Equações a diferenças

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1.1 Equações a diferenças

Equações a diferenças são aquelas que podem ser escritas na seguinte forma

f\left(y(n+k),\dotsc,y(n);n\right)=0,

(1.1)

onde $n=0,1,2,\ldots$ , $k\geq 0$ número natural e $y:n\mapsto y(n)$ é função discreta (incógnita).

Exemplo 1.1.1.

Vejamos os seguintes exemplos.

a)

Modelo de juros compostos

$y(n+1)=(1+r)y(n)$ (1.2)

Esta equação a diferenças modela uma aplicação corrigida a juros compostos com taxa $r$ por período de tempo $n$ (dia, mês, ano, etc.). Mais especificamente, seja $y(0)$ o valor da aplicação inicial, então

$y(1)=(1+r)y(0)$ (1.3)

é o valor corrigido a taxa $r$ no primeiro período (dia, mês, ano). No segundo período, o valor corrigido é

$y(2)=(1+r)y(1)$ (1.4)

e assim por diante.
b)

Equação logística

$y(n+1)=ry(n)\left(1-\frac{y(n)}{K}\right),$ (1.5)

onde $y(n)$ representa o tamanho da população no período $n$ , $r$ é a taxa de crescimento e $K$ um limiar de saturação.
c)

Sequência de Fibonacci¹¹1Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci.

$y(n+2)=y(n+1)+y(n),$ (1.6)

onde $y(0)=1$ e $y(1)=1$ .

Uma equação a diferenças (1.1) é dita ser de ordem $k$ (ou de $k$ -ésima ordem). É dita ser linear quando $f$ é função linear nas variáveis dependentes $y(n+k),y(n+k-1),\dotsc,y(n)$ , noutro caso é dita ser não linear.

Exemplo 1.1.2.

No Exemplo 1.1.1, temos

a)

O modelo de juros compostos é dado por equação a diferenças de primeira ordem e linear.
b)

A equação logística é uma equação a diferenças de primeira ordem e não linear.
c)

A sequência equação de Fibonacci é descrita por uma equação a diferenças de segunda ordem e linear.

A solução de uma equação a diferenças (1.1) é uma sequência de números $\left(y(n)\right)_{n=0}^{\infty}=\left(y(0),y(1),\dotsc,y(n),\ldots\right)$ que satisfazem a equação.

Exemplo 1.1.3.

Vamos calcular os primeiros quatro valores da solução de

	$\displaystyle y(n+1)=2y(n)-1,$		(1.7)
	$\displaystyle y(0)=0.$		(1.8)

Para tanto, podemos fazer o seguinte procedimento iterativo. Tendo o valor inicial $y(0)=0$ , temos

	$\displaystyle y(1)=2y(0)-1$		(1.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot 0-1$		(1.10)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(1.11)

Calculado $y(1)=-1$ , temos

	$\displaystyle y(2)=2y(1)-1$		(1.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)-1$		(1.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=-3.$		(1.14)

Então, seguimos

	$\displaystyle y(3)=2y(2)-1$		(1.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-3)-1$		(1.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=-7.$		(1.17)
	$\displaystyle y(4)=2y(3)-1$		(1.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-7)-1$		(1.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=-15.$		(1.20)

Com estes cálculos, podemos concluir que a solução da equação a diferenças é uma sequência da forma

(y(n))_{n=0}^{\infty}=(0,-1,-3,-7,-15,\ldots).

(1.21)

Podemos ilustrar a solução conforme feito na figura abaixo.

Refer to caption — Figura 1.1: Esboço do gráfica da solução da equação a diferenças discutida no Exemplo 1.1.3.

Para algumas equações a diferenças, é possível escrever a solução como uma forma fechada

y(n)=g(n),

(1.22)

onde $n=0,1,\ldots$ e $g:n\mapsto g(n)$ é a função discreta que representa a solução.

Exemplo 1.1.4.

Vamos encontrar a solução para o modelo de juros compostos

y(n+1)=(1+r)y(n),\quad n\geq 0.

(1.23)

A partir do valor inicial $y(0)$ , temos

	$\displaystyle y(1)=(1+r)y(0)$		(1.24)
	$\displaystyle y(2)=(1+r)y(1)$		(1.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1+r)(1+r)y(0)$		(1.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1+r)^{2}y(0)$		(1.27)
	$\displaystyle y(3)=(1+r)y(2)$		(1.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1+r)(1+r)^{2}y(0)$		(1.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=(1+r)^{3}y(0)$		(1.30)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$		(1.31)

Com isso, podemos inferir que a solução é dada por

y(n)=(1+r)^{n}y(0),

(1.32)

onde o valor inicial $y(0)$ é arbitrário.

1.1.1 Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Calcule $y(10)$ , sendo que

\displaystyle y(n+1)=1,05y(n),\quad n\geq 0,y(0)=1000.

(1.33)

Resolução.

