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Algoritmos e Programação I

5 Arranjos e matrizes 5.3 Arranjos multidimensionais 6 Arquivos e gráficos

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5.4 Matrizes

Arranjos multidimensionais³⁸³⁸endnote: ³⁸Consulte a Seção 5.3 fornecem uma estrutura adequada para a representação de matrizes em computador. Uma matriz $A$ , assim como um arranjo bidimensional, é uma coleção de valores organizados de forma retangular, por exemplo, a matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,m}$ tem a forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}A=\begin{% bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix}

(5.65)

Seus elementos $a_{i,j}$ são organizados por eixos, o eixo das linhas (axis=0) e o eixo das colunas (axis=1).

Exemplo 5.4.1.

O sistema linear


	$\displaystyle 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=-3$		(5.66a)
	$\displaystyle-x_{1}+x_{2}+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}x_{3}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}$		(5.66b)
	$\displaystyle x_{1}+3x_{2}-3x_{3}=2$		(5.66c)

pode ser escrito na seguinte forma matricial

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},

(5.67)

onde $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{3,3}$ é a matriz de coeficientes

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.68)

o vetor dos termos constantes $\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ é

\boldsymbol{b}=(-3,{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}6},2),

(5.69)

enquanto que o vetor das incógnitas é $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ . No seguinte código, usamos numpy.array para alocamos a matriz dos coeficientes $A$ e o vetor dos termos constantes $\boldsymbol{b}$ .

⬇

1import numpy as np

2# matriz dos coefs

3A = np.array([[2, -1, 1],

4 [-1, 1, 3],

5 [1, 3, -3]])

6# vet termos consts

7b = np.array([-3, 6, 2])

5.4.1 Operações matriciais

Embora úteis para a representação de matrizes, arranjos bidimensionais não são equivalentes a matrizes. Em arranjos, as operações aritméticas elementares (+, -, *, /, etc.) são operações elemento-a-elemento, para matrizes a multiplicação não é assim calculada e a divisão não é definida.

Multiplicação matricial

No NumPy, as funções numpy.dot, numpy.matmul ou o operador @ podem ser usados para computar a multiplicação matricial.

Exemplo 5.4.2.

Considerando as matrizes

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.70)

B=\begin{bmatrix}1&-1\\ 2&1\\ 1&0\end{bmatrix}

(5.71)

temos

AB=\begin{bmatrix}1&-3\\ 4&2\\ 4&2\end{bmatrix}

(5.72)

Usando o NumPy, temos

⬇

1import numpy as np

3A = np.array([[2, -1, 1],

4 [-1, 1, 3],

5 [1, 3, -3]])

7B = np.array([[1, -1],

8 [2, 1],

9 [1, 0]])

11AB = A@B

12print(f'AB =\n {AB}')

14AB = np.matmul(A, B)

15print(f'AB =\n {AB}')

17AB = np.dot(A, B)

18print(f'AB =\n {AB}')

Exemplo 5.4.3.

Consideramos o sistema linear introduzido no Exemplo 5.4.1. Vamos verificar que sua solução é $x_{1}=-1$ , $x_{2}=2$ e $x_{3}=1$ . Equivalentemente, temos que

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},

(5.73)

com $\boldsymbol{x}=(-1,2,1)$ . Isto é, se $\boldsymbol{x}$ é solução do sistema, então é nulo o resíduo $\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}$ , i.e.

\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}.

(5.74)

Ou equivalentemente, $\|\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}\|=0$ .

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4# matriz dos coefs

5A = np.array([[2, -1, 1],

6 [-1, 1, 3],

7 [1, 3, -3]])

8# vet termos consts

9b = np.array([-3, 6, 2])

10# solução

11x = np.array([-1, 2, 1])

13# verificação

14res = b - A@x

15norm_res = npla.norm(res)

16print(f'É solução? {np.isclose(norm_res, 0.)}')

Matriz transposta

Por definição, a transposta de uma matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,m}$ é a matriz $A^{T}=[a_{j,i}]_{j,i=1}^{m,n}$ , i.e. a matriz $B$ obtida de $A$ pela permutação de suas linhas com suas colunas. No NumPy, a transposta de um arranjo bidimensional pode ser calculado com a função numpy.transpose, com o método numpy.ndarray.transpose ou com o atributo numpy.ndarray.T.

Exemplo 5.4.4.

