Geometria Analítica

1 Retas e Planos 1.2 Equações da reta 2 Outros sistemas de coordenadas

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1.3 Equações do plano

Em revisão

Um plano $\pi$ fica unicamente determinado por um ponto $A\in\pi$ e dois vetores linearmente independentes $\vec{u},\vec{v}\in\pi$ ²²endnote: ²No sentido que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ têm representantes no plano $\pi$ .. Veja a Figura 1.9.

Refer to caption — Figura 1.9: Ilustração de um plano no espaço tridimensional.

Os chamados vetores diretores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ determinam infinitos planos paralelos entre si. O chamado ponto de ancoragem $A$ fixa um destes planos.

1.3.1 Equação vetorial do plano

Consideremos um plano $\pi$ determinado pelo ponto de ancoragem $A$ e os vetores diretores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ (veja a Figura 1.10). Então, um ponto $P\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ é coplanar a $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , i.e. $\overrightarrow{AP}$ , $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são linearmente dependentes. Ou seja, $P\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ pode ser escrito como combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ . Isto nos fornece a chamada equação vetorial do plano

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}P\in\pi% \Leftrightarrow\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},\quad\lambda,% \beta\in\mathbb{R}}.

(1.94)

Exemplo 1.3.1.

Consideremos o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A=(1,-1,1)$ e pelos vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ (Veja a Figura 1.11. Desta forma, uma equação vetorial para este plano é

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},

(1.95)

para $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ .

Tomando, por exemplo, $\lambda=-1$ e $\beta=1$ , obtemos

$\displaystyle\overrightarrow{AP}$	$\displaystyle=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v}$	(1.96)
	$\displaystyle=-(2,-1,0)+(0,1,1)$	(1.97)
	$\displaystyle=(-2,2,1).$	(1.98)

Observando que as coordenadas do ponto $P$ são iguais as coordenadas do vetor $\overrightarrow{OP}$ , temos

$\displaystyle\overrightarrow{OP}$	$\displaystyle=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$	(1.99)
	$\displaystyle=(1,-1,1)+(-2,2,1)$	(1.100)
	$\displaystyle=(-1,1,2).$	(1.101)

Ou seja, $P=(-1,1,2)\in\pi$ .

1.3.2 Equações paramétricas do plano

Seja um plano $\pi$ com ponto de ancoragem $A=(x_{A},y_{A},z_{A})\in\pi$ e vetores diretores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ . Então, todo o ponto $P=(x,y,z)$ neste plano $\pi$ satisfaz a equação vetorial

\overrightarrow{AP}=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},

(1.102)

para dados parâmetros $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ . Assim, temos

	$\displaystyle(x-x_{A},y-y_{A},z-z_{A})$	$\displaystyle=\lambda(u_{1},u_{2},u_{3})+\beta(v_{1},v_{2},v_{3})$		(1.103)
		$\displaystyle=(\lambda u_{1}+\beta v_{1},\lambda u_{2}+\beta v_{2},\lambda u_{% 3}+\beta v_{3}).$		(1.104)

Portanto, temos

$\displaystyle x-x_{A}$	$\displaystyle=\lambda u_{1}+\beta v_{1},$	(1.105)
$\displaystyle y-y_{A}$	$\displaystyle=\lambda u_{2}+\beta v_{2},$	(1.106)
$\displaystyle z-z_{A}$	$\displaystyle=\lambda u_{3}+\beta v_{3}.$	(1.107)

Ou, equivalentemente,

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }x}$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x_{A}+\lambda u_{1}+\beta v_{1}},$	(1.108)
$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }y}$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}y_{A}+\lambda u_{2}+\beta v_{2}},$	(1.109)
$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }z}$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}z_{A}+\lambda u_{3}+\beta v_{3}},$	(1.110)

as quais são chamadas de equações paramétricas do plano.

Exemplo 1.3.2.

No Exemplo 1.3.1, discutimos sobre o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A=(1,-1,1)$ e os vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ . Do que vimos acima, temos que

$\displaystyle x$	$\displaystyle=1+2\lambda,$	(1.111)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=-1-\lambda+\beta,$	(1.112)
$\displaystyle z$	$\displaystyle=1+\beta,$	(1.113)

são equações paramétricas deste plano.

