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Nesta seção, fazemos uma rápida discussão sobre normas de vetores e matrizes e sobre o condicionamento de uma matriz.
A norma de um dado vetor é definida por
(3.136) |
Lembrando que o produto interno de dois vetores é definido por
(3.137) |
temos que
(3.138) |
Sejam os vetores
(3.139) | ||||
(3.140) |
(3.141) | ||||
(3.142) | ||||
(3.143) | ||||
(3.144) |
(3.145) | ||||
(3.146) | ||||
(3.147) | ||||
(3.148) |
(Propriedades da Norma para Vetores.) Dados os vetores e um escalar , temos:
Positividade
(3.149) | |||
(3.150) |
Multiplicação por escalar
(3.151) |
Desigualdade de Cauchy3232endnote: 32Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Augustin-Louis Cauchy.-Schwarz3333endnote: 33Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Hermann Amandus Schwarz.
(3.152) |
Desigualdade triangular
(3.153) |
Sejam dados e .
Positividade.
Observa-se diretamente que . Então, como a raiz quadrada é uma função não-negativa, concluímos que
(3.154) | ||||
No caso de , temos , , donde
(3.155) | ||||
Ou seja, se , então . Agora, se , então tem-se para algum . Logo, pela monotonicidade da função raiz quadrada, temos
(3.156) | |||
(3.157) | |||
(3.158) |
Portanto, concluímos que se, e somente se, .
Multiplicação por escalar.
Observamos que
(3.159) |
Então, segue por cálculo direto que
(3.160) | ||||
(3.161) | ||||
(3.162) | ||||
(3.163) |
Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Sem perda de generalidade, se , então a desigualdade é imediatamente satisfeita. Suponhamos, agora, que . Para qualquer , temos
(3.164) | ||||
(3.165) | ||||
(3.166) |
O lado direito desta desigualdade é um polinômio quadrático em . Para ser não-negativo para todo , seu discriminante precisa ser não-positivo, i.e.
(3.167) | |||
(3.168) | |||
(3.169) | |||
(3.170) |
Donde, concluímos que
(3.171) |
Desigualdade triangular
Consulte o Exercício 3.2.6 para a demonstração da desigualdade triangular.
∎
Vamos verificar a Desigualdade Triangular (3.153) para os vetores
(3.172) | ||||
(3.173) |
De fato, temos
(3.174) | ||||
(3.175) | ||||
(3.176) | ||||
(3.177) |
e
(3.178) | ||||
(3.179) | ||||
(3.180) | ||||
(3.181) |
Ou seja, temos que
(3.182) |
como esperado.
A norma induzida de uma dada matriz real é definida por
(3.183) |
Pode-se mostrar que3434endnote: 34Consulte [7, Section 1.3-3] para informações sobre a demonstração.
(3.184) |
onde .
Tendo em vista o grande custo computacional em se calcular a norma induzida, vamos trabalhar com a norma de Frobenius (ou norma Euclidiana3535endnote: 35Euclides de Alexandria, 300 a.C., matemático grego. Fonte: Wikipédia: Euclides.)
(3.185) |
Esta é uma generalização da norma euclidiana para vetores e é equivalente a norma induzida, i.e.
(3.186) |
A matriz
(3.187) |
tem norma
(3.188) |
(Propriedades da Norma para Matrizes.) Dadas as matrizes reais , um vetor e um escalar , temos
Positividade
(3.189) | |||
(3.190) |
Multiplicação por escalar
(3.191) |
Desigualdade triangular
(3.192) |
Sub-multiplicatividade
(3.193) |
Norma da aplicação
(3.194) |
Consulte o Exercício 3.2.7. ∎
Vamos ver exemplos das propriedades d) e e) da norma de matriz.
Sub-multiplicatividade
(3.195) | |||
(3.196) |
Norma da aplicação
(3.197) | |||
(3.198) |
Em revisão
O número de condicionamento de uma matriz é uma medida referente a propagação de erros que ocorre da sua aplicação. Mais especificamente, assumamos que seja dada uma matriz invertível , um vetor e uma perturbação . Além disso, sejam
(3.199) | ||||
(3.200) |
Ou seja, é a perturbação em propagada da aplicação de em com perturbação .