Uma matriz é dita ser simétrica, quando $A=A^{T}$ . Observamos que é simétrica a matriz

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.75)

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[2, -1, 1],

3 [-1, 1, 3],

4 [1, 3, -3]])

6trans_A = np.transpose(A)

7print(f'A^T =\n {trans_A}')

9trans_A = A.transpose()

10print(f'A^T =\n {trans_A}')

12trans_A = A.T

13print(f'A^T =\n {trans_A}')

15print(f'É simétrica? {np.allclose(A, A.T)}')

Agora, não é simétrica a matriz

B=\begin{bmatrix}1&-1\\ 2&1\\ 1&0\end{bmatrix}.

(5.76)

⬇

1import numpy as np

2B = np.array([[1, -1],

3 [2, 1],

4 [1, 0]])

5print(B.T)

Determinante

Por definição, o determinante de uma matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$ é o escalar

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\end{vmatrix}$		(5.77)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\sum_{\sigma\in S_{n}}\operatorname{sign}(\sigma)a_% {1,\sigma_{1}}a_{2,\sigma_{2}}\cdots a_{n,\sigma_{n}}$		(5.78)

onde $S_{n}$ é o conjunto de todas as permutações de ${1,2,\dotsc,n}$ e $\operatorname{sign}(\sigma)$ é o sinal (ou assinatura) da permutação $\sigma\in S_{n}$ . Para matrizes $2\times 2$ , temos

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\ a_{2,1}&a_{2,2}\end{vmatrix}$		(5.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}.$		(5.80)

Enquanto que no caso de matriz $3\times 3$ , temos

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{vmatrix}$		(5.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}$		(5.82)
	$\displaystyle\text{}\qquad+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}$		(5.83)
	$\displaystyle\text{}\qquad+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}$		(5.84)
	$\displaystyle\text{}\qquad-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}$		(5.85)
	$\displaystyle\text{}\qquad-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}$		(5.86)
	$\displaystyle\text{}\qquad-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}.$		(5.87)

A função numpy.linalg.det do NumPy pode ser usado para computar o determinante de um arranjo.

Exemplo 5.4.5.

O determinante

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{vmatrix}$		(5.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=-28$		(5.89)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3A = np.array([[2, -1, 1],

4 [-1, 1, 3],

5 [1, 3, -3]])

7detA = npla.det(A)

8print(f'det(A) = {detA}')

5.4.2 Aplicação: método de Cramer

O Método de Cramer³⁹³⁹endnote: ³⁹Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipédia: Gabriel Cramer. usa de determinantes para o cálculo da solução de sistemas lineares. Dado um sistema linear $n\times n$

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}A\boldsymbol{% x}=\boldsymbol{b}

(5.90)

denotamos a matriz dos coeficientes por

A=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_{1}&\boldsymbol{a}_{2}&\cdots&\boldsymbol{a}_{% n}\end{bmatrix},

(5.91)

onde $\boldsymbol{a}_{i}$ denota a $i$ -ésima coluna de $A$ . Vamos denotar por $A_{i}$ a matriz obtida de $A$ substituindo $\boldsymbol{a}_{i}$ pelo vetor dos termos constantes $\boldsymbol{b}$ , i.e.

A_{i}:=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_{1}&\cdots&\boldsymbol{a}_{i-1}&{\color[% rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\boldsymbol{b}}&% \boldsymbol{a}_{i+1}&\cdots&\boldsymbol{a}_{n}\end{bmatrix}

(5.92)

O método consiste em computar a solução $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ com

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{i}=\frac{% \det(A_{i})}{\det(A)},

(5.93)

para cada $i=1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 5.4.6.

Vamos resolver o sistema linear dado no Exercício 5.4.1. Sua forma matricial é

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}

(5.94)

com matriz dos coeficientes

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&3\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.95)

e vetor dos termos constantes

\boldsymbol{b}=({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-3,\leavevmode\nobreak\ 6,\leavevmode\nobreak\ 2}).

