Equações a diferenças

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3.1 Equações lineares de ordem 2

Aqui, vamos considerar equações lineares de ordem 2 com coeficientes constantes e homogêneas, i.e. equações da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(n+2)+p_{1}% y(n+1)+p_{2}y(n)=0},

(3.1)

onde $p_{1},p_{2}\in\mathbb{R}$ .

A ideia para resolver uma tal equação é de buscar por soluções da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(n)=\lambda% ^{n}},

(3.2)

onde $\lambda$ é um escalar não nulo (número real ou complexo). Substituindo em (3.1), obtemos

	$\displaystyle\lambda^{n+2}+p_{1}\lambda^{n+1}+p_{2}\lambda^{n}=0$		(3.3)
	$\displaystyle\lambda^{n}\left(\lambda^{2}+p_{1}\lambda+p_{2}\right)=0.$		(3.4)

Ou seja, $\lambda$ deve satisfazer a equação característica

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lambda^{2}+% p_{1}\lambda+p_{2}=0}.

(3.5)

3.1.1 Caso de raízes reais distintas

Aqui, vamos encontrar a solução geral para (3.1) quando a equação característica associada (3.5) tem raízes reais distintas. As raízes podem ser obtidas da fórmula de Bhaskara, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lambda_{1},% \lambda_{2}=\frac{-p_{1}\pm\sqrt{p_{1}^{2}-4p_{2}}}{2}},

(3.6)

onde $p_{1}^{2}-4p_{2}>0$ . Com isso, temos as soluções

	$\displaystyle y_{1}(n)=\lambda_{1}^{n},$		(3.7)
	$\displaystyle y_{2}(n)=\lambda_{2}^{n}.$		(3.8)

Estas são chamadas de soluções fundamentais, pois pode-se mostrar que qualquer solução da equação a diferenças (3.1) pode ser escrita como combinação linear de $y_{1}(n)$ e $y_{2}(n)$ . Ou seja, a solução geral de (3.1) é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(n)=c_{1}% \underbrace{\,\lambda_{1}^{n}\,}_{y_{1}(n)}+c_{2}\underbrace{\,\lambda_{2}^{n}% \,}_{y_{2}(n)}},

(3.9)

onde $c_{1}$ e $c_{2}$ são constantes indeterminadas.

Exemplo 3.1.1.

Vamos encontrar a solução geral de

y(n+2)-4y(n)=0.

(3.10)

Para tanto, resolvemos a equação característica associada

	$\displaystyle\lambda^{2}-4=0$		(3.11)
	$\displaystyle\lambda^{2}=4$		(3.12)
	$\displaystyle\lambda=\pm 2$		(3.13)

Com isso, temos as soluções fundamentais $y_{1}(n)=(-2)^{n}$ e $y_{2}(n)=2^{n}$ . A solução geral é

y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot 2^{n}.

(3.14)

3.1.2 Caso de raízes reais duplas

Agora, vamos encontrar a solução geral para (3.1) quando a equação característica associada (3.5) tem raízes reais duplas, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lambda_{1,2% }=-\frac{p_{1}}{2}}.

(3.15)

Neste caso, múltiplos de

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y_{1}(n)=% \lambda^{n}_{1,2}}

(3.16)

não nos fornecem todas as soluções possíveis da equação a diferenças. Entretanto, temos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y_{2}(n)=n% \lambda_{1,2}^{n-1}},

(3.17)

também é solução. De fato, substituindo em (3.1), obtemos

	$\displaystyle y_{2}(n+2)+p_{1}y_{2}(n+1)+p_{2}y_{2}(n)=0$		(3.18)
	$\displaystyle(n+2)\lambda_{1,2}^{n+1}+p_{1}\cdot(n+1)\lambda_{1,2}^{n}+p_{2}% \cdot n\lambda_{1,2}^{n-1}=0$		(3.19)
	$\displaystyle n\lambda_{1,2}^{-1}\left(\underbrace{\lambda_{1,2}^{n+2}+p_{1}% \cdot\lambda_{1,2}^{n+1}+p_{2}\lambda_{1,2}^{n}}_{=0}\right)+2\lambda_{1,2}^{n% +1}+p_{1}\lambda_{1,2}^{n}=0$		(3.20)
	$\displaystyle 2\left(-\frac{p_{1}}{2}\right)^{n+1}+p_{1}\left(-\frac{p_{1}}{2}% \right)^{n}=0$		(3.21)
	$\displaystyle(-1)^{n+1}\frac{p_{1}^{n+1}}{2^{n}}+(-1)^{n}\frac{p_{1}^{n+1}}{2^% {n}}=0$		(3.22)
	$\displaystyle 0=0.$		(3.23)

