Matemática Numérica I

1 Aritmética de Máquina 1.3 Notação Científica e Arredondamento 2 Equação com Uma Incógnita

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1.4 Tipos e Medidas de Erros

Ao utilizarmos computadores na resolução de problemas matemáticos, acabamos obtendo soluções aproximadas. A diferença entre a solução exata e a solução aproximada computada é chamada de erro. O erro é comumente classificado nas seguintes duas categorias:

•

Erro de arredondamento

Este é o erro que ocorre na representação aproximada de números na máquina.
•

Erro de truncamento

Este é o erro que ocorre na interrupção (truncamento) de um procedimento com infinitos passos.

Exemplo 1.4.1.

(Erro de Arredondamento.) O erro de arredondamento em aproximar $\pi$ por $3.1415\times 10^{0}$ é de aproximadamente $9.3\times 10^{-5}$ .

⬇

1import numpy as np

2np.pi - 3.1415e0

9.265358979293481e-05

Exemplo 1.4.2.

(Erro de Truncamento.) Consideramos a seguinte série numérica $\sum_{n=0}^{\infty}1/n!=e\approx 2.7183\times 10^{0}$ . Ao computarmos esta série no computador, precisamos truncá-la em algum $n$ suficientemente grande. Por exemplo, truncando a série em seu nono termo, temos

	$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$	$\displaystyle\approx\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots% +\frac{1}{8!}$		(1.93)
		$\displaystyle\approx 2.71827876984127=:\tilde{e}.$		(1.94)

⬇

1import math

2x = 0

3for n in range(9):

4 x += 1./math.factorial(n)

5print(math.fabs(math.e - x))

A diferença $|e-\tilde{e}|\approx 3\times 10^{-6}$ é o erro de truncamento associado.

Suponhamos, agora, que $x$ seja o valor exato (valor esperado) de uma quantidade de interesse e $\tilde{x}$ o valor computado (aproximação de $x$ ). Em matemática numérica, utilizamos frequentemente as seguintes medidas de erro:

•

Erro absoluto:

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\varepsilon_{% \text{abs}}:=|x-\tilde{x}|.$ (1.95)
•

Erro relativo:

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\varepsilon_{% \text{rel}}:=\frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}\left(\times 100\%\right).$ (1.96)

A vantagem do erro relativo é em levar em conta a ordem de grandeza da quantidade $x$ .

Exemplo 1.4.3.

Estudamos os seguintes casos:

$x=1.0$ e $\tilde{x}=1.1$ :

$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}$	$\displaystyle=\|x-\tilde{x}\|$	(1.97)
	$\displaystyle=\|1.0-1.1\|$	(1.98)
	$\displaystyle=\|-0.1\|$	(1.99)
	$\displaystyle=1\times 10^{-1}.$	(1.100)
$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}$	$\displaystyle=\frac{\|x-\tilde{x}\|}{\|x\|}$	(1.101)
	$\displaystyle=\frac{\|1.0-1.1\|}{\|1.0\|}$	(1.102)
	$\displaystyle=\frac{\|-0.1\|}{\|1.0\|}$	(1.103)
	$\displaystyle=1\times 10^{-1}=10\%.$	(1.104)

⬇

1x = 1.0

2xa = 1.1

3eabs = abs(x - xa); eabs

0.10000000000000009

⬇

1erel = eabs/abs(x)

2erel

0.10000000000000009

$x=1000.0$ e $\tilde{x}=1100.0$ :

$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}$	$\displaystyle=\|x-\tilde{x}\|$	(1.105)
	$\displaystyle=\|1000.0-1100.0\|$	(1.106)
	$\displaystyle=1\times 10^{2}.$	(1.107)
$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}$	$\displaystyle=\frac{\|x-\tilde{x}\|}{\|x\|}$	(1.108)
	$\displaystyle=\frac{\|1000.0-1100.0\|}{\|1000.0\|}$	(1.109)
	$\displaystyle=\frac{\|-100.0\|}{\|1000.0\|}$	(1.110)
	$\displaystyle=1\times 10^{-1}=10\%.$	(1.111)

⬇

1x = 1000.0; xa = 1100.0

2eabs = abs(x - xa); eabs

100.0

⬇

1erel = eabs/abs(x); erel

0.1

Outra medida de erro comumente empregada é o número de dígitos significativos corretos. Dizemos que $\tilde{x}$ aproxima $x$ com $n$ dígitos significativos corretos, quando

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\underbrace{% \frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}}_{\varepsilon_{\text{rel}}}<5\times 10^{-n}.