(5.96)

Para aplicação do Método de Cramer, calculamos

	$\displaystyle\det(A):=\begin{vmatrix}2&-1&1\\ -1&1&3\\ 1&3&-3\end{vmatrix}$		(5.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=-28$		(5.98)

e das matrizes auxiliares

	$\displaystyle\det(A_{1}):=\begin{vmatrix}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3}&-1&1\\ {\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}&1&3\\ {\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2}&3&-3\end{vmatrix}$		(5.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=28$		(5.100)

	$\displaystyle\det(A_{2}):=\begin{vmatrix}2&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3}&1\\ -1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}&3\\ 1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2}&-3\end{vmatrix}$		(5.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=-56$		(5.102)

	$\displaystyle\det(A_{3}):=\begin{vmatrix}2&-1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3}\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}\\ 1&3&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2}\end{vmatrix}$		(5.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-28$		(5.104)

Com isso, obtemos a solução

	$\displaystyle x_{1}=\frac{\det(A_{1})}{\det(A)}=-1,$		(5.105)
	$\displaystyle x_{2}=\frac{\det(A_{2})}{\det(A)}=2,$		(5.106)
	$\displaystyle x_{3}=\frac{\det(A_{3})}{\det(A)}=1.$		(5.107)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3# matriz dos coefs

4A = np.array([[2, -1, 1],

5 [-1, 1, 3],

6 [1, 3, -3]])

7# vet termos consts

8b = np.array([-3, 6, 2])

10# det(A)

11detA = npla.det(A)

12print(f'det(A) = {detA}')

14# matrizes auxiliares

15## A1

16A1 = np.copy(A)

17A1[:,0] = b

18detA1 = npla.det(A1)

19print(f'det(A1) = {detA1}')

21## A2

22A2 = np.copy(A)

23A2[:,1] = b

24detA2 = npla.det(A2)

25print(f'det(A2) = {detA2}')

27## A3

28A3 = np.copy(A)

29A3[:,2] = b

30detA3 = npla.det(A3)

31print(f'det(A3) = {detA3}')

33# solução

34x = np.array([detA1/detA, detA2/detA, detA3/detA])

35print(f'x = {x}')

5.4.3 Exercícios

E. 5.4.1.

Complete as lacunas.

a)

Usualmente, matrizes são computacionalmente modeladas como arrays multidimensionais.
b)

A operação de multiplicação matricial entre dois arrays pode ser feita com o operador @ ou com o método numpy.matmul.
c)

A transposta de um numpy.array bidimensional pode ser obtida com o atributo .T ou o método numpy.transpose.
d)

O submódulo numpy.linalg contém o método det para a computação do determinante de um numpy.array.

Resposta 0.

a) arrays; b) @; c) .T; d) numpy.linalg

E. 5.4.2.

Aloque com numpy.array e imprima as seguintes matrizes:

a)

$A=\begin{bmatrix}-1&2\\ 7&-3\end{bmatrix}$ (5.108)
b)

$B=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\end{bmatrix}$ (5.109)
c)

$C=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\\ 2&9&6\end{bmatrix}$ (5.110)
d)

$D=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\\ 2&9&6\\ 1&-1&1\end{bmatrix}$ (5.111)

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2# a)

3A = np.array([[-1, 2],

4 [7, -3]])

5print(f'A =\n {A}')

6# b)

7B = np.array([[-1, 2, 4],

8 [7, -3, -5]])

9print(f'B =\n {B}')

10# c)

11C = np.array([[-1, 2, 4],

12 [7, -3, -5],

13 [2, 9, 6]])

14print(f'C =\n {C}')

15# d)

16D = np.array([[-1, 2, 4],

17 [7, -3, -5],

18 [2, 9, 6],

19 [1, -1, 1]])

20print(f'D =\n {D}')

E. 5.4.3.

Aloque as seguintes matrizes com numpy.array

A=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\end{bmatrix}

(5.112)

B=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ 3&0&5\end{bmatrix}.

(5.113)

Então, compute e imprima o resultado das seguintes operações matriciais

a)

$A+B$
b)

$A-B$
c)

$2A$

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[-1, 2, 4],

3 [7, -3, -5]])

4B = np.array([[1, -1, 2],

5 [3, 0, 5]])

6# a)

7ApB = A + B

8print(f'A+B =\n {ApB}')

9# b)

10AmB = A - B

11print(f'A-B =\n {AmB}')

12# c)

13_2A = 2*A

14print(f'2A =\n {_2A}')

E. 5.4.4.

Aloque as seguintes matrizes numpy.array:

A=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\end{bmatrix}

(5.114)

B=\begin{bmatrix}1&-1\\ 3&0\\ 2&5\end{bmatrix}.

