Política de uso de dados

Ao navegar por este site, você concorda com a política de uso de dados.

Política de uso de dados

Ao navegar por este site, você concorda com a política de uso de dados.

| | | |

Algoritmos e Programação I

5 Arranjos e matrizes 5.1 Arranjos 5.3 Arranjos multidimensionais

Compre o e-book deste material aqui! Consulte outras formas de colaborar.

5.2 Vetores

O uso de arrays é uma das formas mais adequadas para fazermos a modelagem computacional de vetores. Entretanto, devemos ficar atentos que vetores e arranjos não são equivalentes. Embora, a soma/subtração e multiplicação por escalar são similares, a multiplicação e potenciação envolvendo vetores não estão definidas, mas para arranjos são operações elemento-a-elemento.

No que segue, vamos assumir que a biblioteca NumPy está importada, i.e.

⬇

1import numpy as np

Exemplo 5.2.1.

Podemos alocar os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,0,-2),$		(5.10)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(2,-1,3),$		(5.11)

como arrays do NumPy

⬇

1v = np.array([1, 0, -2])

2w = np.array([2, -1, 3])

A soma dos vetores é uma operação elemento-a-elemento

	$\displaystyle\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=(1,0,-2)+(2,-1,3)$		(5.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(1+2,0+(-1),-2+3\right)$		(5.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=(3,-1,1)$		(5.14)

e a dos arrays é equivalente

⬇

1v+w

⬇

array([ 3, -1, 1])

A subtração dos vetores também é uma operação elemento-a-elemento

	$\displaystyle\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}=(1,0,-2)-(2,-1,3)$		(5.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(1-2,0-(-1),-2-3\right)$		(5.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1,1,-5)$		(5.17)

e a dos arrays é equivalente

⬇

1v-w

⬇

array([ -1, 1, -5])

Ainda, a multiplicação por escalar

	$\displaystyle 2\boldsymbol{v}=2(1,0,-2)$		(5.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(2\cdot 1,2\cdot 0,2\cdot(-2)\right)$		(5.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2,0,-4)$		(5.20)

também é feita elemento-a-elemento, assim como com arrays

⬇

12*v

⬇

array([ 2, 0, -4])

Agora, para vetores, a multiplicação $\boldsymbol{v}\boldsymbol{w}$ , divisão $\boldsymbol{v}/\boldsymbol{w}$ , potenciação $\boldsymbol{v}^{2}$ não são operações definidas. Diferentemente, para arranjos são operações elemento-a-elemento

1v*w

array([ 2, 0, -6])

1v/w

array([ 0.5, -0., -0.66666667])

⬇

1v**2

⬇

array([1, 0, 4])

5.2.1 Funções vetoriais

Funções vetoriais $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ e funcionais $f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ também podem ser adequadamente modeladas com o emprego de arrays do NumPy. A biblioteca também conta com várias funções matemáticas predefinidas, consulte

https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.math.html

Exemplo 5.2.2 (Função vetorial).

A implementação da função vetorial $\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$

\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(x_{1}^{2}+\sin(x_{1}),x_{2}^{2}+\sin(x_{2}),x_% {3}^{2}+\sin(x_{3}))

(5.21)

para $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}$ , pode ser feita da seguinte forma

⬇

1import numpy as np

3def f(x):

4 return x**2 + np.sin(x)

6# exemplo

7x = np.array([0, np.pi, np.pi/2])

8print(f'y = {f(x)}')

Verifique!

5.2.2 Produto interno

O produto interno (ou, produto escalar) é a operação entre vetores $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^{n}$ definida por

\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}:=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+\cdots+v_{n}w_{n}.

(5.22)

A função numpy.dot computa o produto interno dos arrays.

Exemplo 5.2.3.

Consideramos os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,0,-2),$		(5.23)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(2,-1,3).$		(5.24)

O produto interno desses vetores é

	$\displaystyle\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}$		(5.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 2+0\cdot(-1)+(-2)\cdot 3$		(5.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=2+0-6=-4.$		(5.27)

Usando arrays, temos

⬇

1v = np.array([1, 0, -2])

2w = np.array([2, -1, 3])

3np.sum(v*w)

⬇

-4

⬇

1np.dot(v,w)

⬇

-4

5.2.3 Norma de vetores

A norma $L^{2}$ de um vetor $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{n}$ é definida por

\|\boldsymbol{v}\|:=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}

(5.28)

O submódulo de álgebra linear numpy.linalg contém a função numpy.linalg.norm para a computação da norma de arrays.

Exemplo 5.2.4.