(1.112)

Isso significa que ao arredondarmos $x$ e $\tilde{x}$ ambos com $n$ dígitos, obtemos o mesmo resultado.

Exemplo 1.4.4.

Estudamos os seguintes casos:

•

$x=2$ e $\tilde{x}=2.4$

$\varepsilon_{\text{rel}}=0.2<5\times 10^{-1}$ (1.113)

Temos que $\tilde{x}=2.4$ aproxima $x=2$ com um dígito significativo correto. Note que ambos são iguais quando os arredondamos para um dígito.
•

$x=2$ e $\tilde{x}=2.5$

$\frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}=0.25<5\times 10^{-1}$ (1.114)

Temos que $\tilde{x}=2.5$ é uma aproximação com $1$ dígito significativo correto de $x=2$ . Note que ambos são iguais quando os arredondamos para um dígito.
•

$x=1$ e $\tilde{x}=1.5$ :

$\frac{|x-\tilde{x}|}{|x|}=0.5<5\times 10^{0},$ (1.115)

Temos que $\tilde{x}=1.5$ é uma aproximação com zero dígito significativo correto de $x=1$ . Note que ao arredondarmos⁸⁸endnote: ⁸Assumindo o arredondamento por proximidade com desempate par. $\tilde{x}$ para um dígito, obtemos $\tilde{x}\approx 2$ , enquanto que $x=1$ .

1.4.1 Propagação de Erros

Nesta seção, vamos introduzir uma estimativa para a propagação de erros (de arredondamento) na computação de um problema. Para tando, vamos considerar o caso de se calcular o valor de uma dada função $f$ em um dado ponto $x$ , i.e. queremos calcular $y$ com

y=f(x).

(1.116)

Agora, assumindo que $x$ seja conhecido com um erro $\varepsilon(x)$ , este se propaga no cálculo da $f$ , levando a um erro $\varepsilon(y)$ no valor calculado de $y$ . Ou seja, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y+\varepsilon% (y)=f(x+\varepsilon(x)).

(1.117)

Denotamos $\varepsilon_{\text{abs}}(x)=|\varepsilon(x)|$ o erro absoluto associado a $x$ e $\varepsilon_{\text{abs}}(y)=|\varepsilon(y)|$ o erro absoluto associado a $y$ .

Nosso objetivo é estimar $\varepsilon_{\text{abs}}(y)$ com base em $\varepsilon_{\text{abs}}(x)$ . Para tanto, tomamos a aproximação de $f(x+\varepsilon(x))$ dada pelo polinômio de Taylor de grau $1$ de $f$ em torno de $x$ , i.e.

f(x+\varepsilon(x))=f(x)+f^{\prime}(x)\varepsilon(x)+O\left(\varepsilon^{2}(x)% \right).

(1.118)

Então, de (1.116) e (1.117), temos

\varepsilon(y)=f^{\prime}(x)\varepsilon(x)+O(\varepsilon^{2}(x)).

(1.119)

Daí, passando ao valor absoluto e usando a desigualdade triangular, obtemos

	$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}(y)$	$\displaystyle=\left\|f^{\prime}(x)\varepsilon(x)+O(\varepsilon^{2}(x))\right\|$		(1.120)
		$\displaystyle\leq\|f^{\prime}(x)\|\varepsilon_{\text{abs}}(x)+O\left(\varepsilon% _{\text{abs}}^{2}(x)\right).$		(1.121)

Deste resultado, obtemos a seguinte estimativa de propagação de erro

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\varepsilon_{% \text{abs}}(y)\approx|f^{\prime}(x)|\varepsilon_{\text{abs}}(x).