(5.115)

Então, compute e imprima o resultado das seguintes operações matriciais:

a)

$A B$
b)

$B A$
c)

$B^{T}$
d)

$A^{T}B^{T}$

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[-1, 2, 4],

3 [7, -3, -5]])

4B = np.array([[1, -1],

5 [3, 0],

6 [2, 5]])

7# a)

8AB = A @ B

9print(f'AB =\n {AB}')

10# b)

11BA = B @ A

12print(f'BA =\n {BA}')

13# c)

14Bt = B.T

15print(f'B^T =\n {Bt}')

16# d)

17AtBt = A.T @ B.T

18print(f'A^T.B^T =\n {AtBt}')

E. 5.4.5.

Escreva a forma matricial $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ do seguinte sistema linear


	$\displaystyle-x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=6$		(5.116a)
	$\displaystyle 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=-11$		(5.116b)
	$\displaystyle x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=-10$		(5.116c)

Use numpy.array para alocar a matriz dos coeficientes $A$ e o vetor dos termos constantes $\boldsymbol{b}$ . Então, verifique quais dos seguintes vetores é solução do sistema

a)

$\boldsymbol{x}=(1,-1,-2)$
b)

$\boldsymbol{x}=(-1,-2,1)$
c)

$\boldsymbol{x}=(-2,1,-1)$

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[-1, 2, -2],

3 [3, -4, 1],

4 [1, -5, 3]])

5b = np.array([6, -11, -10])

6# c)

7x = np.array([-2, 1, -1])

8print(f'É solução? {np.allclose(A@x, b)}')

E. 5.4.6.

Calcule e compute o determinante das seguintes matrizes

a)

$A=\begin{bmatrix}-1&2\\ 7&-3\end{bmatrix}$ (5.117)
b)

$B=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 1&-3&-5\\ 2&0&6\end{bmatrix}$ (5.118)
c)

$C=\begin{bmatrix}-1&2&4&1\\ 7&-3&-5&-1\\ 2&0&1&0\\ 1&-1&1&-2\end{bmatrix}$ (5.119)

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3# a)

4A = np.array([[-1, 2],

5 [7, -3]])

6detA = npla.det(A)

7print(f'det(A) =\n {detA}')

8# b)

9B = np.array([[-1, 2, 4],

10 [1, -3, -5],

11 [2, 0, 6]])

12detB = npla.det(B)

13print(f'det(B) =\n {detB}')

14# c)

15C = np.array([[-1, 2, 4, 1],

16 [-1, -3, -5, -1],

17 [2, 0, 1, 0],

18 [1, -1, 1, -2]])

19detC = npla.det(C)

20print(f'det(C) =\n {detC}')

E. 5.4.7.

Use o Método de Cramer para computar a solução do sistema dado no Exercício 5.4.5. Verifique sua solução com a computada pelo método numpy.linalg.solve.

Resposta 0.

Dica: $\boldsymbol{x}=(-2,1,-1)$ .

E. 5.4.8.

Desenvolva sua própria função Python para a computação do determinante de uma matriz $A$ $n\times n$ .

Resposta 0.

Dica: use a função intertools.permutations para obter um iterador sobre as permutações.

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5.4 Matrizes

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}A=\begin{% bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,m}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,m}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,m}\end{bmatrix}

(5.65)

Seus elementos $a_{i,j}$ são organizados por eixos, o eixo das linhas (axis=0) e o eixo das colunas (axis=1).

Exemplo 5.4.1.

O sistema linear


	$\displaystyle 2x_{1}-x_{2}+x_{3}=-3$		(5.66a)
	$\displaystyle-x_{1}+x_{2}+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}x_{3}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}$		(5.66b)
	$\displaystyle x_{1}+3x_{2}-3x_{3}=2$		(5.66c)

pode ser escrito na seguinte forma matricial

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},

(5.67)

onde $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{3,3}$ é a matriz de coeficientes

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.68)

o vetor dos termos constantes $\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ é

\boldsymbol{b}=(-3,{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}6},2),

(5.69)

⬇

1import numpy as np

2# matriz dos coefs

3A = np.array([[2, -1, 1],

4 [-1, 1, 3],

5 [1, 3, -3]])

6# vet termos consts

7b = np.array([-3, 6, 2])

5.4.1 Operações matriciais

Multiplicação matricial

No NumPy, as funções numpy.dot, numpy.matmul ou o operador @ podem ser usados para computar a multiplicação matricial.

Exemplo 5.4.2.