Observamos que

	$\displaystyle y(1)=1,05y(0)$		(1.34)
	$\displaystyle y(2)=1,05y(1)$		(1.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=1,05\cdot 1,05y(0)$		(1.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=1,05^{2}y(0)$		(1.37)
	$\displaystyle y(3)=1,05y(2)$		(1.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=1,05\cdot 1,05^{2}y(0)$		(1.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=1,05^{3}y(0)$		(1.40)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$		(1.41)

Com isso, temos que a solução da equação a diferenças é

y(n)=1,05^{n}y(0).

(1.42)

Portanto,

	$\displaystyle y(10)=1,05^{10}y(0)$		(1.43)
	$\displaystyle\text{}\quad=1,05^{10}\cdot 1000$		(1.44)
	$\displaystyle\text{}\quad\approx 1628,89.$		(1.45)

ER 1.1.2.

Uma semente plantada produz uma flor com uma semente no final do primeiro ano e uma flor com duas sementes no final de cada ano consecutivo. Supondo que cada semente é plantada tão logo é produzida, escreva a equação de diferenças que modela o número de flores $y(n)$ no final do $n$ -ésimo ano.

Resolução.

No final do ano $n+2\geq 0$ , o número de flores é igual a

y(n+2)=2u(n+2)+3d(n+2),

(1.46)

onde $u(n+2)$ é o número de flores plantadas a um ano e $d(n+2)$ é o número de flores plantas há pelo menos dois anos. Ainda, temos

u(n+2)=u(n+1)+2d(n+1)

(1.47)

d(n+2)=u(n+1)+d(n+1).

(1.48)

Com isso, temos

	$\displaystyle y(n+2)=2\left[u(n+1)+2d(n-1)\right]+3\left[u(n+1)+d(n-1)\right]$		(1.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=2y(n+1)+u(n+1)+d(n+1)$		(1.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=2y(n+1)+\underbrace{u(n)+2d(n)}_{u(n+1)}+\underbrace% {u(n)+d(n)}_{d(n+1)}$		(1.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=2y(n+1)+2u(n)+3d(n)$		(1.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=2y(n)+y(n).$		(1.53)

Desta forma, concluímos que o número de plantas é modelado pela seguinte equação a diferenças de segunda ordem e linear

y(n+2)=2y(n+1)+y(n+2).

(1.54)

1.1.2 Exercícios

E. 1.1.1.

Classifique as seguintes equações a diferenças quanto a ordem e linearidade.

a)

$\displaystyle y(n+1)-\sqrt{2}y(n)=1$
b)

$\displaystyle ny(n+1)=y(n)\ln(n+1)$
c)

$\displaystyle y(n)=y(n+1)+2y(n+2)-1$
d)

$\displaystyle y(n+1)-\left[1-y(n)\right]\left[1+y(n)\right]=0$
e)

$\displaystyle y(n+2)=n\sqrt{y(n)}$

a) ordem 1, linear; b) ordem 1, linear; c) ordem 2, linear; d) ordem 1, não linear; e) ordem 2, não linear;

E. 1.1.2.

Para cada uma das seguintes equações a diferenças, calcule $y(3)$ .

a)

$\displaystyle y(n+1)-\sqrt{2}y(n)=1,\quad y(0)=1$
b)

$\displaystyle ny(n+1)=y(n)\ln(n+1),\quad y(1)=1$

a) $y(3)=3+3\sqrt{2}$ ; b) $y(3)=\frac{1}{2}\ln(2)\ln(3)$

E. 1.1.3.

Para cada uma das seguintes equações a diferenças, calcule $y(4)$ .

a)

$\displaystyle y(n)=y(n+1)+2y(n+2)-1,\quad y(0)=1,y(1)=0$
b)

$\displaystyle y(n+2)=n\sqrt{y(n)},\quad y(0)=1,y(1)=1$

a) $y(4)=1$ ; b) $y(4)=0$

E. 1.1.4.

Encontre a equação a diferenças que modela o saldo devedor anual de uma cliente de cartão de crédito com taxa de juros de 200% a.a. (ao ano), considerando uma dívida inicial no valor de $y(0)$ reais e que o cartão não está mais em uso.

$y(n+1)=3y(n)$ .

E. 1.1.5.

Considere uma espécie de seres vivos monogâmicos que após um mês de vida entram na fase reprodutiva. Durante a fase reprodutiva, cada casal produz um novo casal por mês. Desconsiderando outros fatores (por exemplo, mortalidade, perda de fertilidade, etc.), encontre a equação a diferenças que modela o número de casais no $n$ -ésimo mês.

Sequência de Fibonacci

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1.1 Equações a diferenças

Exemplo 1.1.1.

Exemplo 1.1.2.

Exemplo 1.1.3.

Exemplo 1.1.4.

1.1.1 Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Resolução.

ER 1.1.2.

Resolução.

1.1.2 Exercícios

E. 1.1.1.

E. 1.1.2.

E. 1.1.3.

E. 1.1.4.

E. 1.1.5.

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