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Geometria analítica

1 Introdução

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1.1 Sistema de coordenadas no espaço

Um sistema cartesiano111René Descartes, 1596 - 1650, matemático e filósofo francês. Fonte: Wikipédia: René Descartes. de coordenadas no espaço é constituído de um ponto O e uma base de vetores B=(u→,v→,w→) no espaço. Dado um tal sistema, temos que cada ponto P determina de forma única um vetor

O⁢P→=(x,y,z)B (1.1)
=xu→+yv→+zw→ (1.2)

e vice-versa. Assim sendo, definimos que o ponto P tem coordenadas (x,y,z) e escrevemos P⁢(x,y,z). Consultemos a Figura 1.1.

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Figura 1.1: Sistema cartesiano de coordenadas no espaço.

O ponto O é chamado de origem (do sistema de coordenadas) e tem coordenadas O⁢(0,0,0). Dado um ponto P⁢(x,y,z), chama-se x de sua abscissa, y de sua ordenada e z de sua cota. As retas que passam por O e têm as mesmas direções de u→, v→ e w→ são, respectivamente, chamadas de eixo das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas. Os planos que contém O e representantes de dois vetores da base B são chamados de planos coordenados.

1.1.1 Sistema de coordenadas ortonormal

Salvo explicitado diferente, trabalharemos com um sistema de coordenadas ortonormal, i.e. sistema de base B=(i→,j→,k→) ortonormal. Mais ainda, estaremos assumindo que a base é positiva. Consultemos a Figura 1.2.

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Figura 1.2: Sistema de coordenadas ortonormal.

Neste sistema cartesiano, o eixos são perpendiculares entre si e seguem uma orientação x−y−z anti-horária. O plano x⁢y é o conjunto de pontos do espaço que têm cota nula, i.e.o conjunto de pontos (x,y⁢,0). O plano x⁢z é o conjunto de pontos do espaço que têm ordenada nula, i.e.o conjunto de pontos (x⁢,0,z). O plano y⁢z é o conjunto de pontos do espaço que têm abscissa nula, i.e.o conjunto de pontos (0,y,z).

Os planos coordenados são ortogonais entre si e dividem o espaço em oito regiões chamadas de octantes. A interseção destes planos é a origem O⁢(0,0,0) do sistema de coordenadas. A interseção entre os planos x⁢y e x⁢z é o eixo-x (das abscissas). A interseção entre os planos x⁢y e y⁢z é o eixo-y (das ordenadas). O eixo-z (das cotas) é a interseção entre os planos x⁢z e y⁢z.

1.1.2 Pontos e vetores

Seja dado um vetor u→=A⁢B→. Sabendo as coordenadas dos pontos de partida A⁢(xA,yA,zA) e de chegada B⁢(xB,yB,zB), temos que as coordenadas do vetor são

u→=A⁢B→=A⁢O→+O⁢B→ (1.3)
=−O⁢A→+O⁢B→ (1.4)
=−(xA,yA,zA)+(xB,yB,zB) (1.5)
=(xB−xA,yB−yA,zB−zA). (1.6)

Em uma linguagem menos formal, podemos dizer que as coordenadas de u→ é a resultante das coordenadas do ponto final menos as coordenadas do ponto de partida. Consulte a Figura 1.3.

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Figura 1.3: Relação entre as coordenadas dos pontos de partida e de chegada de um vetor.
Exemplo 1.1.1.

Dados os pontos A⁢(−1,1,2) e B⁢(3,−1,0), temos que o vetor u→=A⁢B→ tem coordenadas

u→=O⁢B→−O⁢A→ (1.7)
=(3−(−1),−1−1,0−2)=(4,−2,−2). (1.8)

Na Figura 1.4, temos um gráfico ilustrando a relação entre as coordenadas dos pontos de partida e de chegada do vetor u→. Observamos que duas representações do vetor u→ são mostradas: uma partindo do ponto A e outra partindo da origem O.

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Figura 1.4: Relação entre as coordenadas dos pontos de partida e de chegada de um vetor.

1.1.3 Ponto médio de um segmento

Dadas as coordenadas dos pontos extremos A⁢(xA,yA,zA) e B⁢(xB,yB,zB) de um segmento de reta A⁢B, podemos calcular as coordenadas de seu ponto médio, i.e. as coordenados do ponto M⁢(xM,yM,zM) que divide o segmento A⁢B em dois segmentos congruentes A⁢M e M⁢B. Consultemos a Figura 1.5.

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Figura 1.5: Coordenadas do ponto médio de um segmento.