Com isso, temos que a solução geral da equação a diferenças é dada por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(n)=c_{1}% \lambda_{1,2}^{n}+c_{2}n\lambda_{1,2}^{n-1}}.

(3.24)

Exemplo 3.1.2.

Vamos encontrar a solução geral de

y(n+2)+4y(n+1)+4y(n)=0.

(3.25)

Começamos encontrando as soluções da equação característica associada

	$\displaystyle\lambda^{2}+4\lambda+4=0$		(3.26)
	$\displaystyle(\lambda+2)^{2}=0$		(3.27)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=-2.$		(3.28)

Desta forma, temos as soluções fundamentais

	$\displaystyle y_{1}(n)=(-2)^{n}$		(3.29)
	$\displaystyle y_{2}(n)=n\cdot(-2)^{n-1}$		(3.30)

e a solução geral

	$\displaystyle y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot n\cdot(-2)^{n-1}$		(3.31)
	$\displaystyle y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot n\cdot\frac{(-2)^{n}}{-2}$		(3.32)
	$\displaystyle y(n)=c_{1}\cdot(-2)^{n}+c_{2}\cdot n\cdot(-2)^{n}$		(3.33)
	$\displaystyle y(n)=(-2)^{n}\cdot\left(c_{1}+c_{2}\cdot n\right)$		(3.34)

3.1.3 Caso de raízes complexas

Agora, vamos encontrar a solução geral para (3.1) quando a equação característica associada (3.5) tem raízes complexas, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lambda_{1,2% }=\alpha\pm i\beta}.

(3.35)

Neste caso, temos a solução geral

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(n)=c_{1}(% \alpha-i\beta)^{n}+c_{2}(\alpha+i\beta)^{n}}.

(3.36)

Exemplo 3.1.3.

Vamos encontrar a solução geral de

y(n+2)+4y(n)=0.

(3.37)

Resolvemos a equação característica associada.

	$\displaystyle\lambda^{2}+4=0$		(3.38)
	$\displaystyle\lambda^{2}=-4$		(3.39)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=\pm 2i$		(3.40)

Com isso, temos a solução geral

y(n)=c_{1}\cdot(-2i)^{n}+c_{2}\cdot(2i)^{n}.

(3.41)

3.1.4 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

A sequência de Fibonacci¹¹1Leonardo Fibonacci, 1170 - 1250, matemático italiano. Fonte: Wikipédia: Leonardo Fibonacci.

1,1,2,3,5,8,13,\ldots

(3.42)

tem valores iniciais $y(1)=1$ , $y(2)=1$ e os demais valores $y(n+2)=y(n+1)+y(n)$ . Logo, a sequência é solução da equação a diferenças

	$\displaystyle y(n+2)-y(n+1)-y(n)=0,\quad n\geq 1,$		(3.43)
	$\displaystyle y(1)=1,\quad y(2)=1.$		(3.44)

Resolva esta equação a diferença de forma a obter uma forma fechada para $y(n)$ , i.e. o $n$ -ésimo valor na sequência de Fibonacci.

Resolução.

A equação a diferenças

y(n+2)-y(n+1)-y(n)=0

(3.45)

é linear e com coeficientes constantes. Desta forma, temos a equação característica associada

\lambda^{2}-\lambda-1=0

(3.46)

a qual tem raízes reais distintas

	$\displaystyle\lambda_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},$		(3.47)
	$\displaystyle\lambda_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$		(3.48)

Logo, a solução geral desta equação é

y(n)=c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+c_{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2% }\right)^{n},\quad n\geq 1.