Agora, podemos estimar a razão entre os erros relativos
(3.201) | |||
(3.202) |
da seguinte forma
(3.203) | ||||
(3.204) | ||||
(3.205) | ||||
(3.206) |
Logo, temos a seguinte estimativa de propagação de erro
(3.207) |
Isto nos motiva a definir o número de condicionamento da matriz por
(3.208) |
A matriz identidade tem o menor número de condicionamento que é
(3.209) |
temos que e quanto maior, mais mal condicionada é a matriz. Ou seja, quando maior , maior é a propagação dos erros ao se computar .
Estudamos os seguintes exemplos:
Matriz bem condicionada.
(3.210) |
cujo número de condicionamento é .
Matriz mal condicionada.
(3.211) |
tem número de condicionamento
(3.212) |
o que indica que é uma matriz mal condicionada.
Compute a norma de cada um dos seguintes vetores:
a) ; b) ; c) ;
Compute a norma de cada uma das seguintes matrizes:
(3.213) |
(3.214) |
(3.215) |
a) ; b) ; c)
Compute o número de condicionamento de cada uma das seguintes matrizes:
(3.216) |
(3.217) |
(3.218) |
(3.219) |
(3.220) |
Qual das matriz acima é a mais mal condicionada? Justifique sua resposta.
a) ; b) ; c) ; d) e) , a mais mal condicionada.
Considere o seguinte sistema linear
(3.221) | ||||
(3.222) | ||||
(3.223) |
Compute a norma do vetor dos termos constantes deste sistema.
Compute a norma matriz dos coeficientes deste sistema.
Compute o número de condicionamento da matriz dos coeficientes deste sistema.
a) ; b) ; c)
Considere
(3.224) |
Compute .
Aloque a matriz diagonal , cujos elementos da diagonal sejam iguais aos da matriz .
Verifique que o número de condicionamento de é melhor que o de .
a) ; b) M = np.diag(np.diag(A)); c)
Mostre que a Desigualdade triangular
(3.225) |
vale para quaisquer .
Dica: use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz (3.152).
Mostre a Proposição 3.2.2.
Dica: use as propriedades da norma de vetores.
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.
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(3.136) |
Lembrando que o produto interno de dois vetores é definido por
(3.137) |
temos que
(3.138) |
Sejam os vetores
(3.139) | ||||
(3.140) |
(3.141) | ||||
(3.142) | ||||
(3.143) | ||||
(3.144) |
(3.145) | ||||
(3.146) | ||||
(3.147) | ||||
(3.148) |
(Propriedades da Norma para Vetores.) Dados os vetores e um escalar , temos:
Positividade
(3.149) | |||
(3.150) |
Multiplicação por escalar
(3.151) |
Desigualdade de Cauchy3232endnote: 32Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857, matemático francês. Fonte: Wikipédia: Augustin-Louis Cauchy.-Schwarz3333endnote: 33Karl Hermann Amandus Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Hermann Amandus Schwarz.
(3.152) |
Desigualdade triangular
(3.153) |
Sejam dados e .
Positividade.
Observa-se diretamente que . Então, como a raiz quadrada é uma função não-negativa, concluímos que
(3.154) | ||||
No caso de , temos , , donde
(3.155) | ||||
Ou seja, se , então . Agora, se , então tem-se para algum . Logo, pela monotonicidade da função raiz quadrada, temos
(3.156) | |||
(3.157) | |||
(3.158) |
Portanto, concluímos que se, e somente se, .
Multiplicação por escalar.
Observamos que
(3.159) |
Então, segue por cálculo direto que
(3.160) | ||||
(3.161) | ||||
(3.162) | ||||
(3.163) |
Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Sem perda de generalidade, se , então a desigualdade é imediatamente satisfeita. Suponhamos, agora, que . Para qualquer , temos
(3.164) | ||||
(3.165) | ||||
(3.166) |
O lado direito desta desigualdade é um polinômio quadrático em . Para ser não-negativo para todo , seu discriminante precisa ser não-positivo, i.e.
(3.167) | |||
(3.168) | |||
(3.169) | |||
(3.170) |
Donde, concluímos que
(3.171) |
Desigualdade triangular
Consulte o Exercício 3.2.6 para a demonstração da desigualdade triangular.