Do fato de que A⁢M→=M⁢B→, temos

(xM−xA,yM−yA,zM−zA)=(xB−xM,yB−yM,zB−zM), (1.9)

Logo, segue que

xM−xA=xB−xM (1.10)
yM−yA=yB−yM (1.11)
zM−zA=zB−zM (1.12)

ou, equivalentemente,

2⁢xM=xA+xB (1.13)
2⁢yM=yA+yB (1.14)
2⁢zM=zA+zB (1.15)

Logo, temos que as coordenadas do ponto médio M do segmento A⁢B são as médias aritméticas das coordenadas dos pontos extremos A e B. Ou seja, temos

M=(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2). (1.16)
Exemplo 1.1.2.

Dados os pontos A=(−1,1,2) e B=(3,−1,0), temos que o ponto médio do segmento A⁢B tem coordenadas:

M=(−1+32,1+(−1)2,2+02) (1.17)
=(1,0,1). (1.18)

1.1.4 Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos A⁢(xA,yA,zA) e B⁢(xB,yB,zB) é o comprimento do segmento de reta A⁢B e, portanto, é a norma do vetor A⁢B→, i.e.

dist⁡(A,B):=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2. (1.19)
Exemplo 1.1.3.

Dados os pontos A=(−1,1,2) e B=(3,−1,0), temos que a distância entre eles é

dist⁡(A,B)=(3−(−1))2+(−1−1)2+(0−2)2 (1.20)
=(4)2+(−2)2+(−2)2=16+4+4=24=26. (1.21)

Equação da esfera

Por definição, a esfera de centro C⁢(xC,yC,zC) e raio r>0 é o conjunto de pontos do espaço que estão a uma distância r do ponto C. Consultemos a Figura 1.6. Ou seja, a esfera é o conjunto de pontos P⁢(x,y,z) tais que dist⁡(P,C)=r. Portanto, temos

dist⁡(P,C)=r (1.22)
(x−xC)2+(y−yC)2+(z−zC)2=r. (1.23)

Elevando ao quadrado, obtemos a equação da esfera

(x−xC)2+(y−yC)2+(z−zC)2=r2. (1.24)
Refer to caption
Figura 1.6: Esfera de centro C e raio r.

Mais adiante, veremos que a esfera é uma superfície quadrática, i.e.uma superfície do espaço tridimensional que é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem uma equação polinomial de segundo grau. De fato, expandindo os quadrados na equação da esfera (1.24) e rearranjando os termos, a equação pode ser escrita na forma

x2+y2+z2+m⁢x+n⁢y+p⁢z+q=0, (1.25)

o que é um caso particular de uma equação polinomial de segundo grau nas variáveis x, y e z. Atenção! Nem toda a equação da forma (1.25) representa uma esfera!

Exemplo 1.1.4.

text

  1. a)

    x2+y2+z2=4

    É a equação de uma esfera de centro C⁢(0,0,0) e raio r=2.

  2. b)

    x2+y2+z2−2⁢y=0

    Para verificarmos se esta equação representa uma esfera, completamos o quadrado na variável y, i.e.

    y2−2⁢y=y2−2⁢y+1−1 (1.26)
    =(y−1)2−1. (1.27)

    Logo, a equação pode ser reescrita como

    x2+(y−1)2−1+z2=0 (1.28)
    x2+(y−1)2+z2=1, (1.29)

    que é a equação da esfera de centro C⁢(0,1,0) e raio r=1.

  3. c)

    x2+y2+z2+2=0

    Esta equação não é uma esfera, bem como, não é lugar geométrico de nenhum ponto do espaço, pois a soma de três quadrados não pode ser negativa.

Proposição 1.1.1.

Uma equação da forma

x2+y2+z2+m⁢x+n⁢y+p⁢z+q=0 (1.30)

representa uma esfera, um ponto, ou não é lugar geométrico de nenhum ponto do espaço.

Demonstração.

Completando os quadrados, temos que a equação pode ser reescrita como

(x+m2)2+(y+n2)2+(z+p2)2=m2+n2+p24−q⏟λ. (1.31)

Logo, seguem-se os seguintes casos:

  1. a)

    λ>0: a equação representa uma esfera de centro C⁢(−m/2,−n/2,−p/2) e raio r=λ.

  2. b)

    λ=0: a equação representa o ponto C⁢(−m/2,−n/2,−p/2).

  3. c)

    λ<0: a equação não é lugar geométrico de nenhum ponto do espaço.

∎

1.1.5 Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Sejam A=(−1,2,1), B=(1,−2,0) e C=(x⁢,2,2) vértices consecutivos de um triângulo isósceles, cujos lados A⁢C e B⁢C são congruentes. Determine o valor de x.

Resolução.