Considerando as matrizes

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.70)

B=\begin{bmatrix}1&-1\\ 2&1\\ 1&0\end{bmatrix}

(5.71)

temos

AB=\begin{bmatrix}1&-3\\ 4&2\\ 4&2\end{bmatrix}

(5.72)

Usando o NumPy, temos

⬇

1import numpy as np

3A = np.array([[2, -1, 1],

4 [-1, 1, 3],

5 [1, 3, -3]])

7B = np.array([[1, -1],

8 [2, 1],

9 [1, 0]])

11AB = A@B

12print(f'AB =\n {AB}')

14AB = np.matmul(A, B)

15print(f'AB =\n {AB}')

17AB = np.dot(A, B)

18print(f'AB =\n {AB}')

Exemplo 5.4.3.

Consideramos o sistema linear introduzido no Exemplo 5.4.1. Vamos verificar que sua solução é $x_{1}=-1$ , $x_{2}=2$ e $x_{3}=1$ . Equivalentemente, temos que

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b},

(5.73)

com $\boldsymbol{x}=(-1,2,1)$ . Isto é, se $\boldsymbol{x}$ é solução do sistema, então é nulo o resíduo $\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}$ , i.e.

\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}.

(5.74)

Ou equivalentemente, $\|\boldsymbol{b}-A\boldsymbol{x}\|=0$ .

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

4# matriz dos coefs

5A = np.array([[2, -1, 1],

6 [-1, 1, 3],

7 [1, 3, -3]])

8# vet termos consts

9b = np.array([-3, 6, 2])

10# solução

11x = np.array([-1, 2, 1])

13# verificação

14res = b - A@x

15norm_res = npla.norm(res)

16print(f'É solução? {np.isclose(norm_res, 0.)}')

Matriz transposta

Exemplo 5.4.4.

Uma matriz é dita ser simétrica, quando $A=A^{T}$ . Observamos que é simétrica a matriz

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.75)

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[2, -1, 1],

3 [-1, 1, 3],

4 [1, 3, -3]])

6trans_A = np.transpose(A)

7print(f'A^T =\n {trans_A}')

9trans_A = A.transpose()

10print(f'A^T =\n {trans_A}')

12trans_A = A.T

13print(f'A^T =\n {trans_A}')

15print(f'É simétrica? {np.allclose(A, A.T)}')

Agora, não é simétrica a matriz

B=\begin{bmatrix}1&-1\\ 2&1\\ 1&0\end{bmatrix}.

(5.76)

⬇

1import numpy as np

2B = np.array([[1, -1],

3 [2, 1],

4 [1, 0]])

5print(B.T)

Determinante

Por definição, o determinante de uma matriz $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^{n,n}$ é o escalar

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}\end{vmatrix}$		(5.77)
	$\displaystyle\text{}\quad:=\sum_{\sigma\in S_{n}}\operatorname{sign}(\sigma)a_% {1,\sigma_{1}}a_{2,\sigma_{2}}\cdots a_{n,\sigma_{n}}$		(5.78)

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\ a_{2,1}&a_{2,2}\end{vmatrix}$		(5.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}.$		(5.80)

Enquanto que no caso de matriz $3\times 3$ , temos

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{vmatrix}$		(5.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}$		(5.82)
	$\displaystyle\text{}\qquad+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}$		(5.83)
	$\displaystyle\text{}\qquad+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}$		(5.84)
	$\displaystyle\text{}\qquad-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}$		(5.85)
	$\displaystyle\text{}\qquad-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}$		(5.86)
	$\displaystyle\text{}\qquad-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}.$		(5.87)

A função numpy.linalg.det do NumPy pode ser usado para computar o determinante de um arranjo.

Exemplo 5.4.5.

O determinante

	$\displaystyle\det(A)=\begin{vmatrix}2&-1&1\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}3}\\ 1&3&-3\end{vmatrix}$		(5.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=-28$		(5.89)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3A = np.array([[2, -1, 1],

4 [-1, 1, 3],

5 [1, 3, -3]])

7detA = npla.det(A)

8print(f'det(A) = {detA}')

5.4.2 Aplicação: método de Cramer

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}A\boldsymbol{% x}=\boldsymbol{b}

(5.90)

denotamos a matriz dos coeficientes por

A=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_{1}&\boldsymbol{a}_{2}&\cdots&\boldsymbol{a}_{% n}\end{bmatrix},

(5.91)

A_{i}:=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_{1}&\cdots&\boldsymbol{a}_{i-1}&{\color[% rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\boldsymbol{b}}&% \boldsymbol{a}_{i+1}&\cdots&\boldsymbol{a}_{n}\end{bmatrix}

(5.92)

O método consiste em computar a solução $\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ com

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{i}=\frac{% \det(A_{i})}{\det(A)},

(5.93)

para cada $i=1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 5.4.6.