A norma do vetor $\boldsymbol{v}=(3,0,-4)$ é

	$\displaystyle\\|\boldsymbol{v}\\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}$		(5.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}$		(5.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{9+0+16}$		(5.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{25}=5.$		(5.32)

Usando o módulo numpy.linalg, obtemos

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3v = np.array([3, 0, -4])

4np.sqrt(np.dot(v,v))

⬇

5.0

⬇

1npla.norm(v)

⬇

5.0

5.2.4 Produto vetorial

O produto vetorial entre dois vetores $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^{3}$ é definido por

	$\displaystyle\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}:=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}% &\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(5.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}v_{2}&v_{3}\\ w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}\boldsymbol{i}$		(5.39)
	$\displaystyle\text{}\qquad-\begin{vmatrix}v_{1}&v_{3}\\ w_{1}&w_{3}\end{vmatrix}\boldsymbol{j}$		(5.42)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\begin{vmatrix}v_{1}&v_{2}\\ w_{1}&w_{2}\end{vmatrix}\boldsymbol{k}$		(5.45)

A função numpy.cross computa o produto vetorial entre arrays (unidimensionais de 3 elementos).

Exemplo 5.2.5.

O produto vetorial entre os vetores $\boldsymbol{v}=(1,-2,1)$ e $\boldsymbol{w}=(0,2,-1)$ é

	$\displaystyle\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&% \boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ 1&-2&1\\ 0&2&-1\end{vmatrix}$		(5.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}$		(5.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=(0,1,2).$		(5.52)

Com o NumPy, temos

⬇

1v = np.array([1, -2, 1])

2w = np.array([0, 2, -1])

3np.cross(v,w)

⬇

array([0, 1, 2])

5.2.5 Exercícios

E. 5.2.1.

Complete as lacunas.

a)

Usualmente, vetores são computacionalmente modelados como numpy.array.
b)

O produto interno de dois vetores alocados como arrays pode ser computado com o método numpy.dot.
c)

A norma $L^{2}$ de um vetor alocado como um numpy.array pode ser computado com o método numpy.linalg.norm.

Resposta.

a) numpy.array; b) numpy.dot; c) numpy.linalg.norm;

E. 5.2.2.

Considere os seguintes vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}=(2,-1,1),$		(5.53)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,-3,2),$		(5.54)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(-2,-1,-3).$		(5.55)

Usando arrays do NumPy, compute:

a)

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}$
b)

$\boldsymbol{u}\cdot(2\boldsymbol{v})$
c)

$\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{w}+\boldsymbol{v})$
d)

$\boldsymbol{v}\cdot(\boldsymbol{v}-2\boldsymbol{u})$

Resposta.

Dica: use a função $np.dot()$ e verifique as computações calculando os resultados esperados.

E. 5.2.3.

Considere os seguintes vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}=(2,-1,1),$		(5.56)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,-3,2),$		(5.57)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(-2,-1,-3).$		(5.58)

Usando arrays do NumPy, compute:

a)

$\|\boldsymbol{u}\|$
b)

$\|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\|$
c)

$|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}|$

Resposta.

Dica: use a função numpy.linalg.norm e verifique as computações calculando os resultados esperados.

E. 5.2.4.

Dados vetores $\boldsymbol{u}$ e $\boldsymbol{v}$ , temos que

\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\|\boldsymbol{u}\|\|\boldsymbol{v}\|\cos\theta,

(5.59)

onde $\theta$ é o ângulo entre esses vetores. Implemente uma função que recebe dois vetores e retorna o ângulo entre eles. Teste seu código para diferentes vetores.

Resposta.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def angulo(v, w):

5 # \|v\|

6 norm_v = npla.norm(v)

7 # \|w\|

8 norm_w = npla.norm(w)

9 # u.v

10 vdw = np.dot(v, w)

11 # cos \theta

12 ct = norm_v*norm_w/udw

13 return np.acos(ct)

E. 5.2.5.

A projeção ortogonal do vetor $\boldsymbol{u}$ na direção do vetor $\boldsymbol{v}$ é definida por

\operatorname{proj}_{\boldsymbol{v}}\boldsymbol{u}:=\frac{\boldsymbol{u}\cdot% \boldsymbol{v}}{\|\boldsymbol{v}\|^{2}}\boldsymbol{v}.

(5.60)

Implemente uma função que recebe dois vetores $\boldsymbol{u}$ , $\boldsymbol{v}$ e retorne a projeção de $\boldsymbol{u}$ na direção de $\boldsymbol{v}$ . Teste seu código para diferentes vetores.