∎
Vamos verificar a Desigualdade Triangular (3.153) para os vetores
(3.172) | ||||
(3.173) |
De fato, temos
(3.174) | ||||
(3.175) | ||||
(3.176) | ||||
(3.177) |
e
(3.178) | ||||
(3.179) | ||||
(3.180) | ||||
(3.181) |
Ou seja, temos que
(3.182) |
como esperado.
A norma induzida de uma dada matriz real é definida por
(3.183) |
Pode-se mostrar que3434endnote: 34Consulte [7, Section 1.3-3] para informações sobre a demonstração.
(3.184) |
onde .
Tendo em vista o grande custo computacional em se calcular a norma induzida, vamos trabalhar com a norma de Frobenius (ou norma Euclidiana3535endnote: 35Euclides de Alexandria, 300 a.C., matemático grego. Fonte: Wikipédia: Euclides.)
(3.185) |
Esta é uma generalização da norma euclidiana para vetores e é equivalente a norma induzida, i.e.
(3.186) |
A matriz
(3.187) |
tem norma
(3.188) |
(Propriedades da Norma para Matrizes.) Dadas as matrizes reais , um vetor e um escalar , temos
Positividade
(3.189) | |||
(3.190) |
Multiplicação por escalar
(3.191) |
Desigualdade triangular
(3.192) |
Sub-multiplicatividade
(3.193) |
Norma da aplicação
(3.194) |
Consulte o Exercício 3.2.7. ∎
Vamos ver exemplos das propriedades d) e e) da norma de matriz.
Sub-multiplicatividade
(3.195) | |||
(3.196) |
Norma da aplicação
(3.197) | |||
(3.198) |
Em revisão
O número de condicionamento de uma matriz é uma medida referente a propagação de erros que ocorre da sua aplicação. Mais especificamente, assumamos que seja dada uma matriz invertível , um vetor e uma perturbação . Além disso, sejam
(3.199) | ||||
(3.200) |
Ou seja, é a perturbação em propagada da aplicação de em com perturbação .
Agora, podemos estimar a razão entre os erros relativos
(3.201) | |||
(3.202) |
da seguinte forma
(3.203) | ||||
(3.204) | ||||
(3.205) | ||||
(3.206) |
Logo, temos a seguinte estimativa de propagação de erro
(3.207) |
Isto nos motiva a definir o número de condicionamento da matriz por
(3.208) |
A matriz identidade tem o menor número de condicionamento que é
(3.209) |
temos que e quanto maior, mais mal condicionada é a matriz. Ou seja, quando maior , maior é a propagação dos erros ao se computar .
Estudamos os seguintes exemplos:
Matriz bem condicionada.
(3.210) |
cujo número de condicionamento é .
Matriz mal condicionada.
(3.211) |
tem número de condicionamento
(3.212) |
o que indica que é uma matriz mal condicionada.
Compute a norma de cada um dos seguintes vetores:
a) ; b) ; c) ;
Compute a norma de cada uma das seguintes matrizes:
(3.213) |
(3.214) |
(3.215) |
a) ; b) ; c)
Compute o número de condicionamento de cada uma das seguintes matrizes:
(3.216) |
(3.217) |
(3.218) |
(3.219) |
(3.220) |
Qual das matriz acima é a mais mal condicionada? Justifique sua resposta.
a) ; b) ; c) ; d) e) , a mais mal condicionada.
Considere o seguinte sistema linear
(3.221) | ||||
(3.222) | ||||
(3.223) |
Compute a norma do vetor dos termos constantes deste sistema.
Compute a norma matriz dos coeficientes deste sistema.
Compute o número de condicionamento da matriz dos coeficientes deste sistema.
a) ; b) ; c)
Considere
(3.224) |
Compute .
Aloque a matriz diagonal , cujos elementos da diagonal sejam iguais aos da matriz .
Verifique que o número de condicionamento de é melhor que o de .
a) ; b) M = np.diag(np.diag(A)); c)
Mostre que a Desigualdade triangular
(3.225) |
vale para quaisquer .
Dica: use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz (3.152).
Mostre a Proposição 3.2.2.
Dica: use as propriedades da norma de vetores.
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
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