Vamos resolver o sistema linear dado no Exercício 5.4.1. Sua forma matricial é

A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}

(5.94)

com matriz dos coeficientes

A=\begin{bmatrix}2&-1&1\\ -1&1&3\\ 1&3&-3\end{bmatrix},

(5.95)

e vetor dos termos constantes

\boldsymbol{b}=({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}-3,\leavevmode\nobreak\ 6,\leavevmode\nobreak\ 2}).

(5.96)

Para aplicação do Método de Cramer, calculamos

	$\displaystyle\det(A):=\begin{vmatrix}2&-1&1\\ -1&1&3\\ 1&3&-3\end{vmatrix}$		(5.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=-28$		(5.98)

e das matrizes auxiliares

	$\displaystyle\det(A_{1}):=\begin{vmatrix}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3}&-1&1\\ {\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}&1&3\\ {\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2}&3&-3\end{vmatrix}$		(5.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=28$		(5.100)

	$\displaystyle\det(A_{2}):=\begin{vmatrix}2&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3}&1\\ -1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}&3\\ 1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2}&-3\end{vmatrix}$		(5.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=-56$		(5.102)

	$\displaystyle\det(A_{3}):=\begin{vmatrix}2&-1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3}\\ -1&1&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}6}\\ 1&3&{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}2}\end{vmatrix}$		(5.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-28$		(5.104)

Com isso, obtemos a solução

	$\displaystyle x_{1}=\frac{\det(A_{1})}{\det(A)}=-1,$		(5.105)
	$\displaystyle x_{2}=\frac{\det(A_{2})}{\det(A)}=2,$		(5.106)
	$\displaystyle x_{3}=\frac{\det(A_{3})}{\det(A)}=1.$		(5.107)

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3# matriz dos coefs

4A = np.array([[2, -1, 1],

5 [-1, 1, 3],

6 [1, 3, -3]])

7# vet termos consts

8b = np.array([-3, 6, 2])

10# det(A)

11detA = npla.det(A)

12print(f'det(A) = {detA}')

14# matrizes auxiliares

15## A1

16A1 = np.copy(A)

17A1[:,0] = b

18detA1 = npla.det(A1)

19print(f'det(A1) = {detA1}')

21## A2

22A2 = np.copy(A)

23A2[:,1] = b

24detA2 = npla.det(A2)

25print(f'det(A2) = {detA2}')

27## A3

28A3 = np.copy(A)

29A3[:,2] = b

30detA3 = npla.det(A3)

31print(f'det(A3) = {detA3}')

33# solução

34x = np.array([detA1/detA, detA2/detA, detA3/detA])

35print(f'x = {x}')

5.4.3 Exercícios

E. 5.4.1.

Complete as lacunas.

a)

Usualmente, matrizes são computacionalmente modeladas como arrays multidimensionais.
b)

A operação de multiplicação matricial entre dois arrays pode ser feita com o operador @ ou com o método numpy.matmul.
c)

A transposta de um numpy.array bidimensional pode ser obtida com o atributo .T ou o método numpy.transpose.
d)

O submódulo numpy.linalg contém o método det para a computação do determinante de um numpy.array.

Resposta 0.

a) arrays; b) @; c) .T; d) numpy.linalg

E. 5.4.2.

Aloque com numpy.array e imprima as seguintes matrizes:

a)

$A=\begin{bmatrix}-1&2\\ 7&-3\end{bmatrix}$ (5.108)
b)

$B=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\end{bmatrix}$ (5.109)
c)

$C=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\\ 2&9&6\end{bmatrix}$ (5.110)
d)

$D=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\\ 2&9&6\\ 1&-1&1\end{bmatrix}$ (5.111)

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2# a)

3A = np.array([[-1, 2],

4 [7, -3]])

5print(f'A =\n {A}')

6# b)

7B = np.array([[-1, 2, 4],

8 [7, -3, -5]])

9print(f'B =\n {B}')

10# c)

11C = np.array([[-1, 2, 4],

12 [7, -3, -5],

13 [2, 9, 6]])

14print(f'C =\n {C}')

15# d)

16D = np.array([[-1, 2, 4],

17 [7, -3, -5],

18 [2, 9, 6],

19 [1, -1, 1]])

20print(f'D =\n {D}')

E. 5.4.3.

Aloque as seguintes matrizes com numpy.array

A=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\end{bmatrix}

(5.112)

B=\begin{bmatrix}1&-1&2\\ 3&0&5\end{bmatrix}.