(1.122)

Exemplo 1.4.5.

Consideramos o problema em se calcular

y=f(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x)

(1.123)

com $x=\pi/3\pm 0.1$ . Usando (1.122) para estimarmos o erro absoluto $\varepsilon_{\text{abs}}(y)$ no cálculo de $y$ com base no erro absoluto $\varepsilon_{\text{abs}}(x)=0.1$ , calculamos

$\displaystyle\varepsilon_{\text{abs}}(y)$	$\displaystyle=\|f^{\prime}(x)\|\varepsilon_{\text{abs}}(x)$	(1.124)
	$\displaystyle=\|2x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\cos(x)\|\varepsilon_{\text{abs}}(x)$	(1.125)
	$\displaystyle=2.3621\times 10^{-1}.$	(1.126)

⬇

1import math

2x = math.pi/3; eabsx = 0.1

3eabsy = math.fabs(2*x*math.sin(x) \

4 + x**2 * math.cos(x)) * eabsx

5print(f"{eabsy:.4e}")

2.3621e-01

Com isso, concluímos que um erro em $x$ de tamanho $0.1$ é propagado no cálculo de $f(x)$ , causando um erro pelo menos duas vezes maior em $y$ . Também, podemos interpretar este resultado do ponto de vista do erro relativo. O erro relativo associado a $x$ é

$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(x)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(x)}{\|x\|}$	(1.127)
	$\displaystyle=\frac{0.1}{\pi/3}$	(1.128)
	$\displaystyle=9.5493\times 10^{-2}\approx 10\%,$	(1.129)

acarretando um erro relativo em $y$ de

$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(y)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|y\|}$	(1.130)
	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|f(x)\|}$	(1.131)
	$\displaystyle=2.4872\times 10^{-2}\approx 25\%.$	(1.132)

⬇

1import math

2x = math.pi/3; eabsx = 0.1

3erelx = eabsx/math.fabs(x)

4print(f"{erelx*100: .0f} %")

10 %

⬇

1f = lambda x: x**2 * math.sin(x)

2df = lambda x: 2*x*math.sin(x) \

3 + x**2 * math.cos(x)

4eabsy = math.fabs(df(x)) * eabsx

5erely = eabsy/math.fabs(f(x))

6print(f"{erely*100: .0f} %")

25 %

Associada à estimativa (1.4.5), temos

	$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(y)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|y\|}$
		$\displaystyle=\frac{\|f^{\prime}(x)\|}{\|y\|}\varepsilon_{\text{abs}}(x)$
		$\displaystyle=\frac{\|x\|\cdot\|f^{\prime}(x)\|}{\|f(x)\|}\frac{\varepsilon_{\text{% abs}}(x)}{\|x\|}$
		$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|\varepsilon_{\text{rel}}% (x).$

Desta última equação, definimos o número de condicionamento de $f$ , denotado por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\kappa_{f}(x)% :=\left|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right|.

(1.133)

Observamos que $\kappa_{f}(x)$ é a escala com que erros em $x$ são propagados no cálculo de $y=f(x)$ .

Exemplo 1.4.6.

O número de condicionamento da função $f(x)=x^{2}\operatorname{sen}(x)$ no ponto $x=\pi/3$ é calculado por

	$\displaystyle\kappa_{f}(x)$	$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|$		(1.134)
		$\displaystyle=\left\|\frac{x\left[2x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\cos(x)\right]}{% x^{2}\operatorname{sen}(x)}\right\|.$		(1.135)

Substituindo $x$ por $\pi/3$ , obtemos

\kappa_{f}(\pi/3)=2.6046.

(1.136)

Observamos que o resultado é compatível com os obtidos no Exemplo 1.4.5.