Podemos usar as equações paramétricas do plano para plotá-lo usando o SymPy. Para tanto, podemos usar os seguintes comandos:

from sympy import *
from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface
var(’r,s’,real=True)
plot3d_parametric_surface(1+2*r,-1-r+s,1+s,
                          (r,-2,2),(s,-2,2),show=True,
                          xlabel=’$x$’,ylabel=’$y$’)

1.3.3 Equação geral do plano

Seja $\pi$ o plano determinado pelo ponto de ancoragem $A=(x_{A},y_{A},z_{A})$ e pelos vetores diretores $\vec{u}=(u_{1},u_{2},u_{3})$ e $\vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3})$ . Sabemos que $P=(x,y,z)\in\pi$ se, e somente se, $\overrightarrow{AP}$ , $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são linearmente dependentes. Ou, equivalentemente, o produto misto $[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]=0$ . Logo,

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]$	(1.114)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}x-x_{A}&y-y_{A}&z-z_{A}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$	(1.115)
	$\displaystyle=-u_{1}v_{2}z_{A}+u_{1}v_{3}y_{A}+u_{2}v_{1}z_{A}$	(1.116)
	$\displaystyle-u_{2}v_{3}x_{A}-u_{3}v_{1}y_{A}+u_{3}v_{2}x_{A}$	(1.117)
	$\displaystyle+x{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})}+y{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}(-u_{1}v_{3}+u_{3}v_{1})}+z{\color[rgb]{1,.5,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,.5,0}(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})}.$	(1.118)

Observamos que a equação acima tem a forma geral

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a}x+{\color[% rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}b}y+{\color[rgb]{% 1,.5,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,.5,0}c}z+d=0,

(1.119)

com $a, b, c, d$ não todos nulos ou, equivalentemente, $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\neq 0$ . Esta última é chamada equação geral do plano.

Exemplo 1.3.3.

No Exemplo 1.3.1, discutimos sobre o plano $\pi$ determinado pelo ponto $A=(1,-1,1)$ e os vetores $\vec{u}=(2,-1,0)$ e $\vec{v}=(0,1,1)$ . Para encontrarmos a equação geral deste plano, tomamos $P=(x,y,z)$ e calculamos

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=[\overrightarrow{AP},\vec{u},\vec{v}]$	(1.120)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}x-1&y+1&z-1\\ 2&-1&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}$	(1.121)
	$\displaystyle=-x-2y+2z-3.$	(1.122)

Ou seja, a equação geral deste plano é

-x-2y+2z-3=0.

(1.123)

1.3.4 Exercícios resolvidos

ER 1.3.1.

Seja $\pi$ um plano tal que $A=(2,0,-1)\in\pi$ , $P=(0,1,-1)\in\pi$ e $\vec{u}=(1,0,1)\in\pi$ . Determine uma equação vetorial para $\pi$ .

Resolução.

Para obtermos uma equação vetorial do plano $\pi$ , precisamos de um ponto e dois vetores l.i. em $\pi$ . Do enunciado, temos o ponto $A=(2,0,-1)\in\pi$ e o vetor $\vec{u}$ . Portanto, precisamos encontrar um vetor $\vec{v}\in\pi$ tal que $\vec{u}$ e $\vec{v}$ sejam l.i.. Por sorte, temos $P=(0,1,-1)\in\pi$ e, portanto $\overrightarrow{AP}\in\pi$ . Podemos tomar

	$\displaystyle\vec{v}$	$\displaystyle=\overrightarrow{AP}$		(1.124)
		$\displaystyle=(-2,1,0),$		(1.125)

pois $\vec{v}$ e $\vec{u}$ são l.i.. Logo, uma equação vetorial do plano $\pi$ é

	$\displaystyle\overrightarrow{AP}$	$\displaystyle=\lambda\vec{u}+\beta\vec{v},$		(1.126)
		$\displaystyle=\lambda(1,0,1)+\beta(-2,1,0),$		(1.127)

com $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ .

