Deep Learning para Equações Diferenciais Parciais

4 Redes informadas pela física 4 Redes informadas pela física 4.2 Aplicação: equação do calor

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4.1 Aplicação: Equação de Poisson

Em revisão

Vamos criar uma MLP para resolver o problema de Poisson¹¹1Siméon Denis Poisson, 1781 - 1840, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Siméon Denis Poisson.


	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}-\Delta u=f,% \leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{x}\in\mathcal{D}=(-1,1)^{2},$		(4.1a)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u=0,% \leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{x}\in\partial D,$		(4.1b)

com fonte dada

f(x_{1},x_{2})=2\pi^{2}\operatorname{sen}(\pi x_{1})\operatorname{sen}(\pi x_{% 2}).

(4.2)

No treinamento, vamos usar a função erro baseada no resíduo da equação de Poisson (4.1a) e nas condições de contorno (4.1b). Mais especificamente, assumimos a função erro

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\varepsilon:=% \underbrace{\frac{1}{n_{s,in}}\sum_{s=1}^{n_{s,in}}\left|\mathcal{R}\left(% \tilde{u}^{(s)}\right)\right|^{2}}_{\text{res\'{\i}duo}}+\underbrace{\frac{1}{% n_{s,cc}}\sum_{s=1}^{n_{s,cc}}\left|\tilde{u}^{s}\right|^{2}}_{\text{c.c.}},

(4.3)

onde o resíduo é definido por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\mathcal{R}% \left(\tilde{u}^{(s)}\right):=f+\Delta\tilde{u}^{(s)}.

(4.4)

A cada época, conjuntos de pontos $\left\{\boldsymbol{x}^{(s)}\right\}_{s=1}^{n_{s,in}}\subset\mathcal{D}$ e $\left\{\boldsymbol{x}^{(s)}\right\}_{s=1}^{n_{s,cc}}\subset\partial\mathcal{D}$ são randomicamente gerados com distribuição uniforme.

Observação 4.1.1.

O problema de Poisson (4.1) tem solução analítica

u(x_{1},x_{2})=\operatorname{sen}(\pi x_{1})\operatorname{sen}(\pi x_{2}).

(4.5)

É importante observar que o treinamento da MLP não depende de conhecermos a solução. Aqui, vamos usá-la apenas para compararmos a solução MLP com a analítica.

Figura 4.1: Aproximação MLP da solução do problema de Poisson (4.1). Linhas: isolinhas da solução analítica. Mapa de cores: solução MLP. Pontos: amostras de pontos de colocação.

Código 11: py_pinn_poisson.py

⬇

1import torch

2from torch import pi, sin

4device = torch.device('cuda')

5print(f'Using device: {device}')

7# modelo

8nh = 3

9nn = 50

10model = torch.nn.Sequential()

11model.add_module('layer0', torch.nn.Linear(2, nn))

12model.add_module('act0', torch.nn.Tanh())

13for i in range(1, nh):

14 model.add_module(f'layer{i}', torch.nn.Linear(nn, nn))

15 model.add_module(f'act{i}', torch.nn.Tanh())

16model.add_module(f'layer{nh}', torch.nn.Linear(nn, 1))

17model.to(device)

19# otimizador

20optim = torch.optim.SGD(model.parameters(),

21 lr = 0.001, momentum=0.9)

23# fonte

24def f(X):

25 return 2.*pi**2*sin(pi*X[:,0:1])*sin(pi*X[:,1:2])

27# treinamento

28ns_in = 400

29ns_bc = 20

31nepochs = 50000

32tol = 1e-3

35for epoch in range(nepochs):

37 optim.zero_grad()

39 # forward

40 Xin = (2.*torch.rand(ns_in, 2, device=device) - 1.)

41 Xin.requires_grad = True

43 U = model(Xin)

45 # gradientes

46 ## dUdx1, dUdx2

47 D1U = torch.autograd.grad(

48 U, Xin,

49 grad_outputs=torch.ones_like(U),

50 retain_graph=True,

51 create_graph=True)[0]

52 ## d2Udx1dx1

53 D2UX1 = torch.autograd.grad(

54 D1U[:,0:1], Xin,

55 grad_outputs=torch.ones_like(D1U[:,0:1]),

56 retain_graph=True,

57 create_graph=True)[0][:,0:1]

58 ## d2Udx2dx2

59 D2UX2 = torch.autograd.grad(

60 D1U[:,1:2], Xin,

61 grad_outputs=torch.ones_like(D1U[:,1:2]),

62 retain_graph=True,

63 create_graph=True)[0][:,1:2]

65 # fonte

66 F = f(Xin)

68 # loss pts internos

69 lin = torch.mean((F + D2UX1 + D2UX2)**2)

71 # contornos

72 x1_bc = 2.*torch.rand(ns_bc, device=device) - 1.

73 x2_bc = 2.*torch.rand(ns_bc, device=device) - 1.

75 ## c.c. 1

76 Xcc1 = torch.stack((x1_bc, -torch.ones_like(x1_bc)), dim=1)

77 Ucc1 = model(Xcc1)

78 lcc1 = torch.mean(Ucc1**2)

80 ## c.c. 3

81 Xcc3 = torch.stack((x1_bc, torch.ones_like(x1_bc)), dim=1)

82 Ucc3 = model(Xcc3)

83 lcc3 = torch.mean(Ucc3**2)

85 ## c.c. 4

86 Xcc4 = torch.stack((-torch.ones_like(x2_bc), x2_bc), dim=1)

87 Ucc4 = model(Xcc4)

88 lcc4 = torch.mean(Ucc4**2)

90 ## c.c. 2

91 Xcc2 = torch.stack((torch.ones_like(x2_bc), x2_bc), dim=1)

92 Ucc2 = model(Xcc2)

93 lcc2 = torch.mean(Ucc2**2)

95 lcc = 0.25*(lcc1 + lcc2 + lcc3 + lcc4)

97 # loss

98 loss = lin + lcc

100 if ((epoch % 100 == 0) or (loss.item() < tol)):

101 print(f'{epoch}: loss = {loss.item():.3e}, lin = {lin.item():.2e}, lcc = {lcc.item():.2e}')

102

103 #store for later plotting

104 torch.save(model, 'model.pt')

105 torch.save(Xin, 'Xin.pt')

106 torch.save(x1_bc, 'x1_bc.pt')

107 torch.save(x2_bc, 'x2_bc.pt')

108

109 if (loss.item() < tol):

110 break

111

112 loss.backward()

113 optim.step()

4.1.1 Exercícios

E. 4.1.1.

Crie uma MLP para resolver

	$\displaystyle-\Delta u=0,\leavevmode\nobreak\ \boldsymbol{x}\in D=(0,1)^{2},$		(4.6)
	$\displaystyle u(x_{1},0)=x1(1-x_{1}),0\leq x_{1}\leq 1,$		(4.7)
	$\displaystyle u(1,x_{2})=x2(1-x_{2}),0<x_{2}\leq 1,$		(4.8)
	$\displaystyle u(x_{1},1)=x1(1-x_{1}),0\leq x_{1}<1,$		(4.9)
	$\displaystyle u(0,x_{2})=x2(1-x_{2}),0<x_{2}<1.$		(4.10)

Dica: solução analítica $u(x_{1},x_{2})=x_{1}(1-x_{1})-x_{2}(1-x_{2})$ .

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