⬇

1import math

2f = lambda x: x**2 * math.sin(x)

3df = lambda x: 2*x*math.sin(x) \

4 + x**2 * math.cos(x)

5x = math.pi/3

6kf = math.fabs(x*df(x)/f(x))

7print(f"{kf:.4f}")

2.6046

A estimativa (1.122) pode ser generalizada para uma função de várias variáveis. No caso de uma função $y=f(x_{1},x_{2},\dotsc,x_{n})$ , temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\varepsilon_{% \text{abs}}(y)=\sum_{k=1}^{n}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\right|% \varepsilon_{\text{abs}}(x_{k}).

(1.137)

Exemplo 1.4.7.

Consideremos o problema em se calcular

z=f(x,y)=x^{2}\operatorname{sen}(x)\cos(y)

(1.138)

com

	$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}\pm 0.1,$		(1.139)
	$\displaystyle y=\frac{\pi}{4}\pm 0.02.$		(1.140)

Usando (1.137) para estimarmos o erro absoluto $e_{\text{abs}}(z)$ no cálculo de $z$ com base nos erros absolutos $e_{\text{abs}}(x)=0.1$ e $e_{\text{abs}}(y)=0.02$ , calculamos

$\displaystyle e_{\text{abs}}(z)$	$\displaystyle=\left\|\frac{\partial f}{\partial x}\right\|e_{\text{abs}}(x)+% \left\|\frac{\partial f}{\partial y}\right\|e_{\text{abs}}(y)$	(1.141)
	$\displaystyle=\|(2x\operatorname{sen}(x)+x^{2}\cos(x))\cos(y)\|e_{\text{abs}}(x)$	(1.142)
	$\displaystyle+\left\|-x^{2}\operatorname{sen}(x)\operatorname{sen}(y)\right\|e_{% \text{abs}}(y)$	(1.143)
	$\displaystyle=1.8046\times 10^{-1}.$	(1.144)

⬇

1import math

2x = math.pi/3

3eabsx = 0.1

4y = math.pi/4

5eabsy = 0.02

6eabsz = math.fabs((2*x*math.sin(x) \

7 + x**2*math.cos(x))*math.cos(y))*eabsx \

8 + math.fabs(-x**2*math.sin(x)*math.sin(y))*eabsy

9print(f"{eabsz:1.4e}")

1.8046e-01

1.4.2 Cancelamento Catastrófico

No computador (com aritmética de ponto flutuante de 64-bits), as operações e funções elementares são computadas, usualmente, com um erro próximo do épsilon de máquina ( $\mathrm{eps}\approx 10^{-16}$ ). Entretanto, em algumas situações estas operações fundamentais acarretam erros maiores, causando uma perda de precisão.

O chamado cancelamento catastrófico ocorre quando computamos a diferença entre dois números próximos. Para ilustrá-lo, considaremos os seguintes números

	$\displaystyle x$	$\displaystyle=314150000001549,$		(1.145)
	$\displaystyle y$	$\displaystyle=314150000002356.$		(1.146)

Assumindo os arredondamentos de $x$ e $y$ com $12$ dígitos significativos, temos

	$\displaystyle\tilde{x}$	$\displaystyle=314150000002000,$		(1.147)
	$\displaystyle\tilde{y}$	$\displaystyle=314150000002000.$		(1.148)

Os erros relativos associados às aproximações de $x$ e $y$ por $\tilde{x}$ e $\tilde{y}$ são

	$\displaystyle e_{rel}(x)=\frac{\|x-\tilde{x}\|}{\|x\|}\approx 10^{-10}\%,$		(1.149)
	$\displaystyle e_{rel}(y)=\frac{\|y-\tilde{y}\|}{\|y\|}\approx 10^{-10}\%,$		(1.150)

respectivamente. Agora, temos

	$\displaystyle y-x=807,$		(1.151)
	$\displaystyle\tilde{y}-\tilde{x}=0.$		(1.152)

Ou seja, o erro relativo na aproximação de $y-x$ por $\tilde{y}-\tilde{x}$ é

	$\displaystyle e_{rel}(y-x)$	$\displaystyle=\frac{\|(y-x)-(\tilde{y}-\tilde{x})\|}{(y-x)}$		(1.153)
		$\displaystyle=\frac{807}{807}=100\%!$		(1.154)

Exemplo 1.4.8.