ER 1.3.2.

Seja $\pi$ o plano de equações paramétricas

	$\displaystyle x=-1+\lambda,$		(1.128)
	$\displaystyle y=\beta,$		(1.129)
	$\displaystyle z=1-\lambda+\beta.$		(1.130)

Determine o valor de $z_{P}$ de forma que $P=(-1,2,z_{P})\in\pi$ .

Resolução.

Para que $P=(-1,2,z_{P})$ pertença ao plano, devemos ter

	$\displaystyle-1=-1+\lambda,$		(1.131)
	$\displaystyle 2=\beta,$		(1.132)
	$\displaystyle z_{P}=1-\lambda+\beta.$		(1.133)

Das duas primeiras equações, obtemos $\lambda=0$ e $\beta=2$ . Daí, da terceira equação, temos

\displaystyle z_{P}=1-0+2=3.

(1.134)

Exercícios

E. 1.3.1.

Determine a equação vetorial do plano com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

$\overrightarrow{AP}=\lambda(2,-1,1)+\beta(-1,1,2),\quad\lambda,\beta\in\mathbb% {R}$

E. 1.3.2.

Seja o plano de equação vetorial $\overrightarrow{AP}=\lambda(2,-1,1)+\beta(-1,1,2)$ , $\lambda,\beta\in\mathbb{R}$ , com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ . Determine $x$ tal que $P=(x,3,0)$ pertença a este plano.

$x=5$

E. 1.3.3.

Determine as equações paramétricas do plano com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

$x=-1+2\lambda-\beta$ , $y=-\lambda+\beta$ , $z=2+\lambda+2\beta$

E. 1.3.4.

Considere o plano de equações paramétricas

$\displaystyle x$	$\displaystyle=-1+2\lambda-\beta,$	(1.135)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=-\lambda+\beta,$	(1.136)
$\displaystyle z$	$\displaystyle=2+\lambda+2\beta.$	(1.137)

Determine $y$ tal que $P=(-6,y,2)$ pertença a este plano.

$y=3$

E. 1.3.5.

Determine a equação geral do plano com ponto de ancoragem $A=(-1,0,2)$ e vetores diretores $\vec{u}=(2,-1,1)$ e $\vec{v}=(-1,1,2)$ .

$-3x-5y+z-5=0$

E. 1.3.6.

Considere o plano de equação geral $-3x-5y+z-5=0$ . Determine $z$ tal que o ponto $P=(0,0,z)$ pertença a este plano.

$z=5$

E. 1.3.7.

Considere o plano $\pi$ de equações paramétricas

$\displaystyle x$	$\displaystyle=-1+\lambda$	(1.138)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=\beta$	(1.139)
$\displaystyle z=$	$\displaystyle=1-\lambda+\beta$	(1.140)

A reta $r$ de equação paramétricas

$\displaystyle x$	$\displaystyle=2$	(1.141)
$\displaystyle y$	$\displaystyle=-1+2\lambda$	(1.142)
$\displaystyle z$	$\displaystyle=2\lambda$	(1.143)

é paralela ao plano $\pi$ ? Justifique sua resposta.

sim

E. 1.3.8.

Considere o plano $\pi$ de equação geral

6x-7y-5z=-6.

(1.144)

Determine uma equação paramétrica para a reta $r$ que é perpendicular ao plano $\pi$ e passa pelo ponto $A=(2,-1,0)$ .

$x=2+6\lambda$ , $y=-1-7\lambda$ , $z=-5\lambda$

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1.3 Equações do plano

1.3.1 Equação vetorial do plano

Exemplo 1.3.1.

1.3.2 Equações paramétricas do plano

Exemplo 1.3.2.

1.3.3 Equação geral do plano

Exemplo 1.3.3.

1.3.4 Exercícios resolvidos

ER 1.3.1.

Resolução.

ER 1.3.2.

Resolução.

Exercícios

E. 1.3.1.

E. 1.3.2.

E. 1.3.3.

E. 1.3.4.

E. 1.3.5.

E. 1.3.6.

E. 1.3.7.

E. 1.3.8.

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