Resposta.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def proj(u, v):

5 # \|v\|

6 norm_v = npla.norm(v)

7 # u.v

8 udv = np.dot(u, v)

9 # proj_v u

10 proj_vu = udv/norm_v**2 * v

11 return proj_vu

E. 5.2.6.

Considere os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}=(2,-3,1),$		(5.61)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,-2,-1).$		(5.62)

Usando arrays do NumPy, compute os seguintes produtos vetoriais:

a)

$\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}$
b)

$\boldsymbol{v}\times(2\boldsymbol{v})$

Resposta.

Dica: use a função numpy.cross e verifique as computações calculando os resultados esperados.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Algoritmos e Programação I

5 Arranjos e matrizes 5.1 Arranjos 5.3 Arranjos multidimensionais

Compre o e-book deste material aqui! Consulte outras formas de colaborar.

5.2 Vetores

No que segue, vamos assumir que a biblioteca NumPy está importada, i.e.

⬇

1import numpy as np

Exemplo 5.2.1.

Podemos alocar os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,0,-2),$		(5.10)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(2,-1,3),$		(5.11)

como arrays do NumPy

⬇

1v = np.array([1, 0, -2])

2w = np.array([2, -1, 3])

A soma dos vetores é uma operação elemento-a-elemento

	$\displaystyle\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=(1,0,-2)+(2,-1,3)$		(5.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(1+2,0+(-1),-2+3\right)$		(5.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=(3,-1,1)$		(5.14)

e a dos arrays é equivalente

⬇

1v+w

⬇

array([ 3, -1, 1])

A subtração dos vetores também é uma operação elemento-a-elemento

	$\displaystyle\boldsymbol{v}-\boldsymbol{w}=(1,0,-2)-(2,-1,3)$		(5.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(1-2,0-(-1),-2-3\right)$		(5.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1,1,-5)$		(5.17)

e a dos arrays é equivalente

⬇

1v-w

⬇

array([ -1, 1, -5])

Ainda, a multiplicação por escalar

	$\displaystyle 2\boldsymbol{v}=2(1,0,-2)$		(5.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(2\cdot 1,2\cdot 0,2\cdot(-2)\right)$		(5.19)
	$\displaystyle\text{}\quad=(2,0,-4)$		(5.20)

também é feita elemento-a-elemento, assim como com arrays

12*v

array([ 2, 0, -4])

1v*w

array([ 2, 0, -6])

1v/w

array([ 0.5, -0., -0.66666667])

⬇

1v**2

⬇

array([1, 0, 4])

5.2.1 Funções vetoriais

https://numpy.org/doc/stable/reference/routines.math.html

Exemplo 5.2.2 (Função vetorial).

A implementação da função vetorial $\boldsymbol{f}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$

\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=(x_{1}^{2}+\sin(x_{1}),x_{2}^{2}+\sin(x_{2}),x_% {3}^{2}+\sin(x_{3}))

(5.21)

para $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}$ , pode ser feita da seguinte forma

⬇

1import numpy as np

3def f(x):

4 return x**2 + np.sin(x)

6# exemplo

7x = np.array([0, np.pi, np.pi/2])

8print(f'y = {f(x)}')

Verifique!

5.2.2 Produto interno

O produto interno (ou, produto escalar) é a operação entre vetores $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^{n}$ definida por

\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}:=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+\cdots+v_{n}w_{n}.

(5.22)

A função numpy.dot computa o produto interno dos arrays.

Exemplo 5.2.3.

Consideramos os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,0,-2),$		(5.23)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(2,-1,3).$		(5.24)

O produto interno desses vetores é

	$\displaystyle\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}$		(5.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot 2+0\cdot(-1)+(-2)\cdot 3$		(5.26)
	$\displaystyle\text{}\quad=2+0-6=-4.$		(5.27)

Usando arrays, temos

⬇

1v = np.array([1, 0, -2])

2w = np.array([2, -1, 3])

3np.sum(v*w)

⬇

-4

⬇

1np.dot(v,w)

⬇

-4

5.2.3 Norma de vetores

A norma $L^{2}$ de um vetor $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^{n}$ é definida por

\|\boldsymbol{v}\|:=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}

(5.28)

O submódulo de álgebra linear numpy.linalg contém a função numpy.linalg.norm para a computação da norma de arrays.

Exemplo 5.2.4.