Na tabela abaixo temos os erros em se computar

\frac{(1+x^{4})-1}{x^{4}}

(1.155)

para diferentes valores de $x$ .

$x$	erro
$1$	$0$
$10^{-1}$	$1.1\times 10^{-13}$
$10^{-2}$	$6.1\times 10^{-9}$
$10^{-3}$	$8.9\times 10^{-5}$
$10^{-4}$	$1.0\times 10^{0}$
$10^{-5}$	$1.0\times 10^{0}$

Observamos que, para o valor de $x=0.001$ o erro na computação já é da ordem de $10^{-5}$ e para valores de $x$ menores ou iguais a $0.0001$ o erro é catastrófico. Isto ocorre, pois se $x\leq 10^{-4}$ , então $x^{4}\leq 10^{-16}<\mathrm{eps}$ e, portanto, $(1+x^{4})-1=0$ .

Exemplo 1.4.9.

Uma equação de segundo grau $ax^{2}+bx+c=0$ tem raízes

	$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},$		(1.156)
	$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.$		(1.157)

Entretanto, no caso de $b$ ser positivo, a fórmula (1.156) não é adequada para a computação da raiz $x_{1}$ , pois pode ocorrer cancelamento catastrófico. Podemos contornar este problema reescrevendo (1.156) da seguinte forma

$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{-b% -\sqrt{b^{2}-4ac}}$	(1.158)
	$\displaystyle=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{2a(-b-\sqrt{b^{2}-4ac})}$	(1.159)
	$\displaystyle=\frac{-2c}{b+\sqrt{b^{2}-4ac}},$	(1.160)

a qual não sofre mais de cancelamento catastrófico. Observamos que também pode ocorrer cancelamento catastrófico no cálculo de $x_{2}$ pela fórmula (1.157), no caso de $b$ ser negativo.

1.4.3 Exercícios Resolvidos

ER 1.4.1.

O número de Euler é definido por

e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}

(1.161)

Determine o erro relativo da aproximação de $e$ pelo truncamento da série com 4 termos.

Resolução.

Denotamos $x=e$ e

$\displaystyle\tilde{x}$	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{3}\frac{1}{n!}$	(1.162)
	$\displaystyle=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$	(1.163)
	$\displaystyle=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$	(1.164)
	$\displaystyle=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$	(1.165)
	$\displaystyle=\frac{16}{6}$	(1.166)

O erro relativo é

⬇

1import math as m

2x = m.e

3xa = 16./6

4eabs = m.fabs(x-xa)

5erel = eabs/m.fabs(x)

6print(f"{erel*100:1.1f} %")

1.9 %

Concluímos que o erro relativo é de $1.9\%$ .

ER 1.4.2.

Calcule o número de condicionamento $\kappa_{f}(x)$ para $f(x)=x^{n}$ .

Resolução.

Calculamos o número de condicionamento como segue

$\displaystyle\kappa_{f}(x)$	$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|$	(1.167)
	$\displaystyle=\left\|\frac{x\cdot nx^{n-1}}{x^{n}}\right\|$	(1.168)
	$\displaystyle=\left\|\frac{nx^{n}}{x^{n}}\right\|$	(1.169)
	$\displaystyle=n,\quad x\neq 0.$	(1.170)

ER 1.4.3.

Calcule as raízes do seguinte polinômio quadrático

p(x)=10^{-6}x^{2}+10^{2}x+3\times 10^{-3}

(1.171)

com $10$ dígitos significativos corretos.

Resolução.