Como os lados A⁢C e B⁢C são congruentes, temos que

dist⁡(A,C)=dist⁡(B,C) (1.32)
(x+1)2+02+12=(x−1)2+42+22 (1.33)
(x+1)2+02+12=(x−1)2+42+22 (1.34)
x2+2⁢x+1+1=x2−2⁢x+1+16+4 (1.35)
4⁢x=19 (1.36)
x=194. (1.37)
ER 1.1.2.

Sejam A=(−1,2,1), B=(1,−2,0) e M o ponto médio do segmento A⁢B. Determine as coordenadas do ponto P de forma que 2⁢A⁢P→=A⁢M→.

Resolução.

As coordenadas do ponto médio são

M=(−1+12,2+(−2)2,1+02)=(0,0,12). (1.38)

Agora, denotando P=(xP,yP,zP), temos

2⁢A⁢P→=A⁢M→ (1.39)
2⁢(xP−(−1),yP−2,zP−1)=(0−(−1)⁢,0−2,12−1) (1.40)
(2⁢xp+2,2⁢yP−4,2⁢zP−2)=(1,−2,−12). (1.41)

Portanto

2⁢xP+2=1⇒xP=−12 (1.42)
2⁢yP−4=−2⇒yP=1 (1.43)
2⁢zP−2=−12⇒zP=34. (1.44)

Logo, P=(−1/2,1,3/4).

1.1.6 Exercícios

E. 1.1.1.

Sejam dados os pontos A⁢(1,−1,2), B⁢(0,1,−2) e C⁢(2,−1,1). Faça o esboço de cada um dos seguintes segmentos orientados e determine as coordenadas dos vetores correspondentes:

  1. a)

    u→=A⁢B→

  2. b)

    v→=B⁢C→

  3. c)

    w→=C⁢A→

Estão, faço o esboço de cada vetor em um sistema de coordenadas ortonormal.


a) u→=(−1,2,−4). b) v→=(2,−2,3). c) w→=(−1,0,1).

E. 1.1.2.

Sejam dados os pontos A⁢(1,−1,2), E⁢(−1,2,0) e F⁢(2,−1,1). Faça o esboço de cada um dos seguintes segmentos e determine as coordenadas de seus pontos médios:

  1. a)

    M ponto médio do segmento A⁢E

  2. b)

    N ponto médio do segmento E⁢F

  3. c)

    P ponto médio do segmento F⁢A


a) M=(0,12⁢,1). b) N=(12,12,12). c) P=(32,−1,32).

E. 1.1.3.

Sejam dados os pontos A⁢(−1,1,−1) e M⁢(0,1,3). Determine o ponto B tal que M seja o ponto médio do segmento A⁢B.


B=(1,1,7)

E. 1.1.4.

Seja o segmento de reta A⁢B com A=(−2,1,−1) e B=(1,2,1). Determine as coordenadas do ponto P∈A⁢B tal que:

  1. a)

    A distância entre A e P seja 14 da distância entre A e B.

  2. b)

    A distância entre P e B seja 13 da distância entre A e B.

  3. c)

    A distância entre A e P seja 0<δ<1 da distância entre A e B.


a) P=(−54,54,−12). b) P=(2,73,53). c) P=(−2+3⁢δ⁢,1+δ,−1+2⁢δ).

E. 1.1.5.

Calcule o que se pede em cada item:

  1. a)

    A distância entre os pontos C⁢(1,2,3) e D⁢(3,4,5).

  2. b)

    A distância entre os pontos B⁢(−1,2,3) e C⁢(0,1,2).

  3. c)

    A distância entre os pontos E⁢(−1,0,2) e F⁢(2,1,−1).

  4. d)

    O comprimento do segmento de reta que une os pontos G⁢(1,1,1) e H(−1,−1, −1).

  5. e)

    A norma do vetor v→=(2,−1,3).


a) dist⁡(C,D)=2⁢3. b) dist⁡(B,C)=3. c) dist⁡(E,F)=19. d) |G⁢H|=2⁢3. e) ‖v→‖⁢14.

E. 1.1.6.

Determine a equação da esfera associada a cada item:

  1. a)

    Centro C⁢(1,2,3) e raio r=2.

  2. b)

    Centro C⁢(−1,2,−3) e raio r=2.

  3. c)

    Centro C⁢(−1,0,2) e contém o ponto P⁢(1,1,1).

  4. d)

    Contém os pontos A⁢(−1,−1,−1) e B⁢(1,1,1) e tem centro no ponto médio do segmento A⁢B.


a) (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=4. b) (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2=2. c) (x+1)2+y2+(z−2)2=14. d) x2+y2+z2=3.

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Pedro H A Konzen
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