A norma do vetor $\boldsymbol{v}=(3,0,-4)$ é

	$\displaystyle\\|\boldsymbol{v}\\|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}$		(5.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}$		(5.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{9+0+16}$		(5.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{25}=5.$		(5.32)

Usando o módulo numpy.linalg, obtemos

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3v = np.array([3, 0, -4])

4np.sqrt(np.dot(v,v))

⬇

5.0

⬇

1npla.norm(v)

⬇

5.0

5.2.4 Produto vetorial

O produto vetorial entre dois vetores $\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in\mathbb{R}^{3}$ é definido por

	$\displaystyle\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}:=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}% &\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(5.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=\begin{vmatrix}v_{2}&v_{3}\\ w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}\boldsymbol{i}$		(5.39)
	$\displaystyle\text{}\qquad-\begin{vmatrix}v_{1}&v_{3}\\ w_{1}&w_{3}\end{vmatrix}\boldsymbol{j}$		(5.42)
	$\displaystyle\text{}\qquad+\begin{vmatrix}v_{1}&v_{2}\\ w_{1}&w_{2}\end{vmatrix}\boldsymbol{k}$		(5.45)

A função numpy.cross computa o produto vetorial entre arrays (unidimensionais de 3 elementos).

Exemplo 5.2.5.

O produto vetorial entre os vetores $\boldsymbol{v}=(1,-2,1)$ e $\boldsymbol{w}=(0,2,-1)$ é

	$\displaystyle\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&% \boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\ 1&-2&1\\ 0&2&-1\end{vmatrix}$		(5.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}$		(5.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=(0,1,2).$		(5.52)

Com o NumPy, temos

⬇

1v = np.array([1, -2, 1])

2w = np.array([0, 2, -1])

3np.cross(v,w)

⬇

array([0, 1, 2])

5.2.5 Exercícios

E. 5.2.1.

Complete as lacunas.

a)

Usualmente, vetores são computacionalmente modelados como numpy.array.
b)

O produto interno de dois vetores alocados como arrays pode ser computado com o método numpy.dot.
c)

A norma $L^{2}$ de um vetor alocado como um numpy.array pode ser computado com o método numpy.linalg.norm.

Resposta.

a) numpy.array; b) numpy.dot; c) numpy.linalg.norm;

E. 5.2.2.

Considere os seguintes vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}=(2,-1,1),$		(5.53)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,-3,2),$		(5.54)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(-2,-1,-3).$		(5.55)

Usando arrays do NumPy, compute:

a)

$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}$
b)

$\boldsymbol{u}\cdot(2\boldsymbol{v})$
c)

$\boldsymbol{u}\cdot(\boldsymbol{w}+\boldsymbol{v})$
d)

$\boldsymbol{v}\cdot(\boldsymbol{v}-2\boldsymbol{u})$

Resposta.

Dica: use a função $np.dot()$ e verifique as computações calculando os resultados esperados.

E. 5.2.3.

Considere os seguintes vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}=(2,-1,1),$		(5.56)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,-3,2),$		(5.57)
	$\displaystyle\boldsymbol{w}=(-2,-1,-3).$		(5.58)

Usando arrays do NumPy, compute:

a)

$\|\boldsymbol{u}\|$
b)

$\|\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\|$
c)

$|\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{w}|$

Resposta.

Dica: use a função numpy.linalg.norm e verifique as computações calculando os resultados esperados.

E. 5.2.4.

Dados vetores $\boldsymbol{u}$ e $\boldsymbol{v}$ , temos que

\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=\|\boldsymbol{u}\|\|\boldsymbol{v}\|\cos\theta,

(5.59)

onde $\theta$ é o ângulo entre esses vetores. Implemente uma função que recebe dois vetores e retorna o ângulo entre eles. Teste seu código para diferentes vetores.

Resposta.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def angulo(v, w):

5 # \|v\|

6 norm_v = npla.norm(v)

7 # \|w\|

8 norm_w = npla.norm(w)

9 # u.v

10 vdw = np.dot(v, w)

11 # cos \theta

12 ct = norm_v*norm_w/udw

13 return np.acos(ct)

E. 5.2.5.

A projeção ortogonal do vetor $\boldsymbol{u}$ na direção do vetor $\boldsymbol{v}$ é definida por

\operatorname{proj}_{\boldsymbol{v}}\boldsymbol{u}:=\frac{\boldsymbol{u}\cdot% \boldsymbol{v}}{\|\boldsymbol{v}\|^{2}}\boldsymbol{v}.

(5.60)

Resposta.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4def proj(u, v):

5 # \|v\|

6 norm_v = npla.norm(v)

7 # u.v

8 udv = np.dot(u, v)

9 # proj_v u

10 proj_vu = udv/norm_v**2 * v

11 return proj_vu

E. 5.2.6.

Considere os vetores

	$\displaystyle\boldsymbol{u}=(2,-3,1),$		(5.61)
	$\displaystyle\boldsymbol{v}=(1,-2,-1).$		(5.62)

Usando arrays do NumPy, compute os seguintes produtos vetoriais:

a)

$\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}$
b)

$\boldsymbol{v}\times(2\boldsymbol{v})$

Resposta.

Dica: use a função numpy.cross e verifique as computações calculando os resultados esperados.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Pedro H A Konzen

| | | |