As raízes do polinômio quadrático podem ser calculados pela fórmula de Bhaskara

	$\displaystyle x_{1}$	$\displaystyle=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(1.172)
	$\displaystyle x_{2}$	$\displaystyle=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$		(1.173)

No entanto, a computação da raiz $x_{1}$ sofre de cancelamento catastrófico. Para contornar este problema, usamos (1.160), i.e.

x_{1}=\frac{-2c}{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}

(1.174)

Com o código

⬇

1import math as m

3a = 1e-6

4b = 1e2

5c = 3e-3

7delta = b**2 - 4*a*c

9x1 = -2*c/(b + m.sqrt(delta))

10x2 = (-b - m.sqrt(delta))/(2*a)

12print(f"{x1:1.9e}, {x2:1.9e}")

obtemos as saídas

  x_1 = -3.000000000e-05
  x_2 = -1.000000000e+08

1.4.4 Exercícios

E. 1.4.1.

Calcule o erro absoluto na aproximação de

a)

$\pi$ por $3.14$ .
b)

$10e$ por $27.18$ .

Forneça as respostas com $4$ dígitos significativos.

a) $1.593\times 10^{-3}$ ; b) $2.818\times 10^{-1}$ ;

E. 1.4.2.

Calcule o erro relativo na aproximação de

a)

$\pi$ por $3.14$ .
b)

$10e$ por $27.18$ .

Forneça as respostas em porcentagem.

a) $0.051\%$ ; b) $0.01\%$ ;

E. 1.4.3.

Com quantos dígitos significativos corretos

a)

$3.13$ aproxima $\pi$ ?
b)

$27.21$ aproxima $10e$ ?

a) $3$ ; b) $3$

E. 1.4.4.

Obtenha uma estimativa do erro de truncamento em se aproximar o valor de $\operatorname{sen}(1)$ usando-se $p_{5}(1)$ , onde $p_{5}(x)$ é o polinômio de Taylor de grau 5 da função $\operatorname{sen}(x)$ em torno de $x=0$ .

$1/6!\approx 1.4\times 10^{-3}$ .

E. 1.4.5.

Considerando que $x=2\pm 0.1$ , estime o erro absoluto em se calcular $y=e^{-x^{2}}\cos(\pi x/3)$ . Forneça a estimativa com $7$ dígitos significativos por arredondamento.

$2.002083\times 10^{-3}$

E. 1.4.6.

Considerando que $x=2\pm 2\%$ e $y=1.5\pm 0.3$ , estime o erro absoluto em se calcular $y=e^{-x^{2}}\cos(\pi y/3)$ . Forneça a estimativa com $6$ dígitos significativos por arredondamento.

$5.75403\times 10^{-3}$

E. 1.4.7.

Considere a computação de

y=\frac{1-\cos(h)}{h}

(1.175)

para $h=10^{-9}$ . Compute o valor de $y$ reescrevendo esta expressão de forma a mitigar o cancelamento catastrófico. Forneça o valor computado de $y$ com $2$ dígitos significativos por arredondamento.

$5.0\times 10^{-10}$

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	$\displaystyle\varepsilon_{\text{rel}}(y)$	$\displaystyle=\frac{\varepsilon_{\text{abs}}(y)}{\|y\|}$
		$\displaystyle=\frac{\|f^{\prime}(x)\|}{\|y\|}\varepsilon_{\text{abs}}(x)$
		$\displaystyle=\frac{\|x\|\cdot\|f^{\prime}(x)\|}{\|f(x)\|}\frac{\varepsilon_{\text{% abs}}(x)}{\|x\|}$
		$\displaystyle=\left\|\frac{xf^{\prime}(x)}{f(x)}\right\|\varepsilon_{\text{rel}}% (x).$

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Matemática Numérica I

1.4 Tipos e Medidas de Erros

Exemplo 1.4.1.

Exemplo 1.4.2.

Exemplo 1.4.3.

Exemplo 1.4.4.

1.4.1 Propagação de Erros

Exemplo 1.4.5.

Exemplo 1.4.6.

Exemplo 1.4.7.

1.4.2 Cancelamento Catastrófico

Exemplo 1.4.8.

Exemplo 1.4.9.

1.4.3 Exercícios Resolvidos

ER 1.4.1.

Resolução.

ER 1.4.2.

Resolução.

ER 1.4.3.

Resolução.

1.4.4 Exercícios

E. 1.4.1.

E. 1.4.2.

E. 1.4.3.

E. 1.4.4.

E. 1.4.5.

E. 1.4.6.

E. 1.4.7.

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