(5.113)

Então, compute e imprima o resultado das seguintes operações matriciais

a)

$A+B$
b)

$A-B$
c)

$2A$

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[-1, 2, 4],

3 [7, -3, -5]])

4B = np.array([[1, -1, 2],

5 [3, 0, 5]])

6# a)

7ApB = A + B

8print(f'A+B =\n {ApB}')

9# b)

10AmB = A - B

11print(f'A-B =\n {AmB}')

12# c)

13_2A = 2*A

14print(f'2A =\n {_2A}')

E. 5.4.4.

Aloque as seguintes matrizes numpy.array:

A=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 7&-3&-5\end{bmatrix}

(5.114)

B=\begin{bmatrix}1&-1\\ 3&0\\ 2&5\end{bmatrix}.

(5.115)

Então, compute e imprima o resultado das seguintes operações matriciais:

a)

$A B$
b)

$B A$
c)

$B^{T}$
d)

$A^{T}B^{T}$

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[-1, 2, 4],

3 [7, -3, -5]])

4B = np.array([[1, -1],

5 [3, 0],

6 [2, 5]])

7# a)

8AB = A @ B

9print(f'AB =\n {AB}')

10# b)

11BA = B @ A

12print(f'BA =\n {BA}')

13# c)

14Bt = B.T

15print(f'B^T =\n {Bt}')

16# d)

17AtBt = A.T @ B.T

18print(f'A^T.B^T =\n {AtBt}')

E. 5.4.5.

Escreva a forma matricial $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ do seguinte sistema linear


	$\displaystyle-x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=6$		(5.116a)
	$\displaystyle 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=-11$		(5.116b)
	$\displaystyle x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=-10$		(5.116c)

Use numpy.array para alocar a matriz dos coeficientes $A$ e o vetor dos termos constantes $\boldsymbol{b}$ . Então, verifique quais dos seguintes vetores é solução do sistema

a)

$\boldsymbol{x}=(1,-1,-2)$
b)

$\boldsymbol{x}=(-1,-2,1)$
c)

$\boldsymbol{x}=(-2,1,-1)$

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2A = np.array([[-1, 2, -2],

3 [3, -4, 1],

4 [1, -5, 3]])

5b = np.array([6, -11, -10])

6# c)

7x = np.array([-2, 1, -1])

8print(f'É solução? {np.allclose(A@x, b)}')

E. 5.4.6.

Calcule e compute o determinante das seguintes matrizes

a)

$A=\begin{bmatrix}-1&2\\ 7&-3\end{bmatrix}$ (5.117)
b)

$B=\begin{bmatrix}-1&2&4\\ 1&-3&-5\\ 2&0&6\end{bmatrix}$ (5.118)
c)

$C=\begin{bmatrix}-1&2&4&1\\ 7&-3&-5&-1\\ 2&0&1&0\\ 1&-1&1&-2\end{bmatrix}$ (5.119)

Resposta 0.

⬇

1import numpy as np

2import numpy.linalg as npla

3# a)

4A = np.array([[-1, 2],

5 [7, -3]])

6detA = npla.det(A)

7print(f'det(A) =\n {detA}')

8# b)

9B = np.array([[-1, 2, 4],

10 [1, -3, -5],

11 [2, 0, 6]])

12detB = npla.det(B)

13print(f'det(B) =\n {detB}')

14# c)

15C = np.array([[-1, 2, 4, 1],

16 [-1, -3, -5, -1],

17 [2, 0, 1, 0],

18 [1, -1, 1, -2]])

19detC = npla.det(C)

20print(f'det(C) =\n {detC}')

E. 5.4.7.

Use o Método de Cramer para computar a solução do sistema dado no Exercício 5.4.5. Verifique sua solução com a computada pelo método numpy.linalg.solve.

Resposta 0.

Dica: $\boldsymbol{x}=(-2,1,-1)$ .

E. 5.4.8.

Desenvolva sua própria função Python para a computação do determinante de uma matriz $A$ $n\times n$ .

Resposta 0.

Dica: use a função intertools.permutations para obter um iterador sobre as permutações.

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Pedro H A Konzen

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