavevmode% \nobreak\ \,1}})_{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad=2^{4}+2^{3}+2^{1}+2^{-1}+2^{-3}$		(1.7)
	$\displaystyle\text{}\quad=26.625.$		(1.8)

	$\displaystyle I=26$		(1.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=6\times 4+2\times 4^{0}$		(1.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1\times 4+2)\times 4+2\times 4^{0}$		(1.11)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\times 4^{2}+2\times 4+2\times 4^{0}$		(1.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=(122)_{4}.$		(1.13)

	$\displaystyle F=0.625$		(1.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=2.5\times 4^{-1}=2\times 4^{-1}+0.5\times 4^{-1}$		(1.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-1}\times 4^{-1}$		(1.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\times 4^{-1}+2\times 4^{-2}$		(1.17)
	$\displaystyle\text{}\quad=(0.22)_{4}.$		(1.18)

	$\displaystyle 17.25=17+0.25$		(1.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=16+1+\frac{2}{8}$		(1.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot 8^{1}+1\cdot 8^{0}+2\cdot 8^{-1}$		(1.21)
	$\displaystyle\text{}\quad=(21.2)_{8}$		(1.22)