(3.49)

Agora, aplicando os valores iniciais $y(1)=1$ e $y(2)=2$ , obtemos

	$\displaystyle y(1)=1$		(3.50)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+c_% {2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)=1$		(3.51)
	$\displaystyle y(2)=1$		(3.52)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow c_{1}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2% }+c_{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=1$		(3.53)

Resolvendo, obtemos

	$\displaystyle c_{1}=-\frac{1}{\sqrt{5}},$		(3.54)
	$\displaystyle c_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$		(3.55)

Concluímos que a solução é

y(n)=-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\frac{1}{\sqrt{5% }}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n},\quad n\geq 1.

(3.56)

ER 3.1.2.

Entre a solução da seguinte equações a diferenças

	$\displaystyle y(n+2)-2y(n+1)+y(n)=0,\quad n\geq 0,$		(3.57)
	$\displaystyle y(0)=1,\quad y(1)=1.$		(3.58)

Resolução.

Trata-se de uma equação a diferenças de ordem 2 com coeficientes constantes e homogênea. A equação característica associada é

\lambda^{2}-2\lambda+1=0

(3.59)

com raízes reais duplas $\lambda_{1,2}=1$ . Assim sendo, a solução geral é

	$\displaystyle y(n)=c_{1}\cdot 1^{n}+c_{2}\cdot n\cdot 1^{n}$		(3.60)
	$\displaystyle\text{}\quad=c_{1}+c_{2}\cdot n.$		(3.61)

Aplicando os valores iniciais, obtemos

	$\displaystyle y(0)=1\Rightarrow c_{1}=1$		(3.62)
	$\displaystyle y(1)=1\Rightarrow 1+c_{2}=1$		(3.63)

Logo, temos $c_{1}=1$ e $c_{2}=0$ . Concluímos que a solução é a sequência constante

y(n)=1.

(3.64)

ER 3.1.3.

Resolva a seguinte equação a diferenças

y(n+2)-2y(n+1)+2=0.

(3.65)

Resolução.

Sendo a equação a diferenças linear homogênea com coeficientes constantes, resolvemos a equação característica

	$\displaystyle\lambda^{2}-2\lambda+2=0$		(3.66)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 2}}{2}$		(3.67)
	$\displaystyle\lambda_{1,2}=1\pm i$		(3.68)

Sendo estas as raízes, temos a solução geral

y(n)=c_{1}(1-i)^{n}+c_{2}(1+i)^{n}.

(3.69)

3.1.5 Exercícios

E. 3.1.1.

Calcule a solução geral de

y(n+2)-5y(n+1)+6y(n)=0

(3.70)

$y(n)=c_{1}\cdot 2^{n}+c_{2}\cdot 3^{n}$

E. 3.1.2.

Calcule a solução geral de

y(n+2)-4y(n+1)+4y(n)=0

(3.71)

$y(n)=2^{n}(c_{1}+c_{2}\cdot n)$

E. 3.1.3.

Calcule a solução geral de

y(n+2)+4y(n+1)+13y(n)=0

(3.72)

$y(n)=c_{1}(-2-3i)^{n}+c_{2}(-2+3i)^{n}$

E. 3.1.4.

Resolva

	$\displaystyle y(n+2)-2y(n+1)-8y(n)=0,\quad n\geq 0,$		(3.73)
	$\displaystyle y(0)=2,\quad y(1)=-1.$		(3.74)

$y(n)=\frac{3}{2}(-2)^{n}+\frac{1}{2}4^{n}$

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3.1 Equações lineares de ordem 2

3.1.1 Caso de raízes reais distintas

Exemplo 3.1.1.

3.1.2 Caso de raízes reais duplas

Exemplo 3.1.2.

3.1.3 Caso de raízes complexas

Exemplo 3.1.3.

3.1.4 Exercícios resolvidos

ER 3.1.1.

Resolução.

ER 3.1.2.

Resolução.

ER 3.1.3.

Resolução.

3.1.5 Exercícios

E. 3.1.1.

E. 3.1.2.

E. 3.1.3.

E. 3.1.4.

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